Asta su uno spigolo
Buonasera, avrei bisogno di un aiuto su un esercizio circa l'equilibrio di un corpo rigido.
Un'asta di massa M e lunghezza L è adagiata contro un muro privo di attrito,con un quarto della sua lunghezza che sporge da uno spigolo. L'asta forma un angolo θ con l'orizzontale. Quale angolo θ con l'orizzontale richiede il minimo valore del coefficiente di attrito statico tra l'asta e lo spigolo per tenere l'asta in equilibrio?
Ho proceduto così:
Ho determinato le forze in gioco, reazione normale nel punto di contatto asta muro, forza peso che agisce in corrispondenza del centro di massa dell'asta e una reazione vincolare nel punto di contatto asta spigolo, che ho supposto essere inclinata verso destra in modo da fornire una componente verticale(reazione normale) che si oppone alla forza peso e una componente orizzontale(forza di attrito) che si oppone alla forza normale del muro e ho scritto le equazioni dell'equilibrio traslazionale e rotazionale, ho ricavato una funzione del coefficiente di attrito statico in funzione dell'angolo e ho usato la derivata per determinare il valore minimo. Il risultato non riesce e tra l'altro mi sorge qualche dubbio circa il vettore reazione vincolare dello spigolo. Il risultato dell'esercizio è θ=30°
Un'asta di massa M e lunghezza L è adagiata contro un muro privo di attrito,con un quarto della sua lunghezza che sporge da uno spigolo. L'asta forma un angolo θ con l'orizzontale. Quale angolo θ con l'orizzontale richiede il minimo valore del coefficiente di attrito statico tra l'asta e lo spigolo per tenere l'asta in equilibrio?
Ho proceduto così:
Ho determinato le forze in gioco, reazione normale nel punto di contatto asta muro, forza peso che agisce in corrispondenza del centro di massa dell'asta e una reazione vincolare nel punto di contatto asta spigolo, che ho supposto essere inclinata verso destra in modo da fornire una componente verticale(reazione normale) che si oppone alla forza peso e una componente orizzontale(forza di attrito) che si oppone alla forza normale del muro e ho scritto le equazioni dell'equilibrio traslazionale e rotazionale, ho ricavato una funzione del coefficiente di attrito statico in funzione dell'angolo e ho usato la derivata per determinare il valore minimo. Il risultato non riesce e tra l'altro mi sorge qualche dubbio circa il vettore reazione vincolare dello spigolo. Il risultato dell'esercizio è θ=30°
Risposte
A me viene 45.
Potresti postare la tua risoluzione?
Ma no; posta tu la tua che la vediamo. Della mia non interessa a nessuno.
Un'asta di massa M e lunghezza L è adagiata contro un muro privo di attrito,con un quarto della sua lunghezza che sporge da uno spigolo. L'asta forma un angolo θ con l'orizzontale.
Sei sicura del testo , e della figura ? Quale è l'orizzontale , quale è la verticale ? Guardando la figura , mi viene di ruotarla in senso antiorario di 90º , visto che $theta$ deve essere l'angolo che l'asta forma con il piano orizzontale.
La figura deve essere ruotata, lo spigolo sporgente è sull'orizzontale
Dai dati del problema, e con la figura messa nel modo giusto, si deduce quanto segue.
LA reazione del muro $vecR$ è solo orizzontale, poiché non c'è attrito . LA reazione dello spigolo $vecF$, invece, ha sia un componente normale all'asta $vecN$ che un componente tangente all'asta $vecA$ , il quale non è altro che la forza di attrito che lo spigolo esercita sull'asta. Affinché l'asta non scivoli , deve essere :
$A<=muN$ (moduli delle forze)
Ci interessa quindi trovare i due vettori componenti anzidetti . PER fare ciò , dobbiamo passare prima attraverso un'altra scomposizione della reazione dello spigolo , quella secondo le due direzioni verticale e orizzontale :
$vecF = vecF_o + vecF_v$
infatti, dobbiamo scrivere le equazioni di equilibrio dell'asta alla traslazione orizzontale e alla traslazione verticale , nonché l'equilibrio alla rotazione rispetto allo spigolo , che si assume come polo.
Fatto questo lavoro, cioè trovate le componenti verticale e orizzontale , si passa alle componenti $A$ e $N$ mediante relazioni trigonometriche , un po' brigose ma non difficili ( che non riporto...
) . La condizione $A<=muN$ diventa , dopo vari passaggi :
$sen2theta <= mu( 1 + 2sen^2theta) $
da cui : $mu >=(sen2theta)/( 1 + 2sen^2theta) $
il più piccolo valore di $mu$ , funzione dell'angolo $theta$ , si ha prima di tutto prendendo il segno di uguaglianza :
$mu=(sen2theta)/( 1 + 2sen^2theta) $
per trovare l'angolo $theta$ a cui corrisponde il minimo, si calcola la derivata $ (dmu)/(d\theta) $ , e la si pone uguale a zero . Alla fine , ho trovato che deve essere :
$cos2\theta * ( 1 +2sen^2theta) = sen^2(2theta) $
Lungi da me l'idea di mettermi a risolvere equazioni trigonometriche !
Mi sono limitato a verificare che la soluzione proposta dal libro , e cioè $theta = 30º$ , è giusta .
LA reazione del muro $vecR$ è solo orizzontale, poiché non c'è attrito . LA reazione dello spigolo $vecF$, invece, ha sia un componente normale all'asta $vecN$ che un componente tangente all'asta $vecA$ , il quale non è altro che la forza di attrito che lo spigolo esercita sull'asta. Affinché l'asta non scivoli , deve essere :
$A<=muN$ (moduli delle forze)
Ci interessa quindi trovare i due vettori componenti anzidetti . PER fare ciò , dobbiamo passare prima attraverso un'altra scomposizione della reazione dello spigolo , quella secondo le due direzioni verticale e orizzontale :
$vecF = vecF_o + vecF_v$
infatti, dobbiamo scrivere le equazioni di equilibrio dell'asta alla traslazione orizzontale e alla traslazione verticale , nonché l'equilibrio alla rotazione rispetto allo spigolo , che si assume come polo.
Fatto questo lavoro, cioè trovate le componenti verticale e orizzontale , si passa alle componenti $A$ e $N$ mediante relazioni trigonometriche , un po' brigose ma non difficili ( che non riporto...
) . La condizione $A<=muN$ diventa , dopo vari passaggi :$sen2theta <= mu( 1 + 2sen^2theta) $
da cui : $mu >=(sen2theta)/( 1 + 2sen^2theta) $
il più piccolo valore di $mu$ , funzione dell'angolo $theta$ , si ha prima di tutto prendendo il segno di uguaglianza :
$mu=(sen2theta)/( 1 + 2sen^2theta) $
per trovare l'angolo $theta$ a cui corrisponde il minimo, si calcola la derivata $ (dmu)/(d\theta) $ , e la si pone uguale a zero . Alla fine , ho trovato che deve essere :
$cos2\theta * ( 1 +2sen^2theta) = sen^2(2theta) $
Lungi da me l'idea di mettermi a risolvere equazioni trigonometriche !
Mi sono limitato a verificare che la soluzione proposta dal libro , e cioè $theta = 30º$ , è giusta .
a me viene $mu=*(1+2sin^2theta)/sin(2theta)$ (l'inverso di SHackle).
Se faccio la derivata e annullo mi da' 45. Ma probabilemtne errore di derivazione mio, probabilmente nella prostaferesi; lo riguardero' con calma
Se faccio la derivata e annullo mi da' 45. Ma probabilemtne errore di derivazione mio, probabilmente nella prostaferesi; lo riguardero' con calma
Ti ringrazio Shackle per la risposta esaustiva, ma non mi è chiaro un passaggio. Perché per trovare per le due componenti N e A passiamo per l'ulteriore scomposizione di F in Fo e Fv?
Perché devi prima scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale, verticale, e alla rotazione rispetto allo spigolo. Ad esempio, la prima detta ci dà: $F_o =R$. Ma puoi anche proiettare tutte le forze agenti sulla direzione dell’asta e sulla sua normale, e poi scrivere le condizioni di equilibrio: il risultato è lo stesso. Io ho trovato più facile il primo modo.
Potresti darmi delle delucidazioni circa le direzioni delle reazioni vincolari. Per esempio nel caso di un'asta che poggia l'estremo su un piano orizzontale, la reazione vincolare del piano come è rivolta? Unica componente verticale in assenza di attrito, inclinata di un certo angolo in presenza di attrito? E poi nel caso del problema che ho proposto, la reazione normale della superficie qual è? La componente verticale di F oppure la componente N normale all'asta?
"Lucy303":
Potresti darmi delle delucidazioni circa le direzioni delle reazioni vincolari. Per esempio nel caso di un'asta che poggia l'estremo su un piano orizzontale, la reazione vincolare del piano come è rivolta? Unica componente verticale in assenza di attrito, inclinata di un certo angolo in presenza di attrito?
Non si può generalizzare tanto , le reazioni vincolari dipendono dal tipo di vincolo ma anche dalle forze applicate. La statica piana ( cioè, relativa a corpi schematizzabili con figure geometriche giacenti in un piano , e sollecitate da forze nello stesso piano) si occupa di determinare le condizioni di equilibrio alla traslazione , sia orizzontale che verticale , e alla rotazione rispetto a un polo, tenendo conto delle forze applicate e delle reazioni vincolari che, essendo incognite, vanno ipotizzate ad una certa maniera. Ma bisogna essere cauti e usare un po' di logica, nell'esaminare singoli casi. In genere, un vincolo liscio esercita una reazione che non ha componenti imputabili all'attrito, ma sto parlando senza troppi formalismi...Parliamo invece del tuo esercizio .
E poi nel caso del problema che ho proposto, la reazione normale della superficie qual è? La componente verticale di F oppure la componente N normale all'asta?
A quale superficie ti stai riferendo ? Alla parete verticale o allo spigolo ? LA parete verticale , essendo liscia, reagisce con una forza $vecR$ perpendicolare alla parete stessa , quindi orizzontale. Infatti, la "liscezza" della parete ci dice che la reazione non può avere nessuna componente diretta in su o in giù : qui lo possiamo dire con sicurezza. Lo scalino invece deve esercitare una reazione che abbia, necessariamente, una componente orizzontale , per equilibrare la $vecR$ della parete . Se lo scalino fosse liscio , l'asta non potrebbe rimanere in equilibrio. Nella figura allegata ho messo le forze applicate , cioè il peso, e le reazioni vincolari . A bella posta ho fatto passare le rette di azione delle tre forze per lo stesso punto $K$ : sapresti dirmi perchè ?
La reazione dello scalino $vecF$ ( che ha componenti $vecF_o$ e $vecF_v$ ) va poi scomposta nelle due direzioni : tangente all'asta $vecA$ e normale all'asta $vecN$ ( non le ho disegnate, v. nota [nota]Risulta :
$A = F_o cos\theta +F_vsen\theta$
$N=F_vcos\theta - F_osen\theta$
ora si deve imporre : $A<=muN$ , e proseguire coi calcoli per trovare $mu$.[/nota]) , che devono soddisfare la relazione : $A<=muN$.
(NB: penso che abbia ragione profK, mi sono accorto di aver fatto un errore nello scrivere la disuguaglianza, ho invertito il senso scrivendo $N<=muA$. Comunque alla fine bisogna metterci il segno di uguale , per trovare il minimo di $mu$ col procedimento di derivazione detto) .
La derivazione di $mu$ alla fine da' $sin^2theta=1/4$ da cui $sintheta=1/2$ e $theta=30$.
Come sospettavo ho confuso, per averlo scritto malamente, un $sin^2theta$ con un $sin2theta$
Come sospettavo ho confuso, per averlo scritto malamente, un $sin^2theta$ con un $sin2theta$
Grazie per l'aiuto e per la pazienza, ho risolto il problema considerando già inizialmente la scomposizione in N e A senza passare per l'ulteriore scomposizione di F in Fv e Fo e stavolta il risultato coincide. Vorrei approfittare del vostro aiuto per un ultimo problema.
Ho già risolto i primi due punti e ho impostato il terzo punto, il mio unico dubbio è: in questo caso qual è il legame tra le accelerazioni dei due centri di massa? Per esempio considerando due cilindri identici legati da una corda inestensibile lungo un piano inclinato, nel caso di moto di puro rotolamento, le accelerazioni angolari e le accelerazioni dei centri di massa sono uguali. In questo caso invece? Grazie in anticipo
Ho già risolto i primi due punti e ho impostato il terzo punto, il mio unico dubbio è: in questo caso qual è il legame tra le accelerazioni dei due centri di massa? Per esempio considerando due cilindri identici legati da una corda inestensibile lungo un piano inclinato, nel caso di moto di puro rotolamento, le accelerazioni angolari e le accelerazioni dei centri di massa sono uguali. In questo caso invece? Grazie in anticipo
L'accelerazione del centro del disco a sx e' uguale all'accelerazione del punto di attacco della corda nel disco di x.
Ovvero
$Rddottheta=2Rddotphi$ e quindi
$ddottheta=2ddotphi$
Quindi i centri di massa si muovono con
$ddotx_s=Rddottheta$
$ddotx_d=Rddotphi=R/2ddottheta$
$ddotx_s/ddotx_d=2$
Ovvero
$Rddottheta=2Rddotphi$ e quindi
$ddottheta=2ddotphi$
Quindi i centri di massa si muovono con
$ddotx_s=Rddottheta$
$ddotx_d=Rddotphi=R/2ddottheta$
$ddotx_s/ddotx_d=2$
La ringrazio per la tempestiva risposta, ho compreso il mio errore e ho risolto il problema
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