Blocchi sovrapposti sottoposti a forze diverse

[alceus]

Consideriamo due blocchi sovrapposti su un piano orizzontale (attrito nullo tra piano orizzontale e blocchi, attrito non nullo tra i due blocchi), inizialmente in quiete, e supponiamo di applicare una forza \(\vec{F}_1\) diretta orizzontalmente verso destra sul blocco di sopra (massa $m_1$) e una forza \(\vec{F}_2\) diretta orizzontalmente sempre verso destra sul blocco di sotto (massa $m_2$), con,in generale, \(F_1 \ne F_2\):



Mi verrebbe da dire che la massa di sopra "ostacola" la massa di sotto con una forza di attrito \(\vec{F}_{att2}\) (e per azione-reazione subisce una forza opposta) e viceversa la massa di sotto "ostacola" quella di sopra con una forza di attrito \(\vec{F}_{att1}\) (e anche qui, azione-reazione): le coppie di forze di attrito sarebbero quindi 2. Ma essendo una generica forza di attrito \(F_{att}=\mu N\) ed essendo $N$ uguale per le due forze, non è \(F_{att1}=F_{att2}\)? Quindi è come se non ci fosse attrito? Oppure bisogna considerare prima le due accelerazioni, vedere quale delle due masse è eventualmente in moto relativo rispetto all'altra e quindi, solo dopo, applicare di conseguenza una forza di attrito in verso opposto allo spostamento?

[Sk_Anonymous]

"alceus":…..
Ma essendo una generica forza di attrito \(F_{att}=\mu N\) …..

Questo non è affatto vero! La quantità $\muN$ è la massima forza di attrito statico che si può sviluppare tra due superfici premute da una forza $N$ !
Se tiro leggermente un blocco posto su un piano scabro, con una forza crescente lentamente, il blocco resiste , non si fa spostare, fino a quando la forza applicata non arriva a quel valore, cioè fin quando risulta : $ F < =\muN$ (minore o uguale, non so come si scrive!)

……..Oppure bisogna considerare prima le due accelerazioni, vedere quale delle due masse è eventualmente in moto relativo rispetto all'altra e quindi, solo dopo, applicare di conseguenza una forza di attrito in verso opposto allo spostamento?

devi considerare una forza alla volta, calcolare l'accelerazione, trovare quale parte della forza è necessaria per muovere ciascuno dei due corpi….e insomma ragionare un pochettino su quello che succede .

[alceus]

"navigatore":[quote="alceus"]…..
Ma essendo una generica forza di attrito \(F_{att}=\mu N\) …..

Questo non è affatto vero! La quantità $\muN$ è la massima forza di attrito statico che si può sviluppare tra due superfici premute da una forza $N$ !
Se tiro leggermente un blocco posto su un piano scabro, con una forza crescente lentamente, il blocco resiste , non si fa spostare, fino a quando la forza applicata non arriva a quel valore, cioè fin quando risulta : $ F < =\muN$ (minore o uguale, non so come si scrive!)

……..Oppure bisogna considerare prima le due accelerazioni, vedere quale delle due masse è eventualmente in moto relativo rispetto all'altra e quindi, solo dopo, applicare di conseguenza una forza di attrito in verso opposto allo spostamento?

devi considerare una forza alla volta, calcolare l'accelerazione, trovare quale parte della forza è necessaria per muovere ciascuno dei due corpi….e insomma ragionare un pochettino su quello che succede .

[/quote]

Mi scuso perchè ancora una volta sono stato impreciso e non ho specificato: consideriamo il caso di forze maggiori della massima forza di attrito statico. Per fissare le idee provo a risolvere un caso specifico con dati numerici.

Poniamo:
\(m_1=20 kg\\m_2=10 kg\\\mu_s=0,20\\\mu_d=0,10\\F_1=60 N\\F_2=50 N\\g=10 m/s^2\)

Essendo $N=m_1g=200 N$, ho che la massima forza di attrito statico tra i due blocchi è \(F_{att MAX}=\mu_sN=40 N\) e quindi, essendo \(F_1>F_{att MAX}\) e \(F_2>F_{att MAX}\) ho che i due blocchi possono essere in moto relativo l'uno rispetto all'altro.
Ora, dimenticandoci per un secondo l'attrito, l'accelerazione assoluta $a_1$ del blocco di sopra, fissato un sistema di riferimento inerziale solidale col suolo, vale \(a_1=\frac{F_1}{m_1}=3,0 m/s^2\) mentre l'accelerazione assoluta $a_2$ del blocco di sotto vale \(a_2=\frac{F_2}{m_2}=5,0 m/s^2\). Quindi il blocco di sotto possiede un'accelerazione relativa verso destra \(a_r=2,0 m/s^2\) rispetto al blocco superiore. La forza di attrito (costante) si oppone quindi al moto del blocco inferiore ed è pari a \(F_{att}=\mu_dN=20 N\). Ma a questo punto il blocco di sotto è sottoposto complessivamente di un'accelerazione assoluta \(a_{2f}\) pari a \(a_{2f}=\frac{F_2-F_{att}}{m_2}=3,0 m/s^2\), mentre il blocco di sopra, che per il principio di azione-reazione risente di una forza d'attrito diretta verso destra, ha accelerazione assoluta pari a \(a_{1f}=\frac{F_1+F_{att}}{m_1}=4,0 m/s^2\). La situazione quindi si ribalta...
Devo quindi dedurre che i versi delle forze di attrito vadano invertiti?

[Sk_Anonymous]

"alceus":……...
Ora, dimenticandoci per un secondo l'attrito, l'accelerazione assoluta $ a_1 $ del blocco di sopra, fissato un sistema di riferimento inerziale solidale col suolo, vale \( a_1=\frac{F_1}{m_1}=3,0 m/s^2 \) mentre l'accelerazione assoluta $ a_2 $ del blocco di sotto vale \( a_2=\frac{F_2}{m_2}=5,0 m/s^2 \). ……..

Fermati qui. Nel riferimento inerziale solidale col suolo, devi scrivere la 1° eq. cardinale della dinamica per il blocco 1 considerando tutte le forze agenti su tale blocco. Non puoi ignorare la forza di attrito tra i due blocchi.
Tra i due corpi c'è una sola interazione, che è una forza interna al sistema, e quindi vale per essa il principio di azione e reazione.
Trattandosi di pura traslazione, in sostanza devi scrivere : $ma_1 = \SigmaF$.
La stessa cosa devi fare per il blocco 2.

[alceus]

Ok! Su ciascun blocco agiscono la forza \(\vec{F_1}\) o \(\vec{F_2}\) a seconda del blocco e una forza di attrito dinamico di modulo \(\mu_dm_1g\) di cui ancora non conosco il verso.
Scrivo perciò:
\(F_1\pm\mu_dm_1g=m_1a_1\)
\(F_2\mp\mu_dm_1g=m_2a_2\)

da cui ricavo \(a_1=\frac{F_1}{m_1}\pm\mu_dg\) e \(a_2=\frac{F_2}{m_2}\mp\mu_d\frac{m_1}{m_2}g\).

Entrambe le coppie di valori che ottengo sono però valide: \((a_1,a_2)=(4 m/s^2, 3 m/s^2)\) e \((a_1,a_2)=(2 m/s^2, 7 m/s^2)\)... dove sbaglio?

Grazie per la pazienza