Anello, pallina attaccata e periodo delle piccole oscillazioni
Il problema dice:
un anello di massa $M=0.1kg$ e raggio $R=0.5m$, disposto verticalmente, può rotolare senza strisciare su un piano orizzontale. Una pallina P di massa $m=0.01kg$ è fissata in un punto dell' anello. Determinare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. Vi allego anche la figura:
Il mio libro dice che per risolvere il problema si può ricorrere alla conservazione dell' energia meccanica, visto che il sistema è in un campo di forze conservativo. Quindi cominciamo a scrivere l' espressione dell' energia potenziale del sistema. Il mio libro considera prima l' energia potenziale dell' anello, poi quella della massa e infine le somma per ottenere l' energia potenziale del sistema. Perché questa procedura è corretta? Io invece avrei prima calcolato il centro di massa del sistema (che a occhio potrebbe essere leggermente spostato più a destra di O lungo la linea che congiunge O con P) e poi, in base al moto del centro di massa (che deve essere un bel casino) avrei scritto l' espressione dell' energia potenziale in funzione di $\theta$ (l' angolo indicato in figura). A questo punto è ovvio che la procedura del mio libro è molto ma molto meno laboriosa, però mi chiedo quale proprietà abbia sfruttato per arrivare ad una calcolo di questo tipo. Per completezza scrivo l' espressione dell' energia per i due corpi:
$E_(a)=MgR$ (il centro di massa dell' anello è sempre a quota $R$) e $E_p=mgR(1-cos \theta)$.
Andando avanti i dubbi aumentano
La stessa procedura è applicata per il caloco dell' energia cinetica totale, ed anche qui mi chiedo come è possibile giustificare questa procedura. L' energia cinetica dell' anello è $K_a=1/2I \omega ^2$ (dove $I$ è il momento d' inerzia calcolato rispetto ad un asse perpendicolare al piano del foglio e passante per il punto di contatto tra anello e piano su cui esso è poggiato), e su questo non ho dubbi. L' energia cinetica della pallina, secondo il mio libro, è: $K_p=1/2I_p \omega ^2 = 1/2m d^2 \omega ^2$ dove d è la distanza tra la pallina e l' asse considerato. Quello che mi chiedo è: la pallina è un corpo puntiforme, non bastava dire che $K_p=1/2m v^2 = 1/2m R^2 \omega ^2$? Capisco che la pallina sta ruotando intorno all' asse istantaneo di rotazione, ma se il moto è di rotolamento puro, non vale la relazione cinematica fondamentale?
Perdonatemi se sto dicendo cose che non stanno nè il cielo nè in terra
A questo punto il libro afferma che l' energia cinetica totale è la somma di $K_a$ e $K_p$. E di nuovo mi chiedo: perché?
Non bisogna considerare il centro di massa del sistema? So che in quel caso probabilmete non se ne uscirebbe più, però voglio capire perché è possibile sommare per avere l' energia totale.
Una volta ottenuta l' espressione dell' energia totale, si deriva rispetto al tempo e da lì in poi è semplice.
Grazie a tutti in anticipo
un anello di massa $M=0.1kg$ e raggio $R=0.5m$, disposto verticalmente, può rotolare senza strisciare su un piano orizzontale. Una pallina P di massa $m=0.01kg$ è fissata in un punto dell' anello. Determinare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. Vi allego anche la figura:
Il mio libro dice che per risolvere il problema si può ricorrere alla conservazione dell' energia meccanica, visto che il sistema è in un campo di forze conservativo. Quindi cominciamo a scrivere l' espressione dell' energia potenziale del sistema. Il mio libro considera prima l' energia potenziale dell' anello, poi quella della massa e infine le somma per ottenere l' energia potenziale del sistema. Perché questa procedura è corretta? Io invece avrei prima calcolato il centro di massa del sistema (che a occhio potrebbe essere leggermente spostato più a destra di O lungo la linea che congiunge O con P) e poi, in base al moto del centro di massa (che deve essere un bel casino) avrei scritto l' espressione dell' energia potenziale in funzione di $\theta$ (l' angolo indicato in figura). A questo punto è ovvio che la procedura del mio libro è molto ma molto meno laboriosa, però mi chiedo quale proprietà abbia sfruttato per arrivare ad una calcolo di questo tipo. Per completezza scrivo l' espressione dell' energia per i due corpi:
$E_(a)=MgR$ (il centro di massa dell' anello è sempre a quota $R$) e $E_p=mgR(1-cos \theta)$.
Andando avanti i dubbi aumentano
La stessa procedura è applicata per il caloco dell' energia cinetica totale, ed anche qui mi chiedo come è possibile giustificare questa procedura. L' energia cinetica dell' anello è $K_a=1/2I \omega ^2$ (dove $I$ è il momento d' inerzia calcolato rispetto ad un asse perpendicolare al piano del foglio e passante per il punto di contatto tra anello e piano su cui esso è poggiato), e su questo non ho dubbi. L' energia cinetica della pallina, secondo il mio libro, è: $K_p=1/2I_p \omega ^2 = 1/2m d^2 \omega ^2$ dove d è la distanza tra la pallina e l' asse considerato. Quello che mi chiedo è: la pallina è un corpo puntiforme, non bastava dire che $K_p=1/2m v^2 = 1/2m R^2 \omega ^2$? Capisco che la pallina sta ruotando intorno all' asse istantaneo di rotazione, ma se il moto è di rotolamento puro, non vale la relazione cinematica fondamentale?
Perdonatemi se sto dicendo cose che non stanno nè il cielo nè in terra
A questo punto il libro afferma che l' energia cinetica totale è la somma di $K_a$ e $K_p$. E di nuovo mi chiedo: perché?
Non bisogna considerare il centro di massa del sistema? So che in quel caso probabilmete non se ne uscirebbe più, però voglio capire perché è possibile sommare per avere l' energia totale.
Una volta ottenuta l' espressione dell' energia totale, si deriva rispetto al tempo e da lì in poi è semplice.
Grazie a tutti in anticipo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo