Anello rigido
Un anello circolare rigido di massa m e raggio R = 50 cm, sospeso verticalmente mediante un suo punto A, viene fatto oscillare attorno ad un asse orizzontale passante per il punto A stesso. In un primo caso l'asse è perpendicolare al piano dell'anello, in un secondo caso l'asse giace nel piano dell'anello. Calcolare, nei due casi:
a) il periodo delle piccole oscillazioni;
b) la velocità angolare minima che l'anello deve possedere nel punto più basso
della traiettoria affinchè possa compiere un giro completo.
Trovo davvero tanta difficoltà, vi sarei infinitamente riconoscente se mi deste una mano.
Io ho provato a fare, per il primo, la conservazione dell'energia, riferendomi al centro di massa dell'anello
con un momento di inerzia di I = MR^2 + MR^2 = 2MR
2mgR = 1/2 mv^2 + 1/2 Iω^2
ponendo v=ωR e sostituendo in T=2π/ω
a) il periodo delle piccole oscillazioni;
b) la velocità angolare minima che l'anello deve possedere nel punto più basso
della traiettoria affinchè possa compiere un giro completo.
Trovo davvero tanta difficoltà, vi sarei infinitamente riconoscente se mi deste una mano.
Io ho provato a fare, per il primo, la conservazione dell'energia, riferendomi al centro di massa dell'anello
con un momento di inerzia di I = MR^2 + MR^2 = 2MR
2mgR = 1/2 mv^2 + 1/2 Iω^2
ponendo v=ωR e sostituendo in T=2π/ω
Risposte
Per il quesito a) , si tratta di un pendolo composto, in entrambi i modi di oscillazione. Per il quesito b) , ci pensiamo dopo.
Pertanto, il periodo di oscillazione è questo:
dove il rispettivo momento d'inerzia è dato da questi due casi, a cui va applicato huygens steiner dato che il polo è un'estremità e non il baricentro.
tuttavia il risultato non mi viene preciso, dovrebbero essere rispettivamente:
2s, 1.74s
dove il rispettivo momento d'inerzia è dato da questi due casi, a cui va applicato huygens steiner dato che il polo è un'estremità e non il baricentro.
tuttavia il risultato non mi viene preciso, dovrebbero essere rispettivamente:
2s, 1.74s
Non hai indicato la massa $m$ dell’anello, quindi non posso fare verifiche di calcolo. Hai applicato bene il teorema di HS ?
la massa m non viene indicata, ma dovrebbe semplificarsi nel passaggio finale.
mi auguro di averlo applicato bene
mi auguro di averlo applicato bene
Hai ragione, la massa si semplifica. A me i valori da te indicati risultano giusti. Hai fatto qualche errore di calcolo?
Nel primo caso devi avere : $T = 2pisqrt((2R)/g)$
nel secondo : $T = 2pisqrt((1.5R)/g)$
Nel primo caso devi avere : $T = 2pisqrt((2R)/g)$
nel secondo : $T = 2pisqrt((1.5R)/g)$
allora erano giuste le formule, non avendo una calcolatrice scientifica qui in casa si è mangiata un po' di precisione
mi chiedevo se dovessi trattare come pendolo fisico qualsiasi corpo rigido, ad esempio anche un'asta rigida che oscilla, per calcolare il periodo di oscillazione uso la stessa formula, giusto?
per la seconda domanda invece ho difficoltà solo per il secondo caso, quello in cui l'asse giace nel piano dell'anello, probabilmente non ho capito esattamente come oscilla il pendolo
mi chiedevo se dovessi trattare come pendolo fisico qualsiasi corpo rigido, ad esempio anche un'asta rigida che oscilla, per calcolare il periodo di oscillazione uso la stessa formula, giusto?
per la seconda domanda invece ho difficoltà solo per il secondo caso, quello in cui l'asse giace nel piano dell'anello, probabilmente non ho capito esattamente come oscilla il pendolo
mi chiedevo se dovessi trattare come pendolo fisico qualsiasi corpo rigido, ad esempio anche un'asta rigida che oscilla, per calcolare il periodo di oscillazione uso la stessa formula, giusto?
Giusto. Periodo delle piccole oscillazioni, naturalmente.
per la seconda domanda invece ho difficoltà solo per il secondo caso, quello in cui l'asse giace nel piano dell'anello, probabilmente non ho capito esattamente come oscilla il pendolo
Visto di fronte, hai l’anello nel piano verticale e l’asse di rotazione orizzontale, da sn a dx , tangente all’anello nel punto più alto : l’anello oscilla dal retro al davanti del piano, cioè viene verso di te e poi si allontana. Visto di taglio, l’asse si proietta in un punto , e l’anello nel diametro verticale. Ho fatto uno schizzo :
per rispondere alla domanda devi fare comunque un bilancio di energia.
grazie! la situazione mi è chiara, ma non vedo la differenza tra la conservazione d'energia che ho fatto per l'asse perpendicolare al piano e quello che mi hai illustrato tu, in quanto l'anello ha la stessa posizione iniziale e finale.
quindi facendo questa conservazione: 2RMg = 1/2 Iω^2
dove la differenza tra i due casi è il momento d'inerzia.
il primo caso, mi viene, ed è ω=6.26 rad/s
il secondo caso invece no, il risultato giusto dovrebbe essere ω=7.23 rad/s
forse un'altra differenza è che nel primo caso va bene non considerare l'energia cinetica nel punto più alto della traiettoria, invece devo considerarla nel secondo caso?
quindi facendo questa conservazione: 2RMg = 1/2 Iω^2
dove la differenza tra i due casi è il momento d'inerzia.
il primo caso, mi viene, ed è ω=6.26 rad/s
il secondo caso invece no, il risultato giusto dovrebbe essere ω=7.23 rad/s
forse un'altra differenza è che nel primo caso va bene non considerare l'energia cinetica nel punto più alto della traiettoria, invece devo considerarla nel secondo caso?
"giantmath":
grazie! la situazione mi è chiara, ma non vedo la differenza tra la conservazione d'energia che ho fatto per l'asse perpendicolare al piano e quello che mi hai illustrato tu, in quanto l'anello ha la stessa posizione iniziale e finale.
Che cosa vuoi dire con “stessa posizione? Non mi sembra, la situazione è diversa. Nel 2º caso ( asse nel piano dell’anello) è vero che il CM si trova ala fine sopra l’asse a distanza $R$ , perciò la sua quota è aumentata complessivamente di $2R$ a partire dalla posizione iniziale, cosí come nel primo caso (asse perpendicolare al piano dell’anello). Ma la rotazione avviene come ti ho accennato nello schizzo.
forse un'altra differenza è che nel primo caso va bene non considerare l'energia cinetica nel punto più alto della traiettoria, invece devo considerarla nel secondo caso?
No no, non è questo il punto. Hai capito come va applicata la conservazione dell’energia ? L’anello riceve, in un modo che non vogliamo indagare perché non ci interessa, una certa energia cinetica iniziale, per esempio con una spinta di carattere impulsivo. Ed essendo vincolato ad un asse si mette ruotare attorno ad esso, logicamente. La minima velocità angolare iniziale si ricava imponendo che nella posizione finale, cioè in pratica dopo un mezzo giro, l’energia cinetica iniziale si è trasformata tutta in energia potenziale gravitazionale, e l’anello si ferma: certo, è una condizione utopistica, non realistica !
La formula da te scritta dà il risultato voluto anche in questo caso, poiché il momento di inerzia rispetto all’asse vale : $ I = 1.5mR^2$ , e dunque l’energia cinetica iniziale vale :
$E_k = 1/2*1.5mR^2omega^2 $
uguagliando questa a $ E_p = 2Rmg$
risulta : $omega = 7.23 (rad)/s$
perfetto, tutto chiaro, grazie!
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