Bacchetta che scivola su due binari orrizzontali e campo magnetico
Una bacchetta di metallo di massa m e lunghezza L, inizialmente ferma, può scivolare su
due lunghi binari orizzontali senza attrito. Un campo magnetico B uniforme verticale è
presente nella regione in cui la bacchetta può muoversi. La batteria G applica al circuito
formato dai binari e dalla bacchetta una forza elettromotrice costante ε, facendo
circolare una corrente il cui verso è mostrato in figura.
Si determini:
A) La forza che agirebbe sulla sbarretta se non vi fosse una f.e.m. indotta
B) La velocità limite in presenza fella f.e.m indotta
C) L’andamento della velocità in funzione del tempo.
DATI: m= 2 kg, L=10 cm, ε = 40 V, B=2T, R= 10 Ω
A) $vec F= (veci L) X (vec B) = iBL sin(alpha)= iBL sin(90)= iBL$. La corrente i come si calcola? Con la forumula: $i=(DeltaV)/R$ ? E se si, come si calcola la differenza di potenziale in questo caso?
B) Io so che la velocità limite si ha quando l'accelerazione è nulla. Sapendo che: $ma=-F => m(dv)/dt=-F => 0=-F$. Da qui mi dovrei trovare la velocità limite, giusto?
C)Non ne ho idea...
due lunghi binari orizzontali senza attrito. Un campo magnetico B uniforme verticale è
presente nella regione in cui la bacchetta può muoversi. La batteria G applica al circuito
formato dai binari e dalla bacchetta una forza elettromotrice costante ε, facendo
circolare una corrente il cui verso è mostrato in figura.
Si determini:
A) La forza che agirebbe sulla sbarretta se non vi fosse una f.e.m. indotta
B) La velocità limite in presenza fella f.e.m indotta
C) L’andamento della velocità in funzione del tempo.
DATI: m= 2 kg, L=10 cm, ε = 40 V, B=2T, R= 10 Ω
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A) $vec F= (veci L) X (vec B) = iBL sin(alpha)= iBL sin(90)= iBL$. La corrente i come si calcola? Con la forumula: $i=(DeltaV)/R$ ? E se si, come si calcola la differenza di potenziale in questo caso?
B) Io so che la velocità limite si ha quando l'accelerazione è nulla. Sapendo che: $ma=-F => m(dv)/dt=-F => 0=-F$. Da qui mi dovrei trovare la velocità limite, giusto?
C)Non ne ho idea...
Risposte
Per il punto B... basta pensare che la barretta si muove a velocità costante dal momento in cui il potenziale in essa creatosi, in seguito al suo moto soggetto a due forze opposte( quella che ostacola la variazione di flusso di campo e quella che si genera il seguito al passaggio di corrente che ti sei calcolato nel punto A) eguaglia il potenziale del generatore... ossia
$BLv_$= $fem$
con v che è la velocità limite. Da qui te la ricavi facilmente.... ma attendiamo chi è più ferrato di me sull'argomento.
$BLv_$= $fem$
con v che è la velocità limite. Da qui te la ricavi facilmente.... ma attendiamo chi è più ferrato di me sull'argomento.
"ilgi":
Per il punto B... basta pensare che la barretta si muove a velocità costante dal momento in cui il potenziale in essa creatosi, in seguito al suo moto soggetto a due forze opposte( quella che ostacola la variazione di flusso di campo e quella che si genera il seguito al passaggio di corrente che ti sei calcolato nel punto A) eguaglia il potenziale del generatore... ossia
$BLv_$= $fem$
con v che è la velocità limite. Da qui te la ricavi facilmente.... ma attendiamo chi è più ferrato di me sull'argomento.
Ti ringrazio per il tuo aiuto. Mi trovo col tuo ragionamento
. Per gli altri punti mi sai dire qualcosa?
Il primo punto è giusto...la differenza di potenziale è quella del generatore dato che si esclude la presenza della differenza di potenziale sulla barra (esclusa dal quesito): se ci fosse stata avresti dovuto sommarle ( con i dovuti segni , in quanto 'lavorano in maniera opposta')
Per l'ultimo nn saprei... probabilmente devi risolvere un' eq differenziale...
Per l'ultimo nn saprei... probabilmente devi risolvere un' eq differenziale...
"ilgi":
Il primo punto è giusto...la differenza di potenziale è quella del generatore dato che si esclude la presenza della differenza di potenziale sulla barra (esclusa dal quesito): se ci fosse stata avresti dovuto sommarle ( con i dovuti segni , in quanto 'lavorano in maniera opposta')
Per l'ultimo nn saprei... probabilmente devi risolvere un' eq differenziale...
Per differenza di potenziale del generatore intendi la forza elettromotrice da esso prodotta, giusto? Quindi $epsilon=40V$ ?
Qualcuno mi sa aiutare sul punto C) ?
"TheDroog":
[quote="ilgi"]Il primo punto è giusto...la differenza di potenziale è quella del generatore dato che si esclude la presenza della differenza di potenziale sulla barra (esclusa dal quesito): se ci fosse stata avresti dovuto sommarle ( con i dovuti segni , in quanto 'lavorano in maniera opposta')
Per l'ultimo nn saprei... probabilmente devi risolvere un' eq differenziale...
Per differenza di potenziale del generatore intendi la forza elettromotrice da esso prodotta, giusto? Quindi $epsilon=40V$ ?
Qualcuno mi sa aiutare sul punto C) ?[/quote]
Si
Giusto per essere sintetici, la bacchetta, partendo da ferma, essendo percorsa da una corrente, sarà sottoposta ad una forza ed andrà ad accelerare acquistando una velocità funzione del tempo:
la forza
$f(t)=BLi(t)$
la fem indotta
$e(t)=BLv(t)$
l'accelerazione
$a(t)=f(t)/m$
la corrente circolante
$i(t)={\epsilon-e(t)}/R$
Ora lascio a te comporre il tutto.
la forza
$f(t)=BLi(t)$
la fem indotta
$e(t)=BLv(t)$
l'accelerazione
$a(t)=f(t)/m$
la corrente circolante
$i(t)={\epsilon-e(t)}/R$
Ora lascio a te comporre il tutto.
Ok. Mi è tutto chiaro tranne una cosa. La velocità limite come la trovo? Dalla relazione $BLv=epsilon$ ? E la $v(t)$ da inserire nella formula della f.e.m indotta è quella in funzione del tempo? E come la posso ricavare?
La velocità limite si ha quando la forza è nulla;
la forza è nulla quando la corrente è nulla
la corrente è nulla quando la f.e.m. indotta è uguale (e opposta) a quella del generatore
la forza è nulla quando la corrente è nulla
la corrente è nulla quando la f.e.m. indotta è uguale (e opposta) a quella del generatore
Ok, grazie della conferma. Invece l'andamento della velocità in funzione del tempo come la posso trovare? Risolvendo un'equazione differenziale ?
Certo, partendo dall'accelerazione
$v'(t)= (BL)/(Rm) (\epsilon-BLv(t))$
otterrai la soluzione per v(t) con un paio di passaggi, valore di regime compreso.
$v'(t)= (BL)/(Rm) (\epsilon-BLv(t))$
otterrai la soluzione per v(t) con un paio di passaggi, valore di regime compreso.
Sì: l'accelerazione (la derivata della velocità) è proporzionale alla corrente, che a sua volta è proporzionale a $V - kv(t)$
E' una situazione analoga a quella della carica di un condensatore, in cui $i$ è proporzionale a $V - kq$, ovvia $dot q = alpha (V - kq)$
Ti dovrebbe venire qulcosa della forma $v(t) = v_0 - alpha e ^ (-beta t)$
P.S. Scusa RenzoDF, non avevo visto il tuo post...
E' una situazione analoga a quella della carica di un condensatore, in cui $i$ è proporzionale a $V - kq$, ovvia $dot q = alpha (V - kq)$
Ti dovrebbe venire qulcosa della forma $v(t) = v_0 - alpha e ^ (-beta t)$
P.S. Scusa RenzoDF, non avevo visto il tuo post...
Ringrazio entrambi però ho un problema un po' "stupido". Non saprei come risolvere l'equazione differeniale. Non riesco a capire come dovrei trattarla. Come una qualsiasi equazione di primo grado? Cioè $v'(t) = ((BL)/(Rm))*(epsilon - BLv(t)) => v'(t)=(BLepsilon)/(Rm) -(B^2L^2v(t))/(Rm) =>v'(t) +(B^2L^2v(t))/(Rm) = (BLepsilon)/(Rm)$ per poi andare a trovarmi la soluzione dell'omogenea associata e poi quella della particolare?
Esatto, da quella equazione è immediato riconoscere la costante di tempo della salita esponenziale e la soluzione particolare da ricercare in una v(t) costante e quindi con derivata nulla. 
Ti riporto i passaggi perché ho davvero molti dubbi sulle equazioni differenziali "applicate alla fisica".
Soluzione omogena: $v(t)= e^-A(t)$ con $A(t)=int((B^2L^2)/(Rm)*dt)=(B^2L^2)/(Rm)*t$ giusto?
Adesso la particolare come la trovo? Dovrei fare: $int(e^(A(t))*g(t))$ con $g(t)=(BLepsilon)/(Rm)$ ma questo integrale come lo posso risolvere?
Soluzione omogena: $v(t)= e^-A(t)$ con $A(t)=int((B^2L^2)/(Rm)*dt)=(B^2L^2)/(Rm)*t$ giusto?
Adesso la particolare come la trovo? Dovrei fare: $int(e^(A(t))*g(t))$ con $g(t)=(BLepsilon)/(Rm)$ ma questo integrale come lo posso risolvere?
Ti consiglio di ripassarti il metodo risolutivo per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti; non serve nessun integrale!
Si, hai completamente ragione. Mi sono confuso.. Ancora grazie !
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