Ascensore in salita
buongiorno,
se possibile desidererei una conferma sulla risoluzione del seguente es.:
Testo:
Un corpo puntiforme di massa m = 4 kg pende verticalmente essendo attaccato all’estremità inferiore di una molla di costante elastica $k = 196 N/m$ e lunghezza a riposo $l_0 = 0.6 m$, disposta verticalmente e avente l’estremità superiore ancorata al punto O del soffitto della cabina di un ascensore.
Inizialmente l’ascensore è in quiete e il corpo si trova in condizioni di equilibrio statico.
All’istante t = 0 l’ascensore viene messo in moto verso l’alto con accelerazione costante di modulo a_t = g/2.
Calcolare:
a) il diagramma delle forze agenti sul corpo, quando l’ascensore è in quiete;
b) la distanza iniziale d del corpo puntiforme dal punto O di ancoraggio della molla;
c) la reazione RO iniziale del vincolo in O;
d) l’equazione del moto del corpo nel sistema riferimento solidale all'ascensore per t > 0;
e) la legge oraria del moto del corpo in tale sistema di riferimento;
f) la nuova posizione di equilibrio del corpo per t>0;
g) la reazione RO(t) del vincolo in O per t > 0.
Immagine:
SOL.:
l'asse x lo oriento verso il basso.
a)
per t<0 sul corpo m agiscono: $vec0=vecP + vecF_(el)$, da cui ricavo che $Deltax=mg/k = 0.2$
b)
$d= l_o + Deltax= 0.6+0.2=0.8m$.
c)
la reazione del vicolo compensa la forza elastica, e vale $R_o =F_(el)= kDeltax=39.2 N$
d)
$mveca'= sumvecF_i+F_t$, dove $F_t$ è la forza di trascinamento e vale -ma_t
e)
$veca_t=-g/2$
$ma' = mg- kDeltax +(mg)/2$
$ma' + kDeltax= 3/2 mg $
pongo $Deltax=x$
$ddotx+w^2x=3/2 g$, con $w=7$ pulsazione.
La soluzione è $x(t) = Asen(wt+phi)$. Dalle condizioni iniziali ricavo $phi= 3pi/2$
La soluzione si può riscrivere $x(t) = -((3g)/(2w^2) - (mg)/k)cos(wt)+(3g)/2w^2$
f)
la $x_eq$, dove con $x$ intendo l'allungamento, l'ho trovato come soluzione particolare per l'equazione differenziale del moto.
come trovato prima $x_eq= mg/k$, ma visto che il testo chiede la posizione di equilibrio, ad essa va aggiunto il valore $l_0$, per cui $X_eq = x_eq + l_0 = 0.3 + 0.6 = 0.9 m$
g)
qui ho dei dubbi su come trattare la forza di trascinamento.
per t>0 sul vincolo agiscono: $R_o + vecF_(el) + vecF_t=vec0$
$-R_o + kDeltax + (mg)/2 = 0 $
$R_o = mg/2 + kDeltax = kx(t) + mg/2$.
La reazione del vincolo O varia nel tempo, dipendendo dall'allungamento della molla.
se possibile desidererei una conferma sulla risoluzione del seguente es.:
Testo:
Un corpo puntiforme di massa m = 4 kg pende verticalmente essendo attaccato all’estremità inferiore di una molla di costante elastica $k = 196 N/m$ e lunghezza a riposo $l_0 = 0.6 m$, disposta verticalmente e avente l’estremità superiore ancorata al punto O del soffitto della cabina di un ascensore.
Inizialmente l’ascensore è in quiete e il corpo si trova in condizioni di equilibrio statico.
All’istante t = 0 l’ascensore viene messo in moto verso l’alto con accelerazione costante di modulo a_t = g/2.
Calcolare:
a) il diagramma delle forze agenti sul corpo, quando l’ascensore è in quiete;
b) la distanza iniziale d del corpo puntiforme dal punto O di ancoraggio della molla;
c) la reazione RO iniziale del vincolo in O;
d) l’equazione del moto del corpo nel sistema riferimento solidale all'ascensore per t > 0;
e) la legge oraria del moto del corpo in tale sistema di riferimento;
f) la nuova posizione di equilibrio del corpo per t>0;
g) la reazione RO(t) del vincolo in O per t > 0.
Immagine:
SOL.:
l'asse x lo oriento verso il basso.
a)
per t<0 sul corpo m agiscono: $vec0=vecP + vecF_(el)$, da cui ricavo che $Deltax=mg/k = 0.2$
b)
$d= l_o + Deltax= 0.6+0.2=0.8m$.
c)
la reazione del vicolo compensa la forza elastica, e vale $R_o =F_(el)= kDeltax=39.2 N$
d)
$mveca'= sumvecF_i+F_t$, dove $F_t$ è la forza di trascinamento e vale -ma_t
e)
$veca_t=-g/2$
$ma' = mg- kDeltax +(mg)/2$
$ma' + kDeltax= 3/2 mg $
pongo $Deltax=x$
$ddotx+w^2x=3/2 g$, con $w=7$ pulsazione.
La soluzione è $x(t) = Asen(wt+phi)$. Dalle condizioni iniziali ricavo $phi= 3pi/2$
La soluzione si può riscrivere $x(t) = -((3g)/(2w^2) - (mg)/k)cos(wt)+(3g)/2w^2$
f)
la $x_eq$, dove con $x$ intendo l'allungamento, l'ho trovato come soluzione particolare per l'equazione differenziale del moto.
come trovato prima $x_eq= mg/k$, ma visto che il testo chiede la posizione di equilibrio, ad essa va aggiunto il valore $l_0$, per cui $X_eq = x_eq + l_0 = 0.3 + 0.6 = 0.9 m$
g)
qui ho dei dubbi su come trattare la forza di trascinamento.
per t>0 sul vincolo agiscono: $R_o + vecF_(el) + vecF_t=vec0$
$-R_o + kDeltax + (mg)/2 = 0 $
$R_o = mg/2 + kDeltax = kx(t) + mg/2$.
La reazione del vincolo O varia nel tempo, dipendendo dall'allungamento della molla.
Risposte
"feddy":
buongiorno,
se possibile desidererei una conferma sulla risoluzione del seguente es.:
................
SOL.:
l'asse x lo oriento verso il basso.
a)
per t<0 sul corpo m agiscono: $vec0=vecP + vecF_(el)$, da cui ricavo che $Deltax=mg/k = 0.2$
b)
$d= l_o + Deltax= 0.6+0.2=0.8m$.
c)
la reazione del vicolo compensa la forza elastica, e vale $R_o =F_(el)= kDeltax=39.2 N$
d)
$mveca'= sumvecF_i+F_t$, dove $F_t$ è la forza di trascinamento e vale -ma_t
e)
$veca_t=-g/2$
$ma' = mg- kDeltax +(mg)/2$
$ma' + kDeltax= 3/2 mg $
pongo $Deltax=x$
quest'ultima frase significa : "metto l'origine della coordinata $x$ nella posizione di equilibrio statico prima calcolata"
$ddotx+w^2x=3/2 g$, con $w=7$ pulsazione.
precisa anche l'unità di misura della pulsazione : $ \omega = 7 s^(-1)$
La soluzione è $x(t) = Asen(wt+phi)$. Dalle condizioni iniziali ricavo $phi= 3pi/2$
La soluzione si può riscrivere $x(t) = -((3g)/(2w^2) - (mg)/k)cos(wt)+(3g)/2w^2$
Qui non ti seguo più . L'equazione differenziale $ddotx+k/mx=3/2 g$ non è omogenea, quella che hai scritto è la soluzione dell'omogenea associata.
E la soluzione particolare ? Dovrebbe essere : $x = 3/2gm/k $ , mi sembra .
Hai fatto un po' di pasticcio di qui in poi, o forse io non riesco a seguire i passaggi che hai scritto sotto :
f)
la $x_eq$, dove con $x$ intendo l'allungamento, l'ho trovato come soluzione particolare per l'equazione differenziale del moto.
come trovato prima $x_eq= mg/k$, ma visto che il testo chiede la posizione di equilibrio, ad essa va aggiunto il valore $l_0$, per cui $X_eq = x_eq + l_0 = 0.3 + 0.6 = 0.9 m$
g)
qui ho dei dubbi su come trattare la forza di trascinamento.
La forza di trascinamento è sempre $vecF_t = -mveca_t $ , quindi è costante e diretta verso il basso , sommandosi perciò al peso $mvecg$ . In sostanza , il peso apparente è maggiore , e vale $3/2g$ .
Non capisco i ragionamenti che seguono. Comunque la reazione di O è funzione del tempo , giusto. La reazione deve bilanciare in ogni istante il peso reale, la forza di trascinamento, e la forza elastica.
Ciao, quella che ho scritto è la legge oraria. Purtroppo ho specificato che quella era la sol. dell'omogenea associata . La soluzione particolare che dici tu è la stessa che ho trovsto io, dal momento che $w= sqrt (k/m) $, solo che scrivendo in latex non mi ha messo il w al denominatore 
!!
In f), ho aggiunto alla deltaz di equilibrio per t>0 (che avevo ricavato come sol. Particolare dell'eq del moto) il valore di $l_0$... devo ricontrollare i valori. Domani mattina lo farò .. grazie mille per i check; )
!! In f), ho aggiunto alla deltaz di equilibrio per t>0 (che avevo ricavato come sol. Particolare dell'eq del moto) il valore di $l_0$... devo ricontrollare i valori. Domani mattina lo farò .. grazie mille per i check; )
Ripropongo la soluzione a partire dall'equazione del moto:
e),f)
Risolvo l'equazione del moto per $Deltax$, e chiamo $Deltax = chi $
la soluzione dell'omogenea associata è $Asen(wt+ phi)$
la soluzione particolare, che corrisponde al $Deltax$ di equilibrio per t>0 è data da $chi_(eq) = (3g)/(2w^2)$.
$chi_(eq)$ è quindi la deltax d'equilibrio per t>0
Ma poichè $chi_(eq)=x(t) - l_0$, da cui ricavo la richiesta del punto f): la nuove posiz. di equilibrio della molla è data da $ x = chi_(eq) + l_0 = (3g)/(2w^2) + l_0 = 0.9 m$.
Dalle condizioni iniziali ricavo $A= (3g)/(2w^2) - (mg)/k$ e $phi=3pi/2$.
la legge oraria diventa: $chi(t) = -((3g)/(2w^2)-(mg)/k)cos(wt) + (3g)/(2w^2)$
g)
su O agiscono, come abbiamod etto:
$-R_o + (mg)/2 + kDeltax$, da cui $R_o(t) = (mg)/2 + kchi(t)$.
la reazione vincolare varia dunque nel tempo e dipende dall'allungamento della molla.
e),f)
Risolvo l'equazione del moto per $Deltax$, e chiamo $Deltax = chi $
la soluzione dell'omogenea associata è $Asen(wt+ phi)$
la soluzione particolare, che corrisponde al $Deltax$ di equilibrio per t>0 è data da $chi_(eq) = (3g)/(2w^2)$.
$chi_(eq)$ è quindi la deltax d'equilibrio per t>0
Ma poichè $chi_(eq)=x(t) - l_0$, da cui ricavo la richiesta del punto f): la nuove posiz. di equilibrio della molla è data da $ x = chi_(eq) + l_0 = (3g)/(2w^2) + l_0 = 0.9 m$.
Dalle condizioni iniziali ricavo $A= (3g)/(2w^2) - (mg)/k$ e $phi=3pi/2$.
la legge oraria diventa: $chi(t) = -((3g)/(2w^2)-(mg)/k)cos(wt) + (3g)/(2w^2)$
g)
su O agiscono, come abbiamod etto:
$-R_o + (mg)/2 + kDeltax$, da cui $R_o(t) = (mg)/2 + kchi(t)$.
la reazione vincolare varia dunque nel tempo e dipende dall'allungamento della molla.
La tua soluzione non mi torna.
Ho già detto che preferisco usare il coseno nella soluzione dell'omogenea associata , quindi : $ \chi = A cos (\omegat +\phi) $
Soluzione particolare : $ \chi = 3/2 g/\omega^2$
Soluzione generale : $\chi = Acos(\omegat + \phi) + 3/2 g/\omega^2 $
Le condizioni iniziali sono : per $t=0 $ , $\chi = 0 $ e $dot\chi = 0 $ .
Dalla prima condizione si ricava : $0 = Acos\phi + 3/2 g/\omega^2 $
Dalla seconda : $ -A\omegasen\phi = 0 $ , da cui : $\phi = 0 +k\pi $ , con $k \epsilon Z $ .
Perciò , dalla precedente : $A = - 3/2 g/\omega^2 $
In definitiva , l'integrale generale è : $\chi = 3/2 g/\omega^2 [ 1 - cos (\omegat + k\pi) ] $
SE invece assumi il seno nella soluzione dell'omogenea associata, alla fine troverai, come integrale generale :
$\chi = 3/2 g/\omega^2 [ 1 - sen (\omegat + \pi/2 + k\pi) ] $ , che è la stessa cosa di prima.
La reazione in O deve soddisfare in ogni istante l'equazione vettoriale : $ \vecR_0 + \vecF_(el) + \vecP + vec F_i = 0 $ . Proiettala sull'asse verticale, e ricavi la reazione .
Ho già detto che preferisco usare il coseno nella soluzione dell'omogenea associata , quindi : $ \chi = A cos (\omegat +\phi) $
Soluzione particolare : $ \chi = 3/2 g/\omega^2$
Soluzione generale : $\chi = Acos(\omegat + \phi) + 3/2 g/\omega^2 $
Le condizioni iniziali sono : per $t=0 $ , $\chi = 0 $ e $dot\chi = 0 $ .
Dalla prima condizione si ricava : $0 = Acos\phi + 3/2 g/\omega^2 $
Dalla seconda : $ -A\omegasen\phi = 0 $ , da cui : $\phi = 0 +k\pi $ , con $k \epsilon Z $ .
Perciò , dalla precedente : $A = - 3/2 g/\omega^2 $
In definitiva , l'integrale generale è : $\chi = 3/2 g/\omega^2 [ 1 - cos (\omegat + k\pi) ] $
SE invece assumi il seno nella soluzione dell'omogenea associata, alla fine troverai, come integrale generale :
$\chi = 3/2 g/\omega^2 [ 1 - sen (\omegat + \pi/2 + k\pi) ] $ , che è la stessa cosa di prima.
La reazione in O deve soddisfare in ogni istante l'equazione vettoriale : $ \vecR_0 + \vecF_(el) + \vecP + vec F_i = 0 $ . Proiettala sull'asse verticale, e ricavi la reazione .
Grazie mille ! Ma perché per la reazione in O consideri anche il peso? Io ho considerato la forza apparente, la reazione del vincolo e la forza elastica...
Io posso anche sbagliare. Ma fammi capire perché pensi che il peso non vada considerato.
Secondo me non andava considerato perché in un certo senso è già la forza elastica che tiene conto del peso della massa.
Inoltre in tutti gli altri es. postati dove appariva la richiesta della reazione nel tempo, come questo (punto f) ) viewtopic.php?f=19&t=164442, nella reazione non compariva esplicitamente la componente del peso della massa.
A questo punto però mi viene un dubbio: tu lo consideri perché il sistema viene accelerato ?
Inoltre in tutti gli altri es. postati dove appariva la richiesta della reazione nel tempo, come questo (punto f) ) viewtopic.php?f=19&t=164442, nella reazione non compariva esplicitamente la componente del peso della massa.
A questo punto però mi viene un dubbio: tu lo consideri perché il sistema viene accelerato ?
Scusate l'intromissione ma, la reazione vincolare è uguale, istante per istante, alla sola forza elastica.
Non bisogna tener conto della forza peso della massa appesa per la reazione in O, dato che la forza peso non agisce in quel punto, ma solo della forza elastica della molla (che indirettamente tiene conto sia della forza peso della massa appesa sia della accelerazione del sistema)
Grazie mille ad entrambi! Tutto chiaro 
Mmmm....forse avete ragione voi....allora vuol dire che ho sbagliato ! 
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