Assunzioni sperimentai Elettromagentismo (Terza e Quarta equazione di Maxwell)
Salve,
Ho iniziato a studiare elettromagnetismo, e sono interessato a capire quali sono le evidenze sperimentali che ci permettono di arrivare a scrivere le equazioni di Maxwell.
Terza equazione di Maxwell (caso non stazioniario)
In molti siti (anche su wikipedia) viene dimostrata la Terza equazione di Maxwell, semplicemente prendendo come "equazione sperimentale" la legge di Faraday-Neumann, $ f_i=-(\dPhi(\vecB))/dt $ ,scrivendo la definizione di $ f_i=int_\gamma \vecE*d\vecl $ e di $\Phi(B)=int_S \vecB*d\vecS$ applicando il teorema di stokes al primo membro, e portando il segno di derivata da fuori a dentro l'integrale del secondo membro, e osservando che l'ugualianza degl'integrali implica (valendo per ogni superfice $S$ che poggia sulla curva chiusa $\gamma$) l'ugualianza delle funzioni integrande.
Questa dimostrazione però non è del tutto generale in quanto nel passaggio dell'operazione di derivata da fuori a dentro il segno di integrale si ipotizza che la curva $\gamma$ resti invariata.
Sul mio libro (Mencuccini-Silvestrini) viene percorsa una strada diversa, indicativamente quella seguita da queste dispense che ho trovato on-line: http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Elet ... araday.pdf
La dimostrazione più o meno mi è chiara, quello che però vorrei sapere è: è necessario assumere come relezioni sperimentale sia la legge di Faraday-Neumann che la forza di Lorenz $ \vecF=q*\vecE+ q*\vecv ^^ \vecB $ ? O è possibile cioè dimostrare la seconda partendo dalla prima? in tal caso mi potete indicare un file dove viene eseguita tale dimostrazione?
Ho internet ho cercato ma non mi sono chiarito le idee.
Quarta equazione di Maxwell. (caso non stazionario)
Sempre studiando sul Mencuccini Silvestrini (e nemmeno cercando su internet) non sono riuscito a capire attraverso quali passaggi si riesce e scrivere la suddetta equzione.
Il perrcorso seguito è approssimativamente questo:
-viene dimostrata nel caso stazionario (durante la dimostrazione viene utilizzata l'ipotesi $div\vecJ=0$ ) ottenendo : $rot(\vecB)=\mu_0\vecJ$
-si osserva che nel caso non staziario $div\vecJ\ne0$
-attraverso l'equazione di continiità (che formalizza la conservazione della carica) e la prima equazione di maxwell $div\vecE=\rho/\epsilon_0$ (che deriva dalla legge di coloumb), si ottiene una vettore che ha divergenza nulla, tale vettore è $\vecJ+\epsilon_0*\(partial\vecE)/\(partialt)$.
-tale vettore viene semplicemente sostitito a $\vecJ$, nella quarta equazione di Maxwell, dimostrata nel caso stazionario.
La mia domanda é: come viene giustificata questa sostituzione? Anche in questo caso si tratta di un evidenza sperimentale?
Se non è chiedere troppo, vi sarei grato se qualcuno facesse uno schemettino di quali sono le relazioni sperimentali da cui si parte per poter derivare le 4 famose equazioni!
RIngrazio preventivamente tutti per eventuali risposte.
Ho iniziato a studiare elettromagnetismo, e sono interessato a capire quali sono le evidenze sperimentali che ci permettono di arrivare a scrivere le equazioni di Maxwell.
Terza equazione di Maxwell (caso non stazioniario)
In molti siti (anche su wikipedia) viene dimostrata la Terza equazione di Maxwell, semplicemente prendendo come "equazione sperimentale" la legge di Faraday-Neumann, $ f_i=-(\dPhi(\vecB))/dt $ ,scrivendo la definizione di $ f_i=int_\gamma \vecE*d\vecl $ e di $\Phi(B)=int_S \vecB*d\vecS$ applicando il teorema di stokes al primo membro, e portando il segno di derivata da fuori a dentro l'integrale del secondo membro, e osservando che l'ugualianza degl'integrali implica (valendo per ogni superfice $S$ che poggia sulla curva chiusa $\gamma$) l'ugualianza delle funzioni integrande.
Questa dimostrazione però non è del tutto generale in quanto nel passaggio dell'operazione di derivata da fuori a dentro il segno di integrale si ipotizza che la curva $\gamma$ resti invariata.
Sul mio libro (Mencuccini-Silvestrini) viene percorsa una strada diversa, indicativamente quella seguita da queste dispense che ho trovato on-line: http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Elet ... araday.pdf
La dimostrazione più o meno mi è chiara, quello che però vorrei sapere è: è necessario assumere come relezioni sperimentale sia la legge di Faraday-Neumann che la forza di Lorenz $ \vecF=q*\vecE+ q*\vecv ^^ \vecB $ ? O è possibile cioè dimostrare la seconda partendo dalla prima? in tal caso mi potete indicare un file dove viene eseguita tale dimostrazione?
Ho internet ho cercato ma non mi sono chiarito le idee.
Quarta equazione di Maxwell. (caso non stazionario)
Sempre studiando sul Mencuccini Silvestrini (e nemmeno cercando su internet) non sono riuscito a capire attraverso quali passaggi si riesce e scrivere la suddetta equzione.
Il perrcorso seguito è approssimativamente questo:
-viene dimostrata nel caso stazionario (durante la dimostrazione viene utilizzata l'ipotesi $div\vecJ=0$ ) ottenendo : $rot(\vecB)=\mu_0\vecJ$
-si osserva che nel caso non staziario $div\vecJ\ne0$
-attraverso l'equazione di continiità (che formalizza la conservazione della carica) e la prima equazione di maxwell $div\vecE=\rho/\epsilon_0$ (che deriva dalla legge di coloumb), si ottiene una vettore che ha divergenza nulla, tale vettore è $\vecJ+\epsilon_0*\(partial\vecE)/\(partialt)$.
-tale vettore viene semplicemente sostitito a $\vecJ$, nella quarta equazione di Maxwell, dimostrata nel caso stazionario.
La mia domanda é: come viene giustificata questa sostituzione? Anche in questo caso si tratta di un evidenza sperimentale?
Se non è chiedere troppo, vi sarei grato se qualcuno facesse uno schemettino di quali sono le relazioni sperimentali da cui si parte per poter derivare le 4 famose equazioni!
RIngrazio preventivamente tutti per eventuali risposte.
Risposte
Forse sarò banale, però mi pare che la migliore evidenza sperimentale (ex post e quindi non costruttiva) delle equazioni di Maxwell nella loro interezza è l'esistenza delle onde elettromagnetiche. Se rielaborando le equazioni (rotore a entrambi i membri della quarta equazione, poi sostituzioni varie) si ottiene un'equazione d'onda e io osservo tali onde in laboratorio che originano da fenomeni elettro-magnetici ecco che le equazioni sono valide e consistenti. Questo è comunque l'unico modo di validare sperimentalmente la quarta equazione. Maxwell aggiunse il termine della corrente di spostamento per ottemperare al natura non facit saltus, imponendo quindi la conservazione locale della densità di corrente. Sembrava a quei tempi solo un artificio matematico; il senso fisico fu compreso solo con le onde em.
Per quanto riguarda la terza equazione sinceramente non so: ho sempre saputo che l'evidenza sperimentale fosse da Faraday-Neumann-Lenz ma non saprei collegarla alla forza di Lorentz (però mi pare che un modo ci sia... forse l'ho visto da qualche parte ma non ho alcuna certezza). Invece posso dirti che il teorema di Gauss elettrico si verifica vedendo che la carica si deposita sulla superficie esterna di un conduttore mentre quello magnetico verificando che la calamita spezzata dà ancora due poli.
Per quanto riguarda la terza equazione sinceramente non so: ho sempre saputo che l'evidenza sperimentale fosse da Faraday-Neumann-Lenz ma non saprei collegarla alla forza di Lorentz (però mi pare che un modo ci sia... forse l'ho visto da qualche parte ma non ho alcuna certezza). Invece posso dirti che il teorema di Gauss elettrico si verifica vedendo che la carica si deposita sulla superficie esterna di un conduttore mentre quello magnetico verificando che la calamita spezzata dà ancora due poli.
se non ricordo male la terza legge di maxwell si può ottenere grazie alla forza di lorentz e alla legge di faraday-neumann. e, se non ricordo male, la forza di lorentz non si ottenne con evidenze sperimentali ma derivandola dalla prima formula di laplace che invece ha evidenze sperimentali. il problema è che per motivi didattici in tutti i libri viene data prima la legge della forza di lorentz e da quella viene ricavata la prima formula di laplace. studiai fisica 2 sul mazzoldi-nigro-voci affiancato dalla lettura post-studio dal mencuccini-silvestrini e dal focardi-massa-uguzzoni che mi feci prestare, ed erano entrambi di edizioni molto vecchie, e credo in tutti e 3 (sul mencuccini ne sono quasi sicuro) trovai scritto quello che ti ho detto. purtroppo adesso non ho modo di verificare in quanto non ho il libro a portata di mano. verifica tu. e comunque la legge di faraday-neumann non ricordo se avesse evidenze sperimentali, ma essendo faraday un fisico prettamente sperimentale (di certo non era un matematico) credo proprio che anche quella fosse stata intuita sperimentalmente.
EDIT:
aggiungo anche che la quarta equazione di maxwell si dimostra matematicamente dalla legge di ampere. il termine che si aggiunge è la cosiddetta corrente di spostamento. cioè è quella corrente che si forma anche se non c'è un effettivo moto di elettroni. ricordo bene che questo argomento veniva trattato sul mazzoldi-nigro-voci già da quando studiavo i circuiti con i condensatori. prova a cercare nel glossario del mencuccini. o in alternativa su wikipedia!
http://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamento
EDIT:
aggiungo anche che la quarta equazione di maxwell si dimostra matematicamente dalla legge di ampere. il termine che si aggiunge è la cosiddetta corrente di spostamento. cioè è quella corrente che si forma anche se non c'è un effettivo moto di elettroni. ricordo bene che questo argomento veniva trattato sul mazzoldi-nigro-voci già da quando studiavo i circuiti con i condensatori. prova a cercare nel glossario del mencuccini. o in alternativa su wikipedia!
http://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamento
Intanto grazie ad entrambi per le risposte.
Per FedeCapo.
Forse non mi sono spiegato bene, (cosa molto probabile, vista la mia pessima capacità di esposizione ), cmq ero interessato a sapere quali fossero le relazioni sperimentali di partenza che ci facevano ad arrivare alla terza e quarta equazione di maxwell, e non quali evidenze sperimentali esse ci permettono di prevedere a conferma del fatto che esse sono giuste. Ad esempio per dimostrare la prima equazione di maxwell si parte dalla Legge di Coloumb (scritta in base a risultati sperimentali) $1/(4\pi\epsilon_0)*q_1*q_2\vecr/r^3$ si dimostra il teorema di Gauss e con il teroema della divergenza si giunge a $div\vecE=\rho/\(epsilon_0)$. io mi chiedevo se esiste un procedimento analogo per la quarta equazione, diverso e più rigoroso di quello che ho descritto nelle mio post.
Per la terza equazione invece quello che non ho capito invece è: se, come dici tu, l'evidenza sperimentale è solo
la legge di Faraday-Neumann, o se c'è bisogno di aggiungere la forza di Lorentz. Se è come nel primo caso però ci deve essere un modo per dimostrare l'esistenza della forza di lorentz, in quanto quest'ultima viene usata nella dimostrazione della terza Equazione.
Per victory92.
Come dici tu, nel link che ho messo nel mio post, si vede appunto che la terza eq di maxwell si dimostra dalla legge di Faraday-Neumman e con la forza di Lorenz. Non capisco però non come si possa ricavare quest'ultima dalla prima equazione di Laplace, in quanto la Forza di Lorentz si referisce alla forza che agisce sulla carica in movimento all'interno di un campo magnetico e la Legge di Laplace al campo magnetico generato dal vettore densità di corrente $\vecJ$, in oltre da quello che ho capito ( e cio può essere molto distante dalla verita
) mi sembra che il menuccini proponga le due leggi come riusltati sperimentali diversi. Il punto è che quando introduce la legge di Faraday-Neumann sembra che affermi che sia possibile ricavarsi (anche se evidentemente nn ho capito come) la forza di lorenz da la legge di Faraday-Neumann. Se cosi fosse avrei ridotto il numero di equazioni sperimentali da 3 (Forza di Lorentz, Prima legge di Lapalce o di Biot-Svart, Equazione di Faraday-neumman) a due equazioni sperimentali (Prima legge di Laplace, Equazione di Faraday-Neumann)
Per la quarta, anche da wikipedia mi sembra di capire che il teorema di ampre che usa per dimostrare la quarta equazione di maxwell, sembra essere puramente sperimentale. Il Meccuncini segue la strada da me illustrata, ovvero quella opposta di wikpedia, (ma il succo rimane ovviamente il solito), in base a risultati sperimentali (e al "paradosso" del teorema di ampere in applicato al condensatore) mostra che sembra ragionevole sostituire a $\vecJ$ il vettore $ \vecJ+\epsilon_0(\partial\vecE)/(\partial\t)$, e da questa dimostra il teorema di ampere.
Quindi non c'è altro da fare che prendere anche questo come risultato sperimentale.
Per FedeCapo.
Forse non mi sono spiegato bene, (cosa molto probabile, vista la mia pessima capacità di esposizione
), cmq ero interessato a sapere quali fossero le relazioni sperimentali di partenza che ci facevano ad arrivare alla terza e quarta equazione di maxwell, e non quali evidenze sperimentali esse ci permettono di prevedere a conferma del fatto che esse sono giuste. Ad esempio per dimostrare la prima equazione di maxwell si parte dalla Legge di Coloumb (scritta in base a risultati sperimentali) $1/(4\pi\epsilon_0)*q_1*q_2\vecr/r^3$ si dimostra il teorema di Gauss e con il teroema della divergenza si giunge a $div\vecE=\rho/\(epsilon_0)$. io mi chiedevo se esiste un procedimento analogo per la quarta equazione, diverso e più rigoroso di quello che ho descritto nelle mio post.Per la terza equazione invece quello che non ho capito invece è: se, come dici tu, l'evidenza sperimentale è solo
la legge di Faraday-Neumann, o se c'è bisogno di aggiungere la forza di Lorentz. Se è come nel primo caso però ci deve essere un modo per dimostrare l'esistenza della forza di lorentz, in quanto quest'ultima viene usata nella dimostrazione della terza Equazione.
Per victory92.
Come dici tu, nel link che ho messo nel mio post, si vede appunto che la terza eq di maxwell si dimostra dalla legge di Faraday-Neumman e con la forza di Lorenz. Non capisco però non come si possa ricavare quest'ultima dalla prima equazione di Laplace, in quanto la Forza di Lorentz si referisce alla forza che agisce sulla carica in movimento all'interno di un campo magnetico e la Legge di Laplace al campo magnetico generato dal vettore densità di corrente $\vecJ$, in oltre da quello che ho capito ( e cio può essere molto distante dalla verita
) mi sembra che il menuccini proponga le due leggi come riusltati sperimentali diversi. Il punto è che quando introduce la legge di Faraday-Neumann sembra che affermi che sia possibile ricavarsi (anche se evidentemente nn ho capito come) la forza di lorenz da la legge di Faraday-Neumann. Se cosi fosse avrei ridotto il numero di equazioni sperimentali da 3 (Forza di Lorentz, Prima legge di Lapalce o di Biot-Svart, Equazione di Faraday-neumman) a due equazioni sperimentali (Prima legge di Laplace, Equazione di Faraday-Neumann)Per la quarta, anche da wikipedia mi sembra di capire che il teorema di ampre che usa per dimostrare la quarta equazione di maxwell, sembra essere puramente sperimentale. Il Meccuncini segue la strada da me illustrata, ovvero quella opposta di wikpedia, (ma il succo rimane ovviamente il solito), in base a risultati sperimentali (e al "paradosso" del teorema di ampere in applicato al condensatore) mostra che sembra ragionevole sostituire a $\vecJ$ il vettore $ \vecJ+\epsilon_0(\partial\vecE)/(\partial\t)$, e da questa dimostra il teorema di ampere.
Quindi non c'è altro da fare che prendere anche questo come risultato sperimentale.
Ti ricordo che il vettore densità di corrente è $vecJ= N*q*vecv_d$. Inoltre ho sbagliato a dire prima formula di laplace. In realtà mi riferivo alla seconda legge elementare di laplace. Se non ricordo male è quella che viene verificata sperimentalmente. Cercala sul tuo libro. Ci sarà scritto sicuramente.
[ot]Ho passato, e sto passando, tanto tempo sul libro di Fisica II e dopo numerosi dubbi e incongruenze sono arrivato alla conclusione che, a dispetto di quanto accade in matematica, non è tutto perfettamente consistente. Principalmente, secondo me, il problema è che l'elettromagnetismo viene trattando nei corsi di Fisica II ad un livello piuttosto basso (non avendo gli strumenti matematici per trattarlo in tutta la sua complessità) e con un approccio i tipo sperimentale che genera più confusione che altro nello studente.
Scusate il semi off topic[/ot]
Scusate il semi off topic[/ot]
[ot]non so su quale libro stai studiando o se hai già dato geometria ed analisi 2, ma ti posso assicurare che se hai già dato (o anche solo studiato) geometria e analisi 2 e studi in un ottimo libro come lo è il mencuccini (secondo me in assoluto il migliore... e lo posso dire perché, dopo aver studiato sul mazzoldi-nigro-voci (la vecchia edizione e non elementi di fisica che è troppo poco approfondito e ahimè comprai nuovo perché il mio prof pensava fosse solo una semplice revisione e invece cambiava tutto), mi sono appassionato e lessi anche il mencuccini-silvestrini e il focardi-massa-uguzzoni. per non parlare anche dell'hallidey-resnick-krane che cominciai a leggere ma non mi appassionò particolarmente, e di un vecchissimo serway che mi sembrava poco approfondito, forse le nuove edizioni lo sono di più. ti posso assicurare che il mencuccini approfondisce quasi ogni argomento con un approccio formale e matematico. mi è piaciuto particolarmente perché focalizzava l'attenzione su degli argomenti che in altri libri venivano presi molto alla leggera. peccato per il prezzo... e infatti lo lessi in biblioteca XD[/ot]
[ot]@victory92 Come libro io uso il Mencuccini-Silvestrini, ma ho usato anche il Mazzoldi-Nigro-Voci per il vecchio ordinamento. Non ho detto che non vi è rigore matematico, ma dico che non vi è una consistenza totale tra tutti gli argomenti come si può trovare in un testo di fisica matematica moderno oppure in un testo di elettrodinamica avanzato come ad esempio il Jackson. Il problema non è nella incapacità degli autori ma nell'esposizione che segue lo sviluppo storico-sperimentale.
Detto ciò, ci tengo a precisare che sono pareri personali e non pretendo che vengano condivisi in toto. Non voglio dilungarmi oltre ed inquinare questo post. Buon proseguimento
[/ot]
Detto ciò, ci tengo a precisare che sono pareri personali e non pretendo che vengano condivisi in toto. Non voglio dilungarmi oltre ed inquinare questo post. Buon proseguimento
[/ot]
[ot]mi hai fatto venire una certa curiosità... quando (e se) avrò tempo lo leggero o me ne consigli un altro? in caso mandami un mp[/ot]
o me ne consigli un altro? in caso mandami un mp[/ot]
Ciao sono nuovo nel forum, sto studiando elettromagnetismo e sono incappato nel tuo stesso dubbio, il mazzoldi riporta la seguente dimostrazione:
$ \vec\nabla\cdot\vec(J_t)=\vec\nabla\cdot(\vecJ+\epsilon\_0\frac{\partial\vecE}{\partialt})=0 $
Dove $\vec(J_t)$ rappresenta la densità di corrente totale. Succesivamente applichi il teorema di circuitazione di Ampere per il campo magentico $\vecB$:
$ \oint\vecB\cdotd\vecl=\mu_0I_t=\mu_0\int_S\vecJ_t\cdotd\vecS $.
Sostituendo $\vecJ_t$ e applicando il teorema di Stokes al primo integrale si ottiene:
$ \int_S(\vec\nabla\times\vecB)\cdotd\vecS=\oint\vecB\cdotd\vecl=\mu_o\int_S(\vecJ+\epsilon\_0\frac{\partial\vecE}{\partialt}) $
poichè l'uguaglianza deve valare qualunque sia la superficie uguagli gli integrandi e ottieni la quarta equazione di Maxwell:
$ \vec\nabla\times\vecB=\vecJ+\epsilon\_0\frac{\partial\vecE}{\partialt} $
$ \vec\nabla\cdot\vec(J_t)=\vec\nabla\cdot(\vecJ+\epsilon\_0\frac{\partial\vecE}{\partialt})=0 $
Dove $\vec(J_t)$ rappresenta la densità di corrente totale. Succesivamente applichi il teorema di circuitazione di Ampere per il campo magentico $\vecB$:
$ \oint\vecB\cdotd\vecl=\mu_0I_t=\mu_0\int_S\vecJ_t\cdotd\vecS $.
Sostituendo $\vecJ_t$ e applicando il teorema di Stokes al primo integrale si ottiene:
$ \int_S(\vec\nabla\times\vecB)\cdotd\vecS=\oint\vecB\cdotd\vecl=\mu_o\int_S(\vecJ+\epsilon\_0\frac{\partial\vecE}{\partialt}) $
poichè l'uguaglianza deve valare qualunque sia la superficie uguagli gli integrandi e ottieni la quarta equazione di Maxwell:
$ \vec\nabla\times\vecB=\vecJ+\epsilon\_0\frac{\partial\vecE}{\partialt} $
Intanto grazie per la risposta, comunque anche nella dimostrazione che proponi tu, c'è un passaggio che da quanto ho capito non è rigorosamente lecito.
infatti tu in pratica definisci $\vecJ_s=\vecJ+(del\vecE)/(delt)$, e dici $nabla*\vecJ_s=0$ e fin qui tutto ok, visto che quest'ultimo passaggio è facilemnte dimostrabile!
Poi tu dici: applico il teorema della ciruitazione di ampere, e quindi scrivi $int_\gammaB*dl=mu_0*I_s$ e sostiuisci la definizione di $I_s$ ovvero $I_s=int_SB*dvecs$, il problema è che il teorema di Ampere non l'hai dimostrato per per $I_s$ ma per $I$, quindi chi ti autorizza a fare questa sostutzione come se $I_s$ e $I$ fossero la stessa cosa? io sono giunto alla conclusione che ti autorizza l'evidenza sperimentale, la "dimostrazione" che viene data di questa equazione è solo un modo per farsene una ragione, ma non dimostra niente.
infatti tu in pratica definisci $\vecJ_s=\vecJ+(del\vecE)/(delt)$, e dici $nabla*\vecJ_s=0$ e fin qui tutto ok, visto che quest'ultimo passaggio è facilemnte dimostrabile!
Poi tu dici: applico il teorema della ciruitazione di ampere, e quindi scrivi $int_\gammaB*dl=mu_0*I_s$ e sostiuisci la definizione di $I_s$ ovvero $I_s=int_SB*dvecs$, il problema è che il teorema di Ampere non l'hai dimostrato per per $I_s$ ma per $I$, quindi chi ti autorizza a fare questa sostutzione come se $I_s$ e $I$ fossero la stessa cosa? io sono giunto alla conclusione che ti autorizza l'evidenza sperimentale, la "dimostrazione" che viene data di questa equazione è solo un modo per farsene una ragione, ma non dimostra niente.
Secondo me il tipo di derivazione più affascinante possibile e quella che USA la relatività ristretta di Einstein per dimostrare l'esistenza della forza magnetica e per dedurre la seconda e quarta equazione di Maxwell imponendo la "covarianza".
Solo che assumere la legge di Gauss (dimostrabile analiticamente nel caso elettrostatico ma nel caso variabile no) mi sembra una forzatura....
Solo che assumere la legge di Gauss (dimostrabile analiticamente nel caso elettrostatico ma nel caso variabile no) mi sembra una forzatura....
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