Biglia ferma che rimane ferma
Ciao, amici! Ho qualche problema a risolvere il seguente esercizio, che trovo molto intrigante:
Sono, direi, stato in grado di ottenere tale formula semplicemente imponendo che la forza risultante agente sulla biglia sia quella centripeta.Infatti in tal caso\[-\frac{R}{r_0}F_N=-m\omega^2 R\]\[\frac{\sqrt{r_0^2-R^2}}{r_0} F_N-mg=0\]
Tuttavia non saprei proprio come dimostrare a me stesso che, se la biglia si trova istantaneamente ferma, rimane allora ferma...
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi perché la biglia non può avere velocità nulla rispetto alla sfera, ma accelerare acquisendo una velocità relativa non nulla?
$\infty$ grazie a tutti!!!
"W.E. Gettys, F.J. Keller, M.J. Skove, Fisica 1":2xe5nkbo:
Supponiamo che una scodella semisferica di raggio $r_0$ ruoti con velocità angolare costante $\omega$ intorno al suo asse di simmetria verticale. Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quieta, sempre rispetto alla superficie. Dimostrare che allora\[R=\sqrt{r_0^2-\frac{g^2}{\omega^4}}\]
Sono, direi, stato in grado di ottenere tale formula semplicemente imponendo che la forza risultante agente sulla biglia sia quella centripeta.Infatti in tal caso\[-\frac{R}{r_0}F_N=-m\omega^2 R\]\[\frac{\sqrt{r_0^2-R^2}}{r_0} F_N-mg=0\]
Tuttavia non saprei proprio come dimostrare a me stesso che, se la biglia si trova istantaneamente ferma, rimane allora ferma...
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi perché la biglia non può avere velocità nulla rispetto alla sfera, ma accelerare acquisendo una velocità relativa non nulla?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Premesso che ti fai troppe domande (peggio di me 
), quando il testo dice "è in quiete", lo intende nel significato di navigatore; "rimanere in quiete" significa invece per sempre ovvero fino a che non cambino le condizioni: se non cambia niente quello che "era in quiete", vi rimane indefinitamente.
Cordialmente, Alex
P.S.: detto in altro modo e grossolanamente, il testo vuol dire che la biglia è ferma rispetto alla scodella in QUELLE condizioni e rimarrà ferma per sempre, se non cambiano QUELLE condizioni. E tu devi solo dimostrare che è vero ...
), quando il testo dice "è in quiete", lo intende nel significato di navigatore; "rimanere in quiete" significa invece per sempre ovvero fino a che non cambino le condizioni: se non cambia niente quello che "era in quiete", vi rimane indefinitamente.Cordialmente, Alex
P.S.: detto in altro modo e grossolanamente, il testo vuol dire che la biglia è ferma rispetto alla scodella in QUELLE condizioni e rimarrà ferma per sempre, se non cambiano QUELLE condizioni. E tu devi solo dimostrare che è vero ...
"axpgn":navigatore mi ha spiegato che se un punto materiale è in quiete in un riferimento,sia esso inerziale o no, la risultante di tutte le forze agenti sul punto (nel riferimento non inerziale ci devi mettere pure le forze inerziali) e reazioni vincolari è nulla. Questa è quella che credevo piuttosto essere la definizione di rimanere in quiete.
Premesso che ti fai troppe domande (peggio di me
"axpgn":
detto in altro modo e grossolanamente, il testo vuol dire che la biglia è ferma rispetto alla scodella in QUELLE condizioni e rimarrà ferma per sempre, se non cambiano QUELLE condizioni. E tu devi solo dimostrare che è vero ...
Il testo dice che, a quelle condizioni, se è in quiete (=ferma), allora rimane in quiete (=ferma). Questo mi sembra che escluda la possibilità che essere in quiete e rimanere in quiete siano la stessa cosa, altrimenti l'affermazione del testo sarebbe una tautologia come se sta ferma allora sta ferma. navigatore, se ben intendo, mi ha spiegato che essere in quiete significa essere sottoposti a una forza risultante nulla, che è ciò che io avrei piuttosto chiamato rimanere in quiete (vs. essere in quiete). Quindi non so più che cosa possa significare rimane in quiete.
"axpgn":Questo è esattamente ciò che avevo inteso io fin dal principio, come ho formalizzato qui. Leggendo questa tua frase mi sembra, francamente, che tu intenda l'affermazione del mio testo esattamente come l'avevo compresa io e, se la mia comprensione è corretta, l'unico mio dubbio che rimane è l'unica domanda che mi ero posto e cui non riuscivo a dare risposta nel post originale: come dimostrare a me stesso che, se la biglia si trova istantaneamente ferma, rimane allora ferma, cioè perché la biglia non può avere velocità istantanea nulla (=essere in quiete) rispetto alla sfera nel momento diciamo $t_0$ e al contempo avere accelerazione relativa non nulla (=non rimanere in quiete)?
"rimanere in quiete" significa invece per sempre ovvero fino a che non cambino le condizioni: se non cambia niente quello che "era in quiete", vi rimane indefinitamente.
$\infty$ grazie ad Alex a navigatore e a chiunque intervenga!
Ciao DavideGenova.
Mi pare che a proposito di questo problema tu ti stia facendo un sacco di quelle che tecnicamente si definiscono, almeno dalle parti dove ho vissuto per tanto tempo, ma credo non solo, "pippe mentali" (altrove il sostantivo plurale è sostituito da "seghe", stante l'aggettivo).
L'esercizio ti chiede in sostanza: "se posi la biglia a velocità nulla rispetto alla scodella su un punto della scodella in quali condizioni la biglia resta in quiete (rispetto alla scodella)?"
Come ti è stato già detto da navigatore all'inizio, e ribadito più volte, quello accade se e solo se la risultante di tutte le forze agenti sulle biglia (incluse eventuali forze apparenti), è sempre nulla. Questa condizione è sufficiente e necessaria, grazie all'equazione di Newton.
Mi pare che a proposito di questo problema tu ti stia facendo un sacco di quelle che tecnicamente si definiscono, almeno dalle parti dove ho vissuto per tanto tempo, ma credo non solo, "pippe mentali" (altrove il sostantivo plurale è sostituito da "seghe", stante l'aggettivo).
L'esercizio ti chiede in sostanza: "se posi la biglia a velocità nulla rispetto alla scodella su un punto della scodella in quali condizioni la biglia resta in quiete (rispetto alla scodella)?"
Come ti è stato già detto da navigatore all'inizio, e ribadito più volte, quello accade se e solo se la risultante di tutte le forze agenti sulle biglia (incluse eventuali forze apparenti), è sempre nulla. Questa condizione è sufficiente e necessaria, grazie all'equazione di Newton.
"Faussone":Certo, certo, conosco le leggi di Newton. Tuttavia io interpretavo il testo Supponiamo che una scodella semisferica di raggio $r_0$ ruoti con velocità angolare costante $\omega$ intorno al suo asse di simmetria verticale. Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie. Dimostrare che allora... come Supponiamo che una scodella semisferica di raggio $r_0$ ruoti con velocità angolare costante $\omega$ intorno al suo asse di simmetria verticale. Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella ha, in un certo istante, velocità nulla rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, la sua velocità rimane nulla, sempre rispetto alla superficie. Dimostrare che allora..., che oltretutto mi sembrerebbe coerente con il significato dei termini essere in quiete e rimanere in quiete che avevo attribuito loro fin dall'inizio e che mi pare che Alex mi confermi, nonché con l'uso consueto in italiano del se... [allora].
Come ti è stato già detto da navigatore all'inizio, e ribadito più volte, quello accade se e solo se la risultante di tutte le forze agenti sulle biglia (incluse eventuali forze apparenti), è sempre nulla. Questa condizione è sufficiente e necessaria, grazie all'equazione di Newton.
Mi sembra di capire che dici che, invece, il libro usa questo giro di parole per dire Supponiamo che una scodella semisferica di raggio $r_0$ ruoti con velocità angolare costante $\omega$ intorno al suo asse di simmetria verticale. Una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse ed essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie. Dimostrare che allora...? In tal caso, credo che sarebbe stato linguisticamente e logicamente più appropriato evitare quell'espressione se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie, che ha tutta l'aria di essere ciò che in logica si chiama un condizionale...
$\infty$ grazie anche a te!
Stavo per scrivere piu' o meno quanto Faussone ha scritto, ma mi sono raffreddato ultimamente viste le vicissitudini di questo forum - che ormai fa si che chi scrive riceve anche messaggi di congratulazioni da "sostenitori indipendenti" che ne incoraggiano l'attivita' - mentre chi risolve i problemi con passione e pazienza raramente riceve un grazie.
Approvato quanto scrive il Fauss, ti aggiungo una cosetta.
La posizione di equilibrio nella soluzione sara stabile, instabile o indifferente. A te decidere qual e'.
A prescindere, la pallina, messa li ferma, resta in quiete. Ferma.
Se l'eq. e' stabile allora anche se disturbata, ritorna alla posizione di equilibrio oscillandovi attorno.
Se non lo e', una volta perturbata non e' piu in quiete e non potra' tornarvi. Se calcoli l'energia potenziale della pallina ti trovi la formula matematica che descrive questi eventi nella maniera formale che a te sembra piacere tanto.
Naturalmente se la pallina viene perturbata in modo da muoversi lungo la circonferenza di raggio R (per esempio con "schicchera orizzontale" essa non rimarra' in quiete ma girera lungo la ciotola lungo la circonferenza.
Approvato quanto scrive il Fauss, ti aggiungo una cosetta.
La posizione di equilibrio nella soluzione sara stabile, instabile o indifferente. A te decidere qual e'.
A prescindere, la pallina, messa li ferma, resta in quiete. Ferma.
Se l'eq. e' stabile allora anche se disturbata, ritorna alla posizione di equilibrio oscillandovi attorno.
Se non lo e', una volta perturbata non e' piu in quiete e non potra' tornarvi. Se calcoli l'energia potenziale della pallina ti trovi la formula matematica che descrive questi eventi nella maniera formale che a te sembra piacere tanto.
Naturalmente se la pallina viene perturbata in modo da muoversi lungo la circonferenza di raggio R (per esempio con "schicchera orizzontale" essa non rimarra' in quiete ma girera lungo la ciotola lungo la circonferenza.
@DavideGenova
Sarò rinco io, ma non capisco la differenza tra le varie interpretazioni che hai scritto, inclusa la mia.
Aggiungo un'altra interpretazione equivalente: una biglia viene ad un certo istante incollata alla superficie di quella scodella in rotazione attorno al proprio asse di simmetria ad una certa distanza da esso, in che condizioni la biglia resta ferma senza che la colla lavori (o rimuovendo istantaneamente ad un certo istante la colla)?
Ovviamente la risposta è sempre la stessa...
[ot]@Professorkappa
Vabbè DavideGenova, non mi pare rientri nella categoria degli utenti a cui ti riferisci.
Non crucciarti comunque.. Sinceramente quando rispondo ai dubbi di qualcuno non mi aspetto un grazie, ma solo un feedback, ma spessissimo non ho avuto neanche quello
Quest'ultima cosa mi infastidisce un po' lo confesso, ma non mi interessa più di tanto.
Evidentemente altri che ricevono omaggi e lodi sperticate (da chi peraltro neanche mi pare sia intervenuto sul forum in precedenza o che se è intervenuto lo ha fatto solo e sempre sullo stessa tema) sono più fortunati e bravi di te e di me.
[/ot]
Sarò rinco io, ma non capisco la differenza tra le varie interpretazioni che hai scritto, inclusa la mia.
Aggiungo un'altra interpretazione equivalente: una biglia viene ad un certo istante incollata alla superficie di quella scodella in rotazione attorno al proprio asse di simmetria ad una certa distanza da esso, in che condizioni la biglia resta ferma senza che la colla lavori (o rimuovendo istantaneamente ad un certo istante la colla)?
Ovviamente la risposta è sempre la stessa...
[ot]@Professorkappa
Vabbè DavideGenova, non mi pare rientri nella categoria degli utenti a cui ti riferisci.
Non crucciarti comunque.. Sinceramente quando rispondo ai dubbi di qualcuno non mi aspetto un grazie, ma solo un feedback, ma spessissimo non ho avuto neanche quello
Quest'ultima cosa mi infastidisce un po' lo confesso, ma non mi interessa più di tanto. Evidentemente altri che ricevono omaggi e lodi sperticate (da chi peraltro neanche mi pare sia intervenuto sul forum in precedenza o che se è intervenuto lo ha fatto solo e sempre sullo stessa tema) sono più fortunati e bravi di te e di me.
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"Faussone":Il testo dice Supponiamo che una scodella semisferica di raggio $ r_0 $ ruoti con velocità angolare costante $ \omega $ intorno al suo asse di simmetria verticale. Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $ R $ dall'asse, essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie. Dimostrare che allora....
non capisco la differenza tra le varie interpretazioni che hai scritto, inclusa la mia.
Io avrei pensato -traduco tutto in formule matematiche, che sono completamente convinto che in fisica solo con il rigoroso linguaggio della matematica si scansi in ogni caso ogni equivoco- che essere in quiete rispetto alla scodella significhi che, per un certo istante $t_0$, la velocità relativa, in questo caso della biglia rispetto alla scodella, sia \(\mathbf{v}_{\text{rel}}(t_0)=0\) mentre rimanere in quiete significhi che \(\forall t\ge t_0\quad\mathbf{v}_{\text{rel}}(t_0)=0\), che equivale alla nullità della risultante delle forze agenti sulla biglia nel riferimento non inerziale della scodella (se era già \(\mathbf{v}_{\text{rel}}(t_0)=0\) all'istante $t_0$). Mi pare di capire che Alex concordi con tali interpretazioni di essere e rimanere in quiete, mentre non ho ben capito che cosa intenda con essere e rimanere in quiete navigatore, che qui mi sembra che intenda che essere in quiete significhi avere sia velocità sia accelerazione nulle, mentre qui mi sembra che anch'egli intenda, come me, che essere in quiete significhi avere velocità istantaneamente nulla.
Definiti l'essere in quiete e il rimanere in quiete secondo la mia interpretazione, tradurrei l'espressione del testo come Supponiamo che una scodella semisferica di raggio $ r_0 $ ruoti con velocità angolare costante $ \omega $ intorno al suo asse di simmetria verticale. Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella ha velocità \(\mathbf{v}_{\text{rel}}(t_0)=0\) rispetto alla superficie a una distanza $ R $ dall'asse all'istante $t_0$, la velocità relativa continua ad essere nulla anche dopo l'istante $t_0$. Dimostrare che allora...
Sbaglio?
Dire che se una biglia posta sulla superficie interna della scodella ha velocità \(\mathbf{v}_{\text{rel}}(t_0)=0\) rispetto alla superficie a una distanza $ R $ dall'asse all'istante $t_0$, la velocità relativa continua ad essere nulla anche dopo l'istante $t_0$ e dire che una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse ed essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie mi sembrano due cose molto diverse: nel primo caso si dice che se è ferma in un certo istante allora lo rimane anche dopo -ed è proprio questo che chiedo come si può dimostrare nel post originale- mentre nella seconda interpretazione si assume che sia e rimanga in uno stesso punto.
In ogni caso, dato che per avere velocità relativa costantemente nulla su un certo intervallo di tempo la risultante delle forze nel sistema non inerziale deve essere nulla, imponendo la nullità di questa si giunge mi sembra molto facilmente, a \(R=\sqrt{r_0^2-\frac{g^2}{\omega^4}}\) (io avevo ragionato imponendo che la risultante nel sistema inerziale fosse uguale alla forza centripeta perché la biglia continuasse a ruotare senza staccarsi dal punto della scodella su cui poggia, ma il mio ragionamento mi sembra del tutto identico a quello di navigatore, salvo il riferimento, che io ho scelto inerziale). Ma non era questo l'oggetto del mio chiedere qui e penso di aver sbagliato persino a pubblicare il mio facile sistemino nel post originale, che ha distolto l'attenzione dal mio interrogativo.
Ciò che non mi è chiaro, ammesso che la mia interpretazione di Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie sia corretta, è perché ciò accade: perché, se la biglia è ferma in un certo istante, allora rimane ferma?
"professorkappa":Mi sembra che anche tu, quindi, condividi la mia interpretazione, riassunta qui sopra, di Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie. L'oggetto del mio post originale è proprio questo: perché, se la biglia ha in un certo istante velocità nulla, rimane a velocità nulla? Ciò esclude, per esempio, che la biglia arrivi al bordo della scodella percorrendone un "meridiano" e ritorni giù per il meridiano, perché, in tal caso, direi che quando arriva al bordo avrebbe velocità relativa nulla e accelerazione relativa non nulla...
A prescindere, la pallina, messa li ferma, resta in quiete. Ferma
$\infty$ grazie a tutti e due (e anche ad Alex e navigatore)!
Capisco, Forse, la distinzione ma io sono ormai il quarto a dirt che resta, rimane, persiste, ferma dove e' all infinito se la metti in un punto qualsiasi di quella circonferenza.
"DavideGenova":
L'oggetto del mio post originale è proprio questo: perché, se la biglia ha in un certo istante velocità nulla, rimane a velocità nulla?
Perché se $sum \vecF_(ext)=0$ allora dato $\vecF=m\veca$ se $\vecF=0$ sarà $\veca=0$ (dovrei mettere la "freccina" anche sullo zero se no navigatore si arrabbia, ma non vorrei esagerare ...
)Cordialmente, Alex
"professorkappa":
resta, rimane, persiste, ferma dove e' all infinito se la metti in un punto qualsiasi di quella circonferenza.
Perdonatemi tutti. Credo di aver capito, solo adesso.
Intanto mi sembra che mi confermiate che la mia interpretazione di essere in quiete e rimanere in quiete non è scorretta.
Detto questo, credo che la biglia rimanga ferma in un punto qualsiasi di quella circonferenza di raggio $R=\sqrt{r_0^2-\frac{g^2}{\omega^4}}$ se vi si trova ferma ad un certo istante, ma non è vero che rimane ferma se si trova ferma a qualunque distanza $R$, che è ciò che avevo capito in principio, confondendomi grossolanamente.
$\aleph_1$ grazie a tutti!!!!!!!!!!
"DavideGenova":
ma non è vero che rimane ferma se si trova ferma a qualunque distanza $R$, che è ciò che avevo capito in principio, confondendomi grossolanamente.
Eh, beh, però l'avevamo detto che valeva "a quelle condizioni" (cioè "scodella", $r_0$, $omega$, $R$, superficie liscia, ecc ...)
Cordialmente, Alex
[ot]Ma hai poi smesso col russo ?
[/ot]
"axpgn":
Eh, beh, però l'avevamo detto che valeva "a quelle condizioni" (cioè "scodella", $r_0$, $omega$, $R$, superficie liscia, ecc ...)
...credevo che con condizioni si intendesse solo quello che il testo diceva prima di Se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a una distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie. Diciamo che avrei capito se il testo avesse riportato qualcosa come Esiste una certa distanza $R$ tale che, se una biglia posta sulla superficie interna della scodella è in quiete rispetto alla superficie a tale distanza $R$ dall'asse, essa rimane in quiete, sempre rispetto alla superficie. Caliamo un velo pietoso..."axpgn":Del Kolmogorov-Fomin sono giunto alla fine, non capendoci granché (dove per capire qualcosa intendo riuscire a trovare [da qualche parte, non necessariamente nel testo stesso, perché enuncia molto e dimostra una quantità molto inferiore di quanto enuncia] e comprendere una sua dimostrazione), purtroppo.
Ma hai poi smesso col russo ?
Davide , da quanto tempo non ti fai la barba? Se hai un rasoio "usa e getta" , la prossima volta comprati un rasoio marca Occam! 
Scherzi a parte, ti avevo suggerito di interpretare il problema nella maniera più semplice possibile. Forse la traduzione italiana del testo non è delle più felici, o forse è proprio il testo originale che "suona" così . Ma io l'avrei interpretato così. , che poi è la stessa interpretazione di Faussone.
Alex, ti perdono volentieri se non metti le frecce sui vettori nulli ….
Insomma, nella posizione di equilibrio :
1) la componente verticale della reazione vincolare deve essere uguale e contraria al peso
2) la componente orizzontale della reazione vincolare fornisce la forza centripeta.
Siamo tutti d'accordo?
Scherzi a parte, ti avevo suggerito di interpretare il problema nella maniera più semplice possibile. Forse la traduzione italiana del testo non è delle più felici, o forse è proprio il testo originale che "suona" così . Ma io l'avrei interpretato così. , che poi è la stessa interpretazione di Faussone.
Alex, ti perdono volentieri se non metti le frecce sui vettori nulli ….
Insomma, nella posizione di equilibrio :
1) la componente verticale della reazione vincolare deve essere uguale e contraria al peso
2) la componente orizzontale della reazione vincolare fornisce la forza centripeta.
Siamo tutti d'accordo?
[ot]@navigatore: questa è da Colmo per un filosofo... 
[/ot]Grazie ancora a tutti quanti!
[/ot]Grazie ancora a tutti quanti!
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