Atomo di Bohr
Gentilissimi,
mi piacerebbe riuscire a giustificare l'affermazione "l’elettrone emette radiazione elettromagnetica
secondo l’elettromagnetismo classico, ovvero radiazione di frequenza pari alla frequenza
di rotazione dell’elettrone attorno al nucleo"
Ma non riesco, qualcuno saprebbe aiutarmi con le formule?
grazie
mi piacerebbe riuscire a giustificare l'affermazione "l’elettrone emette radiazione elettromagnetica
secondo l’elettromagnetismo classico, ovvero radiazione di frequenza pari alla frequenza
di rotazione dell’elettrone attorno al nucleo"
Ma non riesco, qualcuno saprebbe aiutarmi con le formule?
grazie
Risposte
La spiegazione è piuttosto complessa, che studi segui? Così vedo se è qualcosa che puoi comprendere, dato che si parla comunque di argomenti di elettromagnetismo non banali, certamente non da liceo
La tua risposta sta nell'energia persa nell'unità di tempo da una carica in moto accelerato, ovvero nella formula di Larmor che esprime proprio tale potenza. Puoi guardare su wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Larmor per una scarna derivazione. Leggiti quella se hai problemi su alcuni passaggi li vediamo singolarmente. Puoi anche cercare in rete delle dispense se vuoi, è trattata su tutti i libri di elettromagnetismo.
PS: Naturalmente un atomo non irraggia davvero in quel modo, altrimenti collasserebbe in una manciata di nanosecondi.
PS: Naturalmente un atomo non irraggia davvero in quel modo, altrimenti collasserebbe in una manciata di nanosecondi.
Seguo il corso meccanica quantistica 1 e viene data come affermazione palese, quindi dato che non mi pareva così immediato volevo colmare la mia lacuna.
Ero proprio partito da Larmor anche io mettendoci l'accelerazione centripeta in a, tuttavia non dovrei avere come incongita la potenza?
Ero proprio partito da Larmor anche io mettendoci l'accelerazione centripeta in a, tuttavia non dovrei avere come incongita la potenza?
La situazione è questa, usando unità cgs.
Puoi scrivere l'equazione del moto come
$m\dotv=-e^2/r^2$
a cui aggiungi l'energia persa per unità di tempo
$(dE)/(dt)=-2/3 e^2/c^3\dotv^2$
Ci sostituisci la relazione di sopra per l'accelerazione, o riscrivi tutto in funzione della frequenza se ti va, ed hai finito.
Se vuoi trovare il tempo di collasso basta considerare che siamo in campo centrale e possiamo usare il teorema del viriale per l'energia totale che sarà quindi
$E=-e^2/(2r)$ . Naturalmente $r=r(t)$ quindi derivi nel tempo questa e la uguagli alla potenza di
Larmor in questo modo hai una equazione differenziale per il raggio. Con la condizione che al tempo $t$ il raggio si annulli, quindi l'elettrone sbatta sul nucleo, trovi il tempo di collasso che è dell'ordine dei nanosecondi se ricordo bene. Quindi l'atomo non è un sistema classico ma qualcosa di diverso, appunto quantistico.
Puoi scrivere l'equazione del moto come
$m\dotv=-e^2/r^2$
a cui aggiungi l'energia persa per unità di tempo
$(dE)/(dt)=-2/3 e^2/c^3\dotv^2$
Ci sostituisci la relazione di sopra per l'accelerazione, o riscrivi tutto in funzione della frequenza se ti va, ed hai finito.
Se vuoi trovare il tempo di collasso basta considerare che siamo in campo centrale e possiamo usare il teorema del viriale per l'energia totale che sarà quindi
$E=-e^2/(2r)$ . Naturalmente $r=r(t)$ quindi derivi nel tempo questa e la uguagli alla potenza di
Larmor in questo modo hai una equazione differenziale per il raggio. Con la condizione che al tempo $t$ il raggio si annulli, quindi l'elettrone sbatta sul nucleo, trovi il tempo di collasso che è dell'ordine dei nanosecondi se ricordo bene. Quindi l'atomo non è un sistema classico ma qualcosa di diverso, appunto quantistico.
Grazie molte!
Io seguivo perché incuriosito, ma non mi torna la sostituzione, posso chiedere la soluzione
Non ho capito a quale soluzione ti riferisci, se in senso stretto alla domanda iniziale o al tempo di collasso. Comunque
$\dotv=-e^2/(mr^2)$ quindi $(dE)/(dt)=-2/3 e^2/c^3(-e^2/(mr^2))^2= -2/3 e^6/(c^3m^2r^4)$
In funzione della frequenza, volendo, sarebbe $\dotv=-e^2/(mr^2)=\omega^2r$, quindi se lasci indicata la frequenza appare, come richiesto, la dipendenza da essa per la radiazione emessa.
Per quanto riguarda il tempo di collasso, se derivi l'energia totale ottieni
$(dE)/(dt)=e^2/2 (\dotr/r^2)$ che eguagliata all'altra ci dà l'equazione
$r^2\dotr=-4/3(e^4/(m^2c^3))$
Con la condizione $r(\bart)=0$ ed integrando in $[0,\bart]$ trovi
$r(0)^3-4e^4/(m^2c^3)\bart=0$ .
Come raggio semiclassico dell'atomo si può prendere come ordine di grandezza $r(0)=10^(-8) "cm"$ (in alternativa puoi prendere il valore esatto del raggio di Bohr).
E insomma, quindi hai tutto, devi solo ricavare $\bart$ e meno di errori dovrebbe venire fuori qualcosa come $10^(-10) s $ o giù di lì.
$\dotv=-e^2/(mr^2)$ quindi $(dE)/(dt)=-2/3 e^2/c^3(-e^2/(mr^2))^2= -2/3 e^6/(c^3m^2r^4)$
In funzione della frequenza, volendo, sarebbe $\dotv=-e^2/(mr^2)=\omega^2r$, quindi se lasci indicata la frequenza appare, come richiesto, la dipendenza da essa per la radiazione emessa.
Per quanto riguarda il tempo di collasso, se derivi l'energia totale ottieni
$(dE)/(dt)=e^2/2 (\dotr/r^2)$ che eguagliata all'altra ci dà l'equazione
$r^2\dotr=-4/3(e^4/(m^2c^3))$
Con la condizione $r(\bart)=0$ ed integrando in $[0,\bart]$ trovi
$r(0)^3-4e^4/(m^2c^3)\bart=0$ .
Come raggio semiclassico dell'atomo si può prendere come ordine di grandezza $r(0)=10^(-8) "cm"$ (in alternativa puoi prendere il valore esatto del raggio di Bohr).
E insomma, quindi hai tutto, devi solo ricavare $\bart$ e meno di errori dovrebbe venire fuori qualcosa come $10^(-10) s $ o giù di lì.
Intendevo la seconda, scusami
Sei molto gentile!
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