Bipolo reattivo dal comportamento resistivo
Sia $v(t)$ la tensione elettrica che insiste su un bipolo quando la corrente elettrica che lo percorre è $i(t)$ (comunque variabile al passare del tempo $t$).
il bipolo è
• un resistore ideale di resistenza $R$ se, comunque, $v(t) = R·i(t)$, [dove $R$ non dipende da $v(t)$ né da $i(t)$];
• un induttore ideale di induttanza $L$ se, comunque, $v(t) = L(di(t))/dt$, [dove $L$ non dipende da $v(t)$ né da $i(t)$];
• un condensatore ideale di capacità $C$ se, comunque, $i(t) = C(dv(t))/dt$, [dove $C$ non dipende da $v(t)$ né da $i(t)$],
Problema:
[size=120]Definire un bipolo costituito da due resistori ideali, un induttore ideale ed un condensatore ideale che, nonostante la presenza del condensatore e dell'induttore , si comporta come un resistore ideale.[/size]
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il bipolo è
• un resistore ideale di resistenza $R$ se, comunque, $v(t) = R·i(t)$, [dove $R$ non dipende da $v(t)$ né da $i(t)$];
• un induttore ideale di induttanza $L$ se, comunque, $v(t) = L(di(t))/dt$, [dove $L$ non dipende da $v(t)$ né da $i(t)$];
• un condensatore ideale di capacità $C$ se, comunque, $i(t) = C(dv(t))/dt$, [dove $C$ non dipende da $v(t)$ né da $i(t)$],
Problema:
[size=120]Definire un bipolo costituito da due resistori ideali, un induttore ideale ed un condensatore ideale che, nonostante la presenza del condensatore e dell'induttore , si comporta come un resistore ideale.[/size]
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Risposte
Penso di sapere come farlo, ma lascio la parola a qualche volonteroso studente. 
Come avevo pronosticato...
Ma tanto per insaporire ulteriormente la pietanza che tu hai proposto, vorrei farti osservare che il bipolo composito che io ho in mente (e probabilmente anche tu) non si comporta esattamente in modo resistivo in tutte le situazioni, ed è logico che sia così essendo costituito anche da elementi reattivi, i quali contengono una memoria "intrinseca" dei fenomeni elettrici che li interessano.
In particolare in questo caso il comportamento è puramente resistivo partendo da condizioni iniziali nelle quali gli elementi reattivi sono completamente scarichi (non soltanto in questo caso, ma questo è il caso più normale), situazione peraltro del tutto plausibile poiché in assenza di sollecitazioni esterne gli elementi reattivi vengono tenuti scarichi, almeno in tempi ragionevoli, dai resistori presenti nel bipolo.
Se però ammettessimo di sollecitare il bipolo, ad esempio, con un gradino di tensione $E$ partendo da una situazione iniziale di condensatore carico alla tensione $V_{C0}$, e induttore scarico, l'andamento della corrente nel bipolo sarebbe:
$$\eqalign{
& i\left( t \right) = \frac{E}
{R} - \frac{{{V_{C0}}}}
{R}{e^{ - \frac{t}
{\tau }}}\quad t \geqslant 0 \cr
& {\text{dove }}\tau = RC = \frac{L}
{R} \cr} $$
per cui in questo caso il comportamento del bipolo non sarebbe proprio resistivo puro.
Così, tanto per voler essere proprio precisini.
Ad ogni modo, tralasciando queste inezie da azzeccagarbugli e trascurando il caso di elementi reattivi precaricati a valori qualsiasi indipendenti, il bipolo nella grande maggioranza dei casi si comporta davvero come fosse resistivo puro, per cui torno a sollecitare eventuali volonterosi solutori a cimentarsi col problema proposto.
"Falco5x":
Quelle poche volte che ho messo anch'io esercizi curiosi per invogliare qualcuno a risolverli ho fatto un buco nell'acqua.
Qui la maggior parte degli utenti non ha nessuna voglia di cimentarsi, di solito tutti chiedono aiuto per superare test o esami, il piacere del rompicapo è qualcosa a loro sconosciuto (purtroppo)
Ma tanto per insaporire ulteriormente la pietanza che tu hai proposto, vorrei farti osservare che il bipolo composito che io ho in mente (e probabilmente anche tu) non si comporta esattamente in modo resistivo in tutte le situazioni, ed è logico che sia così essendo costituito anche da elementi reattivi, i quali contengono una memoria "intrinseca" dei fenomeni elettrici che li interessano.
In particolare in questo caso il comportamento è puramente resistivo partendo da condizioni iniziali nelle quali gli elementi reattivi sono completamente scarichi (non soltanto in questo caso, ma questo è il caso più normale), situazione peraltro del tutto plausibile poiché in assenza di sollecitazioni esterne gli elementi reattivi vengono tenuti scarichi, almeno in tempi ragionevoli, dai resistori presenti nel bipolo.
Se però ammettessimo di sollecitare il bipolo, ad esempio, con un gradino di tensione $E$ partendo da una situazione iniziale di condensatore carico alla tensione $V_{C0}$, e induttore scarico, l'andamento della corrente nel bipolo sarebbe:
$$\eqalign{
& i\left( t \right) = \frac{E}
{R} - \frac{{{V_{C0}}}}
{R}{e^{ - \frac{t}
{\tau }}}\quad t \geqslant 0 \cr
& {\text{dove }}\tau = RC = \frac{L}
{R} \cr} $$
per cui in questo caso il comportamento del bipolo non sarebbe proprio resistivo puro.
Così, tanto per voler essere proprio precisini.
Ad ogni modo, tralasciando queste inezie da azzeccagarbugli e trascurando il caso di elementi reattivi precaricati a valori qualsiasi indipendenti, il bipolo nella grande maggioranza dei casi si comporta davvero come fosse resistivo puro, per cui torno a sollecitare eventuali volonterosi solutori a cimentarsi col problema proposto.
Aggiugo qualcos'altro alle interessanti considerazioni di Falco5x.
Anche nelle situazioni (abituali, come per esempio sotto tensione alternata sinusoidale) nelle quali il bipolo si comporta, visto dall'esterno, come un resistore puro, internamente non è così (perché c'è dell'energia immagazzinata nell'induttore e/o nel condensatore).
Non è un "resistore puro" rispetto al cosiddetto "Effetto Joule"
Un resistore ideale di resistenza $R$ sottoposto a tensione $v(t)$ e percorso dalla corrente $i(t) = (v(t))/R$ dissipa in calore tutta la potenza elettrica $p(t) = v(t)·i(t)$ che assorbe. Invece il nostro bipolo, pur rispettando la legge di Ohm $v(i) = R·i(t)$, non dissipa (istante per istante) la potenza $P(t) = v(t)·i(t)=R·[i(t)]^2 = [v(t)]^2/R$ perché immagazzina eergia.
Facciamo il caso più semplice di gradino di tensione V (costante per uncerto tempo T, nulla prima e dopo). All'avvio della corrente, parte della potenza elettrica serve ad accumulare energia elettrostatica nel condensatore ed elettromagnetica nell'induttore. Se T è grande rispetto ad L/R e a CR, l'energia immagazzinata è ovviamente
$1/2 CV^2 + 1/2 L(V/R)^2$.
All'apertura dell'interruttore (cioè a potenza elettrica assorbita nulla), internamente viene dissipata in calore l'energia immagazzinata.
Insomma: il nostro bipolo non si comporta come un resistore ideale rispetto al cosiddetto Effetto Joule
––––––––––
Vedo che ci sono state già 280 visite.
Possibile che nessuno abbia voglia di disegnare il circuito di principio di questo bipolo?
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Anche nelle situazioni (abituali, come per esempio sotto tensione alternata sinusoidale) nelle quali il bipolo si comporta, visto dall'esterno, come un resistore puro, internamente non è così (perché c'è dell'energia immagazzinata nell'induttore e/o nel condensatore).
Non è un "resistore puro" rispetto al cosiddetto "Effetto Joule"
Un resistore ideale di resistenza $R$ sottoposto a tensione $v(t)$ e percorso dalla corrente $i(t) = (v(t))/R$ dissipa in calore tutta la potenza elettrica $p(t) = v(t)·i(t)$ che assorbe. Invece il nostro bipolo, pur rispettando la legge di Ohm $v(i) = R·i(t)$, non dissipa (istante per istante) la potenza $P(t) = v(t)·i(t)=R·[i(t)]^2 = [v(t)]^2/R$ perché immagazzina eergia.
Facciamo il caso più semplice di gradino di tensione V (costante per uncerto tempo T, nulla prima e dopo). All'avvio della corrente, parte della potenza elettrica serve ad accumulare energia elettrostatica nel condensatore ed elettromagnetica nell'induttore. Se T è grande rispetto ad L/R e a CR, l'energia immagazzinata è ovviamente
$1/2 CV^2 + 1/2 L(V/R)^2$.
All'apertura dell'interruttore (cioè a potenza elettrica assorbita nulla), internamente viene dissipata in calore l'energia immagazzinata.
Insomma: il nostro bipolo non si comporta come un resistore ideale rispetto al cosiddetto Effetto Joule
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Vedo che ci sono state già 280 visite.
Possibile che nessuno abbia voglia di disegnare il circuito di principio di questo bipolo?
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In effetti il comportamento energetico di questo bipolo è curioso (ma neanche tanto).
Provando a immaginare il bipolo inizialmente scarico e soggetto a un gradino di tensione di ampiezza $E$, si vede che mentre la potenza assorbita è costante e pari a $P=E^2/R$, questa non va tutta immediatamente in calore, ma, come ha detto Erasmus, ne va una parte in calore e una parte viene immagazzinata dagli elementi reattivi.
Supponendo che questo gradino sia infinitamente lungo, dopo un tempo sufficientemente lungo, cioè all'esaurimento del transitorio di carica degli elementi reattivi, l'energia dissipata nei resistori risulta, a conti fatti:
$$\eqalign{
& {W_{R1 + R2}}\left( {t > > \tau } \right) = \frac{{{E^2}}}
{R}\left( {t - \tau } \right) \cr
& {\text{dove }}\tau = RC = \frac{L}
{R} \cr} $$
mentre l'energia immagazzinata negli elementi reattivi è complessivamente:
$${W_{C + L}}\left( {t > > \tau } \right) = \frac{{{E^2}}}
{R}\tau $$
Insomma dopo un tempo sufficientemente lungo il comportamento dissipativo del bipolo è equivalente a quello di un resistore puro alimentato con un ritardo pari a $\tau $.
[size=150]Ma insomma, chi vuole spiegare finalmente come è fatto questo "misterioso" bipolo???[/size]
Provando a immaginare il bipolo inizialmente scarico e soggetto a un gradino di tensione di ampiezza $E$, si vede che mentre la potenza assorbita è costante e pari a $P=E^2/R$, questa non va tutta immediatamente in calore, ma, come ha detto Erasmus, ne va una parte in calore e una parte viene immagazzinata dagli elementi reattivi.
Supponendo che questo gradino sia infinitamente lungo, dopo un tempo sufficientemente lungo, cioè all'esaurimento del transitorio di carica degli elementi reattivi, l'energia dissipata nei resistori risulta, a conti fatti:
$$\eqalign{
& {W_{R1 + R2}}\left( {t > > \tau } \right) = \frac{{{E^2}}}
{R}\left( {t - \tau } \right) \cr
& {\text{dove }}\tau = RC = \frac{L}
{R} \cr} $$
mentre l'energia immagazzinata negli elementi reattivi è complessivamente:
$${W_{C + L}}\left( {t > > \tau } \right) = \frac{{{E^2}}}
{R}\tau $$
Insomma dopo un tempo sufficientemente lungo il comportamento dissipativo del bipolo è equivalente a quello di un resistore puro alimentato con un ritardo pari a $\tau $.
[size=150]Ma insomma, chi vuole spiegare finalmente come è fatto questo "misterioso" bipolo???[/size]
Visto che nessuno ci prova, pubblico io per completezza di informazione.
Io lo avrei fatto con i fasori!
Il problema è che però non si specifica che tipi di tensione o corrente siano : se continue o alternate!
Nel caso di tensione di tipo sinusoidale, avrei scritto l'impedenza totale come $ R + j*omega*L + 1/(j*omega*C) $ e avrei posto la parte immaginaria uguale a zero da cui $ omega = 1/sqrt(LC) $ .
Avrei giocato con la frequenza critica insomma in cui gli effetti degli sfasamenti dell'induttore e del condensatore si equilibravano
PS Ho da poco capito che Erasmus mette esercizi-rompicapo. Mi piace questa cosa
Il problema è che però non si specifica che tipi di tensione o corrente siano : se continue o alternate!
Nel caso di tensione di tipo sinusoidale, avrei scritto l'impedenza totale come $ R + j*omega*L + 1/(j*omega*C) $ e avrei posto la parte immaginaria uguale a zero da cui $ omega = 1/sqrt(LC) $ .
Avrei giocato con la frequenza critica insomma in cui gli effetti degli sfasamenti dell'induttore e del condensatore si equilibravano
PS Ho da poco capito che Erasmus mette esercizi-rompicapo. Mi piace questa cosa
Non è specificato il tipo di regime perché l'equivalenza resistiva vale per ogni segnale anche aperiodico. Non so se conosci la trasformata di Fourier...
E in ogni caso si verifica che la relazione resistiva vale anche sviluppando le equazioni differenziali, purché con condizioni iniziali che non prevedano di accedere singolarmente all'induttore o al condensatore interni. Vedi mio post un po' più indietro nel thread, ma se serve posso esplicitare meglio i calcoli.
E in ogni caso si verifica che la relazione resistiva vale anche sviluppando le equazioni differenziali, purché con condizioni iniziali che non prevedano di accedere singolarmente all'induttore o al condensatore interni. Vedi mio post un po' più indietro nel thread, ma se serve posso esplicitare meglio i calcoli.
CI sto ragionando su... Anche perché mi è difficile pensare nei transitori con induttori e condensatori senza applicare i Fasori.
Come vedo dal suo grafico, anche Lei ha utilizzato un asse immaginario ( con quindi relazione ai favori ) per risolvere il problema..
Le vostre risposte forse sono un po' "troppo" per me ma mi ci sto cimentando ( non appena finisco di studiare )
Per ora posso soltanto ribadire che mi sarei imbattuto nei fasori per eccitazioni di tipo sinusoidale ( sempre in regime intendo ), e avrei fatto una equazione differenziale per quelle stazionarie ..
Volevo chiedervi : il comportamento che richiede, deve essere verificato nel transitorio o nel regime o in entrambi?
Come vedo dal suo grafico, anche Lei ha utilizzato un asse immaginario ( con quindi relazione ai favori ) per risolvere il problema..
Le vostre risposte forse sono un po' "troppo" per me ma mi ci sto cimentando ( non appena finisco di studiare )
Per ora posso soltanto ribadire che mi sarei imbattuto nei fasori per eccitazioni di tipo sinusoidale ( sempre in regime intendo ), e avrei fatto una equazione differenziale per quelle stazionarie ..
Volevo chiedervi : il comportamento che richiede, deve essere verificato nel transitorio o nel regime o in entrambi?
Il calcolo con le impedenze complesse di solito è sufficiente per determinare il comportamento sia con transitori che in regime sinusoidale, perché i segnali più comuni possono essere trasformati in modo tale da poter essere trattati dalle reti di impedenze come fossero tensioni o correnti in reti resistive. I metodi utilizzati si chiamano trasformate di Fourier e di Laplace. Per questo l'uso delle impedenze complesse è molto generale per ogni tipo di segnale. È una generalizzazione del metodo dei fasori, perché ogni segnale anche aperiodico può essere immaginato come una somma infinita di sinusoidi infinitesime (Fourier) o di sinusoidi infinitesime smorzate (Laplace).
Si conosco entrambe le trasformate ma solitamente quella di Laplace la utilizzo per le distribuzioni oppure per funzioni esponenziali o sinusoidali dove compaiono derivate e integrali cosi da ridurle in semplici equazioni polinomiali !
"Falco5x":Chiaro e sintetico!
[...[ ogni segnale anche aperiodico può essere immaginato come una somma infinita di sinusoidi infinitesime (Fourier) o di sinusoidi infinitesime smorzate (Laplace).
Faccio anche notare che una tensione costante (come $v(t) = E$) o "a rampa" (come $v(t) = V/T·t$, con $V$ e $T$ costanti) si possono considerare "sinusoidali", (per frequenza infinitesima, la prima di tipo "coseno" e ampiezza $E$, la seconda di tipo "seno" e ampiezza infinita).
@ Falco5x
Tu hai pensato alla serie di due "paralleli" (uno tra un resistore ed un induttore, l'altro tra un resistore uguale al primo ed un condensatore). Ma va bene anche il circuito "duale" (parallelo tra due "serie": una di un induttore ed unresistore, l'altra di un resistore ed un condensatore).
Nella "dualità" si scambiano tra loro tensione e corrente; e di conseguenza si scanbiano:
• connessione "in serie" con connessione "in parallelo";
• impedenza con ammettenza;
• condensatore con induttore (e quindi L con C)
• resistore con se stesso, ma pensato come "conduttore" di conduttanza 1/R.
Insomma: espressioni analitiche dell'impedenza/ammettenza e dell'ammettenza/impedenza del suo duale sono qualitativamente le stesse.
Anch'io ho fatto una figura illustrativa.
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Erasmus, l'arcaica variabile complessa p rivela la tua veneranda età, ai tempi miei la p era già evoluta in s.
"Falco5x":Non ci vedo nessuna "evoluzione" nel cambiare lettera per la stessa indeterminata.
Erasmus, l'arcaica variabile complessa p rivela la tua veneranda età, ai tempi miei la p era già evoluta in s.
Invece: è sintomatico che tu la veda così.
In effetti, ai miei tempi il neocolonialismo cultutale yankee non aveva ancora conquistato tutti i settori culturali europei; in particolare il settore "telecomunicazioni" era ancora culturalmente autoctono!
La prima (al mondo) centrale telefonica di commutazione a divisione di tempo (analogica in PAM, solo sperimentale, mai entrata in servizio pubblico) era inglese, basata sugli studi di K. W: Cattermole, il quale usa nei suoi scritti la variabile "p".
Nei miei primi anni di lavoro (in SIT-Siemens, poi divenuta ITALTEL), le attenuazioni dei filtri erano ancora valutate in "Neper" (ussando il logaritmo naturale) invece che in "decibel".
E tutti quelli che avevano a che fare con filtri di frequenze usavano la vatìriabile "p".
La sintesi dei filtri (ancora tutti "passivI") si imparava partendo dai contributi di Cauer alla "teoria delle reti lineari".
Le cose sono cambiate drasticamente (compreso l'abbandono della "p" sostituita dalla "s") con il rapido sviluppo e predominio dell'elettronica "allo stato solido" (fine anni '60).
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Wilhelm Cauer è morto a Berlino il 22 aprile 1945 (durante l'assedio russo alla capitale del Reich) all'età di 45 anni scarsi.
La tradizione racconta che sia morto ... in circostanze analoghe alla morte di Archimede a Siracusa.
I soldati dell'Armata Rossa, arrivati all'università con l'ordine di asportarne le apparecchiature e consegnarle alle autorità militari sovietiche, venivano poi ricompensati "a peso" di quanto asportato; e quindi non avevano troppi riguardi nell'evitare che le apparecchiature si guastassero nell'operazione di smontarle e asportarle.
Sembra che Cauer avesse invano pregato di non distruggere stupidamente strumenti tanto preziosi e utili, irritando così i saldati russi che, per togliersi quel disturbo, lo uccisero.
Ma questa è forse leggenda. Più probabilmente è stato ucciso da una granata dell'artiglieria sovietica. Infatti Berlino fu circondata da oltre 10 mila cannoni che spararono sulla città per 12 giorni consecutivi prima che vi entrassero i carri armati.
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"Erasmus_First":Non ci vedo nessuna "evoluzione" nel cambiare lettera per la stessa indeterminata.
[quote="Falco5x"]Erasmus, l'arcaica variabile complessa p rivela la tua veneranda età, ai tempi miei la p era già evoluta in s.
Invece: è sintomatico che tu la veda così.[/quote]
No no, non intendevo dire che s è meglio di p, era solo una osservazione storica, il p è solo un indicatore che ho usato per datare il reperto archeologico, tipo il $.^(14)C$, tanto per capirci...
"Erasmus_First":
La prima (al mondo) centrale telefonica di commutazione a divisione di tempo (analogica in PAM, solo sperimentale, mai entrata in servizio pubblico) era inglese, basata sugli studi di K. W: Cattermole, il quale usa nei suoi scritti la variabile "p".
Per la cronaca, visto che parli di storia, le prime centraline PAM funzionanti del sistema Italtel Proteo le ho fatte installare io, che stavo agli Impianti in SIP (poi Telecom) zona Nordest.
"Erasmus_First":
Nei miei primi anni di lavoro (in SIT-Siemens, poi divenuta ITALTEL), le attenuazioni dei filtri erano ancora valutate in "Neper" (ussando il logaritmo naturale) invece che in "decibel".
Probabilmente dipende dal fatto che John Napier era stato tuo professore?
(p.s. mica te la prenderai a male se scherzo sulla tua età, visto che tu stesso l'hai resa nota, spero...
Ti prego di credere che lo faccio con grande senso di simpatia e rispetto.
Ne approfitto anche perché finalmente trovo qui uno più stagionato di me, cosa più unica che rara).
"Falco5x":Mi sa che se ti dico il mio Nome_Cognome e tu mi dici il tuo scopriamo che ci conosciamo!
Per la cronaca, visto che parli di storia, le prime centraline PAM funzionanti del sistema Italtel Proteo le ho fatte installare io, che stavo agli Impianti in SIP (poi Telecom) zona Nordest.
Per la cronaca, la prima centrale pubblica di commutazione a divisione di tempo (in PAM) installata in Italia è stata installata a Settimo Milanese. Sempre per la cronaca, la ditta che l'ha prodotta (ovviamente per la SIP) era la SIT-Siemens (tutta STET come la SIP) ed il sottoscritto era uno dei progettisti (proprio della parte analogica, ossia del "modem" bidirezionale il cui organo principale era il filtro passa-basso in tutt'uno con "l'attacco d utente", col comando della "suoneria" e l'iniettore del "teletaxe" (previsto ovviamente a 16 kHz ma preteso ... per motivi fondamentalmente mafiosi – a 12 kHz dalla SIP – "Nuove Tecniche"– Roma).
In altro thread si parlava di Padova e io menzionavo la relatrice della mia tesi Maria Vadnjal. Beh: la mia tesi era in parte compilativa (appunto sugli studi di Cattermole) e in parte sperimentale (progetto del filtro passa-basso (induttori costruiti in Telettra) e misure su un canale (di prova) rice-trasmittente PAM a trasferimento risonante. Insomma: una precursione del "peripheral exchange" del progetto PROTEO).
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