Baricentro e momento d'inerzia

[M.C.D.1]

Salve ragazzi Stavo cercando di determinare baricentro e momento d'inerzia (rispetto all'asse $z$) del seguente sistema (in grigio) in figura:



Per il baricentro ho pensato di procedere in questo modo, so che il baricentro si troverà sulla bisettrice $y=x$, ho determinato il baricentro del triangolo equilatero intero (per ragioni simmetriche dovrebbe essere il medesimo che considerare quello dei due triangolini grigi insieme, giusto?) Poi ho determinato il baricentro del Quadrato ed infine ho determinato il baricentro tra i due baricentri.

Ho controllato questo risultato con quello ottenuto mediante calcolo diretto (attraverso gli integrali) e mi ritrovo.

Per il momento di inerzia rispetto all'asse z, data l'additività del momento d'inerzia ho calcolato separatamente quello dei due triangolini e quello del quadrato.
Per i due triangolini, l'ho calcolato come differenza tra il momento di inerzia del triangolo equilatero ($OB_0A_0$) e quello del triangolo isoscele ($OB_1A_1$) di base $2a$. Mi chiedevo, c'è qualche altra tipologia di ragionamento che mi consenta di determinarlo piu' rapidamente? Conosco la "formula" del momento d'inerzia per un asse perpendicolare al piano e passante per un vertice di un triangolo equilatero, c'è qualcosa di analogo per un triangolo isoscele?

Quello del quadrato l'ho calcolato utilizzando il momento d'inerzia rispetto ad un'asse perpendicolare al piano e passante per il baricentro, e poi ho utilizzato il teorema di Huygens-Steiner.

Ho detto un mucchio di castronerie?
Ringrazio quanti mi aiuteranno

EDIT

Salvo errori nei conti, questa dovrebbe essere l'espressione del momento d'inerzia relativo ad una retta ortogonale al piano e passante per il vertice opposto alla base di un triangolo isoscele.
$ m/12 (6a^2 -b^2)$ con $a$ lato obliquo, $b$ base del triangolo ed $m$ la massa.

[professorkappa]

E' tutto giusto.

Se sai trovare la "formula" del momento di interzia rispetto a uno dei vertici di un triangolo equilatero, trova la "formula" per un triangolo isoscele.

[M.C.D.1]

"professorkappa":E' tutto giusto.

Se sai trovare la "formula" del momento di interzia rispetto a uno dei vertici di un triangolo equilatero, trova la "formula" per un triangolo isoscele.

Grazie Professorkappa, un faro in questo mare di teoria
Piu' tardi provo a determinare l'espressione del momento d'inerzia rispetto al vertice opposto alla base di un triangolo isoscele.

Volevo chiederti, nel caso volessi determinare una terna principale d'inerzia,
So che un asse di simmetria nel caso piano è principale d'inerzia (in questo caso la bisettrice $y=x$), l'asse z è anche essa principale d'inerzia, è corretto dire che una retta ortogonale ad entrambe è il terzo asse cercato? (in questo caso l'altra bisettrice?) (in virtu' della simmetria della matrice d'inerzia)

Mi chiedevo inoltre se un asse "r" è principale d'inerzia allora i momenti centrifughi sono nulli (ovvero i prodotti d'inerzia di "r" con un asse ad essa ortogonale), ma è vero anche il viceversa? ovvero se sono nulli i momenti centrifughi posso dire che l'asse è d'inerzia?

EDIT

Salvo errori nei conti, questa dovrebbe essere l'espressione del momento d'inerzia relativo ad una retta ortogonale al piano e passante per il vertice opposto alla base di un triangolo isoscele.
$ m/12 (6a^2 -b^2)$ con $a$ lato obliquo, $b$ base del triangolo ed $m$ la massa.