Azione Hamiltoniana
Salve a tutti. Ho un problema nella comprensione di un concetto base della meccanica che spero possiate aiutarmi a risolvere.
Quando si parla di moto effettivo,naturale,vero si parla di un moto che soddisfa le equazioni di Newton e di conseguenza le equazioni di Lagrange?
Per esempio una particella che va da un punto 1 a un punto 2 nell'intervallo di tempo compreso tra t1 e t2 è tale che l'integrale d'azione
$$S=\int_{t_1}^{t_2}\mathbb{L}\, dt$$
assume su di esso un valore stazionario
Ora se a questa particella applico una forza che varia nel tempo, non si parla più di moto effettivo?
Quando si parla di moto effettivo,naturale,vero si parla di un moto che soddisfa le equazioni di Newton e di conseguenza le equazioni di Lagrange?
Per esempio una particella che va da un punto 1 a un punto 2 nell'intervallo di tempo compreso tra t1 e t2 è tale che l'integrale d'azione
$$S=\int_{t_1}^{t_2}\mathbb{L}\, dt$$
assume su di esso un valore stazionario
Ora se a questa particella applico una forza che varia nel tempo, non si parla più di moto effettivo?
Risposte
Mi permetto di farti notare che il principio di minima azione è alla base di tutta la fisica, non solo della meccanica.
Inoltre, in fisica, la nozione di "moto effettivo,naturale,vero" non esiste.
Inoltre, in fisica, la nozione di "moto effettivo,naturale,vero" non esiste.
Perdonami ma non mi sono espresso benissimo. Faccio qualche riferimento specifico
Sul libro di Meccanica Classica il principio di Hamilton è enunciato nel seguente modo
Sul Landau trovo che
Dalle dispense di un altro corso di meccanica analitica
In pratica, una volta impostata l'equazione differenziale del moto di Newton o di Lagrange, date le condizioni iniziali, riesco a conoscere a priori il moto di un determinato oggetto
Non riesco a capire come ciò si identifichi con la stazionarietà dell'azione hamiltoniana?
(Inoltre perchè viene chiamata azione?)
Sul libro di Meccanica Classica il principio di Hamilton è enunciato nel seguente modo
il moto effettivo di una particella dal punto 1 al un punto 2 nell'intervallo di tempo compreso tra t1 e t2 è tale che l'integrale d'azione
$$ S=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}\, dt $$
assume su di esso un valore stazionario
Sul Landau trovo che
Poichè le traiettorie del moto effettivo soddisfano le equazioni d i Lagrange, l'integrale si annulla.
Dalle dispense di un altro corso di meccanica analitica
Ogni moto naturale di un sistema olonomo a vincoli perfetti soggetto a forze derivanti da un potenziale è caratterizzato nella classe dei moti variati sincroni e che si svolgono fra le stesse configurazioni estreme dalla proprietà di rendere stazionaria l'azione hamiltoniana
$$S=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}\, dt $$
In pratica, una volta impostata l'equazione differenziale del moto di Newton o di Lagrange, date le condizioni iniziali, riesco a conoscere a priori il moto di un determinato oggetto
Non riesco a capire come ciò si identifichi con la stazionarietà dell'azione hamiltoniana?
(Inoltre perchè viene chiamata azione?)
Il principio di minima azione è un principio (il principio fondamentale della fisica) per cui è dato come "inizio" di tutti i discorsi in tutte le branche della fisica.
Dal principio di minima azione si deduce l'equazione di Eulero-Lagrange che è l'equazione fondamentale della fisica. Poi, data una particolare lagrangiana, risolvendo l'eq. di E-L si determina l'equazione del moto del sistema descritto dalla suddetta lagrangiana.
L'equazione di Newton $F = m a$ è solo un caso particolare di equazione del moto ...
ps. non so perché l'azione si chiama così, ci vorrebbe l'aiuto di uno storico della scienza ...
Dal principio di minima azione si deduce l'equazione di Eulero-Lagrange che è l'equazione fondamentale della fisica. Poi, data una particolare lagrangiana, risolvendo l'eq. di E-L si determina l'equazione del moto del sistema descritto dalla suddetta lagrangiana.
L'equazione di Newton $F = m a$ è solo un caso particolare di equazione del moto ...
ps. non so perché l'azione si chiama così, ci vorrebbe l'aiuto di uno storico della scienza ...
Ok fin qui ci sono. Ora mi chiedo:
Se però l'integrale:
\[ S=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}\, dt \]
non assume nell'intervallo t1 e t2 un valore stazionario? Ok non rappresenta il moto effettivo; quindi cosa rappresenta?
Se però l'integrale:
\[ S=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}\, dt \]
non assume nell'intervallo t1 e t2 un valore stazionario? Ok non rappresenta il moto effettivo; quindi cosa rappresenta?
Un moto possibile che pero' in natura non si realizza.
Un moto possibile che pero' in natura non si realizza.
Perdonami ma non ho capito
potresti farmi un esempio?
Prendi la particella classica libera in una dimensione. La sua lagrangiana è $L = 1/2 m dot x ^2$. Applicando il principio di minima azione ovvero l'equazione di Eulero-Lagrange si ottiene l'equazione del moto $ddot x = 0$. Questo è il moto che effettivamente si realizza in questo caso in natura.
Prendi l'eq. del moto $x = sin t$. Questa equazione produce un'azione maggiore di quella che si ottiene sostituendovi la soluzione precedente. La presente soluzione, quindi, non si verifica in natura per questa lagrangiana.
Prendi l'eq. del moto $x = sin t$. Questa equazione produce un'azione maggiore di quella che si ottiene sostituendovi la soluzione precedente. La presente soluzione, quindi, non si verifica in natura per questa lagrangiana.
Perfetto 
ti ringrazio, soprattutto per la pazienza
ti ringrazio, soprattutto per la pazienza
Prego, è un piacere discutere su argomenti così importanti !
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