Caccia alla funzione
Salve, avrei un esercizio di questo genere:
Una particella $\alpha$ (nucleo dell'atomo di elio) facente parte di un nucleo pesante, è soggetta ad un potenziale come quello in figura.
Costruire una funzione di $x$ che abbia questo andamento con un minimo $U_0$ per $x=0$ e due massimi per $x=+-x_1$
Il libro dà come soluzione l'equazione differenziale:
$(dU)/dx=-(x*(x-x_1))/e^x$
Tuttavia faccio fatica a capire come ci si arriva. Potreste darmi qualche spunto?
Una particella $\alpha$ (nucleo dell'atomo di elio) facente parte di un nucleo pesante, è soggetta ad un potenziale come quello in figura.
Costruire una funzione di $x$ che abbia questo andamento con un minimo $U_0$ per $x=0$ e due massimi per $x=+-x_1$
Il libro dà come soluzione l'equazione differenziale:
$(dU)/dx=-(x*(x-x_1))/e^x$
Tuttavia faccio fatica a capire come ci si arriva. Potreste darmi qualche spunto?
Risposte
"SirDanielFortesque":
Il libro dà come soluzione l'equazione differenziale:
$(dU)/dx=-(x*(x-x_1))/e^x$
Strano, perchè questa funzione non si azzera per $x = -x_1$ come dovrebbe
La funzione è pari quindi puoi considerare solo le $x>0$. La derivata deve essere nulla in zero ed in $x_1$ . Il meno a moltiplicare serve ad avere la giusta crescenza nei vari tratti. Poi vuoi che vada a zero all'infinito e basta dividere per un esponenziale e ci va di certo.
A occhio direi che nella parentesi debba essere:$" "(x^2-x_1^2)$ . Viceversa diventa difficile spiegare la simmetria di $U(x)$ .
La derivata di $U(x)$ (che è poi l'opposto della componente della forza lungo l'asse $x$) deve annullarsi in $x=0$, $x=+-x_1$ , il modello più elementare è quello di un prodotto $x(x^2-x_1^2)$ con un segno che faccia del primo un minimo e degli altri due massimi. Questo da solo presenta il problema di tendere ad infinito per $x to oo$, moltiplicalo per un'esponenziale $e^(-|x|)$ che abbatte la crescita facendo tendere a zero la forza per grandi distanze e sei a posto.
La derivata di $U(x)$ (che è poi l'opposto della componente della forza lungo l'asse $x$) deve annullarsi in $x=0$, $x=+-x_1$ , il modello più elementare è quello di un prodotto $x(x^2-x_1^2)$ con un segno che faccia del primo un minimo e degli altri due massimi. Questo da solo presenta il problema di tendere ad infinito per $x to oo$, moltiplicalo per un'esponenziale $e^(-|x|)$ che abbatte la crescita facendo tendere a zero la forza per grandi distanze e sei a posto.
"Nikikinki":
puoi considerare solo le x>0
Già questo era per $x>=0$ Mi sono dimenticato un valore assoluto:
$(dU)/(dx)=-(x*(|x|-x_1))/e^(|x|)$
Grazie per le risposte. Quindi ricapitolando gli zeri del numeratore servono a imporre la presenza dei massimi, il denominatore deve garantire che la funzione vada a zero a $+-infty$?
Sì e il segno negativo serve a farla crescere e decrescere nel modo giusto.
Ottimo grazie a tutti per l'aiuto.
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