Biglia ferma che rimane ferma
Ciao, amici! Ho qualche problema a risolvere il seguente esercizio, che trovo molto intrigante:
Sono, direi, stato in grado di ottenere tale formula semplicemente imponendo che la forza risultante agente sulla biglia sia quella centripeta.Infatti in tal caso\[-\frac{R}{r_0}F_N=-m\omega^2 R\]\[\frac{\sqrt{r_0^2-R^2}}{r_0} F_N-mg=0\]
Tuttavia non saprei proprio come dimostrare a me stesso che, se la biglia si trova istantaneamente ferma, rimane allora ferma...
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi perché la biglia non può avere velocità nulla rispetto alla sfera, ma accelerare acquisendo una velocità relativa non nulla?
$\infty$ grazie a tutti!!!
"W.E. Gettys, F.J. Keller, M.J. Skove, Fisica 1":2xe5nkbo:
Supponiamo che una scodella semisferica di raggio $r_0$ ruoti con velocità angolare costante $\omega$ intorno al suo asse di simmetria verticale. Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quieta, sempre rispetto alla superficie. Dimostrare che allora\[R=\sqrt{r_0^2-\frac{g^2}{\omega^4}}\]
Sono, direi, stato in grado di ottenere tale formula semplicemente imponendo che la forza risultante agente sulla biglia sia quella centripeta.Infatti in tal caso\[-\frac{R}{r_0}F_N=-m\omega^2 R\]\[\frac{\sqrt{r_0^2-R^2}}{r_0} F_N-mg=0\]
Tuttavia non saprei proprio come dimostrare a me stesso che, se la biglia si trova istantaneamente ferma, rimane allora ferma...
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi perché la biglia non può avere velocità nulla rispetto alla sfera, ma accelerare acquisendo una velocità relativa non nulla?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Sei sicuro, prima di tutto, che :
che la forza risultante agente sulla biglia sia quella centripeta
Perché rimanga a velocità costante (nulla se era già ferma) rispetto alla scodella avrei detto che l'unica accelerazione dovesse essere quella del punto della scodella su cui poggia, cioè \(-\omega^2 R\mathbf{i}\)... Od ho le travegole? 
Grazie ancora!!!
Grazie ancora!!!
SE la superficie interna della sfera è liscia, la risultante delle forze agenti deve essere perpendicolare alla superficie , quindi passare per il centro della sfera. MA il peso, che fine ha fatto ?
È il $-mg$ nell'equazione (la seconda) della componente $y$ della forza risultante. Grazie di cuore anche per la risposta di là... 
Rimaniamo di qua, ché di là è finita.
Nel sistema rotante della scodella, la risultante del peso e della forza centrifuga (apparente!) deve essere uguale e opposta alla reazione vincolare $vecF_v$ esercitata dalla scodella . cioè deve essere :
dove $vecr$ è, in modulo, la distanza dall'asse di rotazione. Quindi, voglio dire, la risultante di tutte le forze agenti non è solo la forza centripeta. Questa è data dalla componente di $vecF_v$ in direzione orizzontale . Invece la componente di $vecF_v$ in direzione verticale è uguale e contraria al peso.
Nel sistema rotante della scodella, la risultante del peso e della forza centrifuga (apparente!) deve essere uguale e opposta alla reazione vincolare $vecF_v$ esercitata dalla scodella . cioè deve essere :
$mvecg + vecF_v + m\omega^2vecr = 0 $
dove $vecr$ è, in modulo, la distanza dall'asse di rotazione. Quindi, voglio dire, la risultante di tutte le forze agenti non è solo la forza centripeta. Questa è data dalla componente di $vecF_v$ in direzione orizzontale . Invece la componente di $vecF_v$ in direzione verticale è uguale e contraria al peso.
Sì, certo, è che io ho considerato il sistema inerziale "osservando dall'esterno" la scodella e imponendo che la forza risultante, invece di nulla, sia la forza centripeta:\[m\vec{g} + \vec{F}_v =\begin{pmatrix} 0 \\ -mg \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -F_v\frac{R}{r_0} \\ F_v\frac{\sqrt{r_0^2-R^2}}{r_0} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -m\omega^2R \\ 0 \end{pmatrix}= -m\omega^2\vec{r}=\vec{a}_{\text{centripeta}}\]dove l'unica differenza è che avevo usato $F_N$, "forza normale", per $F_v$, "forza vincolare".
A dire il vero su questi calcoli non nutrivo dubbi, ma ciò che non mi è chiaro è il motivo per cui il testo dice che se la biglia si trova istantaneamente ferma rispetto alla scodella, allora rimane ferma rispetto ad essa: perché se in un momento vale tale velocità relativa è nulla, allora essa deve avere accelerazione nulla rispetto alla scodella (o esclusivamente centripeta rispetto al riferimento inerziale)?
A dire il vero su questi calcoli non nutrivo dubbi, ma ciò che non mi è chiaro è il motivo per cui il testo dice che se la biglia si trova istantaneamente ferma rispetto alla scodella, allora rimane ferma rispetto ad essa: perché se in un momento vale tale velocità relativa è nulla, allora essa deve avere accelerazione nulla rispetto alla scodella (o esclusivamente centripeta rispetto al riferimento inerziale)?
Se in un certo momento la risultante delle forze agenti ( che poi sono tre: nel sistema rotante, hai il peso, la forza centrifuga e la reazione della superficie) è perpendicolare alla superficie, cioè non c'è alcuna componente tangente alla superficie, la pallina rimane in quiete perché nessuna forza la può accelerare facendola muovere lungo la tangente. Equilibrio relativo al riferimento rotante vuol dire quiete.
Sì, questo mi è chiaro, ma ciò che dice il testo mi sembra che sia che, se ad un certo punto, usando gli indici \(bs\) per indicare le quantità possedute dalla biglia rispetto al riferimento della scodella, si ha \(\vec{v}_{bs}=0\), allora la risultante delle forze agenti rispetto alla sfera è appunto ortogonale alla superficie, cioè \(\vec{a}_{bs}=0\).
Come mai non può esistere un istante $t_0$ tale che \(\vec{v}_{bs}(t_0)=0\) e \(\vec{v}_{bs}(t_1)=0\) per \(t_1>t_0\)? Direi che si debba quindi escludere il caso che la biglia arrivi al bordo della scodella percorrendone un meridiano e torni giù lungo il meridiano stesso, perché, in tal caso, sul bordo avrebbe, direi, velocità nulla
$\infty$ grazie ancora!
Come mai non può esistere un istante $t_0$ tale che \(\vec{v}_{bs}(t_0)=0\) e \(\vec{v}_{bs}(t_1)=0\) per \(t_1>t_0\)? Direi che si debba quindi escludere il caso che la biglia arrivi al bordo della scodella percorrendone un meridiano e torni giù lungo il meridiano stesso, perché, in tal caso, sul bordo avrebbe, direi, velocità nulla
$\infty$ grazie ancora!
Devo prima di tutto rettificare il mio post precedente, ho sabgliato per "lapsus mentale" : la risultante delle tre forze dette è nulla , quella che è perpendicolare alla superficie in condizioni di equilibrio è la reazione vincolare.
Cio detto, non ho capito il tuo dubbio, scusami.
Cio detto, non ho capito il tuo dubbio, scusami.
"navigatore":Nessun problema!
la risultante delle tre forze dette è nulla , quella che è perpendicolare alla superficie in condizioni di equilibrio è la reazione vincolare.
Avevo comunque capito: se ci fosse una forza risultante non nulla ed ortogonale alla superficie nel riferimento non inerziale della scodella la biglia schizzerebbe via perpendicolarmente alla scodella stessa."navigatore":Il testo dice: «Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete». Direi che ciò significhi che, prendendo come riferimento quello, non inerziale, della scodella, se è in un certo istante in quiete, non può allora accelerare. Questo è ciò di cui non mi so spiegare il motivo...
Cio detto, non ho capito il tuo dubbio, scusami.
A quelle condizioni è in quiete, non in assoluto.
Lo scopo dell'esercizio è proprio quello: se date certe condizioni è in quiete, quali sono gli altri parametri in funzione di quelli dati?
Cordialmente, Alex
Lo scopo dell'esercizio è proprio quello: se date certe condizioni è in quiete, quali sono gli altri parametri in funzione di quelli dati?
Cordialmente, Alex
Mmh... Io interpreterei Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete come Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella (semisferica che ruota attorno all'asse di simmetria con velocità costante $\omega$, come appena detto) ha, in un certo istante $t_0$, velocità rispetto alla superficie nulla \(\mathbf{v}_{bs}(t_0)=0\), mentre si trova a una distanza $R$ dall'asse, allora \(\forall t>t_0\quad \mathbf{v}_{bs}(t)=0\).
E ciò che non mi è chiaro è il motivo matematico per cui, sotto le ipotesi fatte sulla scodella e sulla biglia, \(\mathbf{v}_{bs}(t_0)=0\Rightarrow\forall t>t_0\quad \mathbf{v}_{bs}(t)=0 \)...
O stai dicendo che l'espressione Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete. Dimostrare [...] sia da intendere Sia data una biglia posta sulla superficie interna della scodella che rimane in quiete rispetto alla superficie una distanza $R$ dall'asse. Dimostrare [...]?
$\infty$ grazie anche a te!
E ciò che non mi è chiaro è il motivo matematico per cui, sotto le ipotesi fatte sulla scodella e sulla biglia, \(\mathbf{v}_{bs}(t_0)=0\Rightarrow\forall t>t_0\quad \mathbf{v}_{bs}(t)=0 \)...
O stai dicendo che l'espressione Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete. Dimostrare [...] sia da intendere Sia data una biglia posta sulla superficie interna della scodella che rimane in quiete rispetto alla superficie una distanza $R$ dall'asse. Dimostrare [...]?
$\infty$ grazie anche a te!
Il testo vuol dire questo : data una semisfera liscia di un certo raggio, e ruotante con una certa velocità angolare, trovare a che distanza dall'asse di rotazione la biglia è in quiete. Questo vuole dire.
Poi, se un punto materiale è in quiete in un riferimento,sia esso inerziale o no, la risultante di tutte le forze agenti sul punto (nel riferimento non inerziale ci devi mettere pure le forze inerziali) e reazioni vincolari è nulla.
E viceversa, se la risultante di tutte le forze agenti su un PM in un certo riferimento ( se non è inerziale ci devi mettere pure le forze inerziali nel conto) e reazioni vincolari è nulla, il PM è in quiete o in moto rettilineo uniforme in quel riferimento.
Poi, se un punto materiale è in quiete in un riferimento,sia esso inerziale o no, la risultante di tutte le forze agenti sul punto (nel riferimento non inerziale ci devi mettere pure le forze inerziali) e reazioni vincolari è nulla.
E viceversa, se la risultante di tutte le forze agenti su un PM in un certo riferimento ( se non è inerziale ci devi mettere pure le forze inerziali nel conto) e reazioni vincolari è nulla, il PM è in quiete o in moto rettilineo uniforme in quel riferimento.
"navigatore":Ah, ecco... è in quiete significa che ha accelerazione (e anche velocità) nulle quindi? Come si scrive in formule matematiche che un corpo è in quiete: \(\mathbf{v}(t)=\mathbf{a}(t)=0\) per tutti gli istanti $t$ del tempo considerato? Io credevo che significasse solo che ha velocità (istantaneamente, in un dato istante, diciamo \(t_0\)) nulla...
Poi, se un punto materiale è in quiete in un riferimento,sia esso inerziale o no, la risultante di tutte le forze agenti sul punto (nel riferimento non inerziale ci devi mettere pure le forze inerziali) e reazioni vincolari è nulla.
Per esempio avrei giurato che un proiettile fosse in quiete nel momento \(t_0\) in cui arriva al vertice della propria parabola prima di cadere, pur non rimanendo in quiete perché non permane a velocità nulla dopo l'istante \(t_0\) (cfr. essere in quiete e rimanere in quiete nel testo dell'esercizio)...
$\infty$ grazie a tutti!
Un proiettile che arriva al colmo della parabola non è in quiete. Ha solo la componente $v_y$ verticale della velocità uguale a zero, in quel punto della traiettoria. Ma la componente $v_x$ è costante e uguale a quella iniziale.
E anche se si lancia il proiettile diritto in verticale, questo si ferma quando è arrivato ad $h = v^2/(2g)$ , ma la forza di gravità sempre presente lo accelera immediatamente verso il basso. Quindi ha, diciamo, un solo attimo di quiete .
Ma se hai un altro corpo, tenuto fermo a quella stessa altezza $h$ da una forza che contrasta la gravità, e lo rilasci "contemporaneamente" all'arrivo del primo corpo che inverte il moto, essi cadono insieme, e arrivano a terra insieme, e con la stessa velocità $sqrt(2gh)$ .
Come vedi, mentre il primo corpo era stato prima lanciato e poi è ricaduto da solo, e la sua quiete è durata un attimo, il secondo corpo era veramente in "quiete" prima di essere lasciato andare.
E anche se si lancia il proiettile diritto in verticale, questo si ferma quando è arrivato ad $h = v^2/(2g)$ , ma la forza di gravità sempre presente lo accelera immediatamente verso il basso. Quindi ha, diciamo, un solo attimo di quiete .
Ma se hai un altro corpo, tenuto fermo a quella stessa altezza $h$ da una forza che contrasta la gravità, e lo rilasci "contemporaneamente" all'arrivo del primo corpo che inverte il moto, essi cadono insieme, e arrivano a terra insieme, e con la stessa velocità $sqrt(2gh)$ .
Come vedi, mentre il primo corpo era stato prima lanciato e poi è ricaduto da solo, e la sua quiete è durata un attimo, il secondo corpo era veramente in "quiete" prima di essere lasciato andare.
Oh, che scemo, ho fatto l'esempio sbagliato, scusami. Prendiamo un corpo che veramente abbia velocità istantanea, ma accelerazione non nulla: un proiettile lanciato in alto in direzione verticale. Arriva al massimo dell'altezza nell'istante $t_0$, quando \(\mathbf{v}(t_0)=0\), ma \(\mathbf{a}(t_0)=-g\mathbf{j}\). Credevo che di tale corpo si potesse dire è in quiete, ma non rimane in quiete ed è questo ciò che credevo intendesse il libro usando queste espressioni.
Che cosa significa quindi è in quiete? Significa che \(\mathbf{v}(t)=\mathbf{a}(t)=0\) per tutti gli istanti $t$ del tempo considerato?
$\infty$ grazie ancora!!!
Che cosa significa quindi è in quiete? Significa che \(\mathbf{v}(t)=\mathbf{a}(t)=0\) per tutti gli istanti $t$ del tempo considerato?
$\infty$ grazie ancora!!!
Puoi dire, nel caso del proiettile che arriva ad altezza $h$, che ha un istante di arresto, una quiete solo momentanea, ma essendoci sempre il peso esso viene immediatamente accelerato verso il basso. Un corpo rimane in "quiete" se ci rimane per un certo tempo finito. E in questo tempo finito non c'è nessuna forza che non sia equilibrata.
"navigatore":Non so se ti seguo, perché mi sembra che ciò che dici sia ciò che pensavo io con l'unica eccezione che io avevo scritto \( \forall t>t_0\quad \mathbf{v}(t)=0 \) per definire il rimanere in quiete dopo un istante $t_0$, mentre tu parli solo di un intervallo finito, diciamo $[t_0,t_1]$, tale che \( \forall t\in[t_0,t_1]\quad \mathbf{v}(t)=0 \). Quindi si può essere in quiete anche senza risultante delle forze, o equivalentemente accelerazione, nulla, no?
Puoi dire, nel caso del proiettile che arriva ad altezza $h$, che ha un istante di arresto, una quiete solo momentanea, ma essendoci sempre il peso esso viene immediatamente accelerato verso il basso. Un corpo rimane in "quiete" se ci rimane per un certo tempo finito. E in questo tempo finito non c'è nessuna forza che non sia equilibrata.
Quindi, matematicamente parlando, come tradurresti Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella [sotto le ipotesi fatte sulla scodella, cfr. OP] è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie? Io avrei detto che significhi Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella (semisferica che ruota attorno all'asse di simmetria con velocità costante $ \omega $, come appena detto) ha, in un certo istante $ t_0 $, velocità rispetto alla superficie nulla \( \mathbf{v}_{bs}(t_0)=0 \) [ciò che io direi essere in quiete], mentre si trova a una distanza $ R $ dall'asse, allora esiste un intervallo di tempo $[t_0,t_1]$ tale che \( \forall t\in [t_0,t_1]\quad \mathbf{v}_{bs}(t)=0 \) [ciò che direi rimanere in quiete]. Affermazione, quest'ultima, che non saprei come dimostrare matematicamente a me stesso e che, la mia interpretazione fosse corretta, mi piacerebbe capire come poter dimostrare...
Quindi si può essere in quiete anche senza risultante delle forze, o equivalentemente accelerazione, nulla, no?
Scusami, fai delle contorsioni che non occorrono.Che cosa vuoi dire, con "anche senza risultante delle forze nulla" ?
Vuoi dire : anche se c'è una risultante di forze diversa da zero ? (Due negazioni, "senza" e "nulla" , affermano) .
No.
Se c'è una risultante di forze , siano esse direttamente applicate, reazioni vincolari, forze di inerzia se il riferimento non è inerziale, che non è nulla, c'è una accelerazione, cioè una variazione di velocità, in quel riferimento dove stai conteggiando le forze.
E quindi se il corpo era in quiete si mette in moto. Questo lo dice la 2° legge della dinamica.
"navigatore":Sì, certo, ma credevo di aver capito che l'essere in quiete è una proprietà istantanea di un corpo, sia da quello che mi ero immaginato ad una prima lettura dell'esercizio, sia da quanto avevi detto nel post precedente: un proiettile lanciato in alto, quando raggiunge l'altezza massima, ha un istante di arresto, una quiete anche se solo momentanea, dove supponevo che quel solo momentanea facesse la differenza tra essere in quiete e rimanere in quiete.
No.
Se c'è una risultante di forze , siano esse direttamente applicate, reazioni vincolari, forze di inerzia se il riferimento non è inerziale, che non è nulla, c'è una accelerazione, cioè una variazione di velocità, in quel riferimento dove stai conteggiando le forze.
E quindi se il corpo era in quiete si mette in moto. Questo lo dice la 2° legge della dinamica.
Come tradurresti quindi Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella [sotto le ipotesi fatte sulla scodella, cfr. OP] è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie? Supponendo che essere in quiete e rimanere in quiete siano la stessa cosa, l'affermazione del testo dell'esercizio sarebbe una banale tautologia, quindi sarei portato ad escludere che siano la stessa cosa.
Riassumendo ciò che hai detto, mi sembra di aver capito che essere in quiete significhi avere velocità e accelerazione nulle -rispetto ad un dato sistema- per un intervallo di tempo \([t_0,t_1]\) con $t_1>t_0$. Rimanere in quiete avrei scommesso che non può significare che proprio questo, ma mi sento di escludere che il testo dica Se la biglia sta ferma per un certo intervallo di tempo allora sta ferma per un certo intervallo di tempo...
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