Arcano esercizio di meccanica analitica
Cosa si intende con quel "through"? E poi quell' r^-5 mi sembra stranissimo visto che tutte le forze centrali della natura vanno con r^-2...
E poi perchè scrive "cerchio" e non "circonferenza" o "orbita"? La cosa confonde!
Per quanto domanda la domanda finale la risposta è ovvia:
$ U=-oo $ e E=0 sempre, dunque anche nel punto "generatore", pertanto $ T=E-U=oo $ ed essendo T funzione di x', y' e della velocità, è intuitivo che queste tre grandezze valgano ivi infinito.
Grazie in anticipo a chi proporrà una soluzione, anche solo abbozzata, all'esercizio.
Risposte
"SalvatCpo":
Cosa si intende con quel "through"? E poi quell' r^-5 mi sembra stranissimo visto che tutte le forze centrali della natura vanno con r^-2...
Passa per il punto di attrazione.
E la forza elastica va come $r$, non come $r^-2$
"SalvatCpo":
Per quanto domanda la domanda finale la risposta è ovvia:
$ U=-oo $ e E=0 sempre,
E = 0 sempre??
Ti ricordo che in un campo newtoniano un'orbita legata ha E < 0...
Energia totale=0 è un dato del problema e l'ho supposta costante.
Comunque, ora la domanda è: abbiamo di fronte un'orbita (cioè una circonferenza) che passa per il punto di attrazione? Come se la Terra passasse, durante la rivoluzione, attraverso il Sole? Anche se la forza non è sicuramente quella gravitazionale, continuo a rimanere sorpreso dalla situazione descritta.
Comunque, ora la domanda è: abbiamo di fronte un'orbita (cioè una circonferenza) che passa per il punto di attrazione? Come se la Terra passasse, durante la rivoluzione, attraverso il Sole? Anche se la forza non è sicuramente quella gravitazionale, continuo a rimanere sorpreso dalla situazione descritta.
"SalvatCpo":
Energia totale=0 è un dato del problema
Veramente no: dice "...show that E = 0..."
"SalvatCpo":
abbiamo di fronte un'orbita (cioè una circonferenza) che passa per il punto di attrazione? ....
continuo a rimanere sorpreso dalla situazione descritta.
Certo è sorprendente. Però, nota che ti chiede anche di dimostrare che quando il corpo passa per il centro la velocità (e anche l'accelerazione come si vede subito) diventa infinita, e questo direi ci pone al di fuori della realtà fisica
È un problema classico, spesso proposto anche in fisica 1. In un campo centrale (qualunque) energia $E = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}^2 + U(r)$ e momento angolare $j=mr^2 \dot{\theta}$ si conservano. Inoltre $\dot{r} = \frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\theta} \dot{\theta} =r' \dot {\theta}$, e puoi allora riscrivere l'energia come
$ E = \frac{j^2}{2mr^4} r'^2 + \frac{j^2}{2mr^2} + U(r) = \frac{j^2}{2mr^2} ( \frac{r'^2}{r^2} + 1) + U(r) $
L'equazione della traiettoria è $r= d \cos \theta$, dove $d$ è il diametro dell'orbita circolare e $\theta$ l'angolo polare rispetto al diametro. Per questa orbita calcoliamo
$ \frac{r'^2}{r^2} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{d^2}{r^2} $
e quindi
$ E = \frac{j^2 d^2}{ 2 m r^4} + U(r)$
cioè $U(r) = E - \frac{j^2 d^2}{ 2 m r^4}$ (che corrisponde a una forza del tipo $r^{-5}$). Poiché per ipotesi $U(r) \rightarrow 0$, la costante $E=0$.
Per il calcolo del periodo, credo che tu utilizzare la condizione di conservazione del momento angolare, cioè $\frac{ d \theta}{dt} = \frac{j}{mr^2}$ da cui qualcosa del genere
$T = \frac{1}{j}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d \theta m r^2$
ricordando che $r=d \cos \theta$. Ho scritto un po' di fretta, controlla che non abbia commesso qualche errore.
$ E = \frac{j^2}{2mr^4} r'^2 + \frac{j^2}{2mr^2} + U(r) = \frac{j^2}{2mr^2} ( \frac{r'^2}{r^2} + 1) + U(r) $
L'equazione della traiettoria è $r= d \cos \theta$, dove $d$ è il diametro dell'orbita circolare e $\theta$ l'angolo polare rispetto al diametro. Per questa orbita calcoliamo
$ \frac{r'^2}{r^2} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{d^2}{r^2} $
e quindi
$ E = \frac{j^2 d^2}{ 2 m r^4} + U(r)$
cioè $U(r) = E - \frac{j^2 d^2}{ 2 m r^4}$ (che corrisponde a una forza del tipo $r^{-5}$). Poiché per ipotesi $U(r) \rightarrow 0$, la costante $E=0$.
Per il calcolo del periodo, credo che tu utilizzare la condizione di conservazione del momento angolare, cioè $\frac{ d \theta}{dt} = \frac{j}{mr^2}$ da cui qualcosa del genere
$T = \frac{1}{j}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d \theta m r^2$
ricordando che $r=d \cos \theta$. Ho scritto un po' di fretta, controlla che non abbia commesso qualche errore.
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