Altri esercizi
1) "A un carrello di massa m1 = 1,8 kg è attaccato un blocco di massa m2 = 0,5 kg tramite un filo che si poggia su una puleggia. La massa della puleggia è piccola e pertanto di può ignorare l'effetto della sua rotazione. Determinare:
a) il modulo dell'accelerazione del carrello e del blocco;
b) la tensione del filo."
L'equazione del moto di m1 è $ T = m_1a $, mentre quella di m2 è $ m_2g-T = m_2a $.
Metto a sistema e ottengo il valore dell'accelerazione e della tensione.
2) "Un ragazzo spinge una slitta su una strada orizzontale coperta di neve. Quando il modulo della velocità della slitta è v = 2,4 m/s, il ragazzo lascia andare la slitta e questa scivola per un tratto d = 6,4 m prima di fermarsi. Determinare il coefficiente di attrito dinamico."
$ 1/2mv^2=mu mgd rArr 1/2v^2=mu gd rArr (v^2)/(2gd)=mu $
3) "La massa m in figura ruota inizialmente con velocità v1 = 2,4 m/s lungo una circonferenza di raggio r1 = 0,8 m. Quando il laccio è tirato lentamente verso il foro, il nuovo raggio vale r2 = 0,48 m. Qual è adesso la velocità della massa?"
Questo non riesco a risolverlo. Il problema non specifica se la velocità è costante o meno e non so come impostare l'equazione del moto.
Si potrebbe fare una cosa del genere?
$ a = v_1^2/r_1 $, che vale 7,2 m/s^2.
$ v_2 = sqrt(ar_2) $, che vale 1,86 m/s.
4) "Una particella di massa m, sospesa ad una corda di lunghezza L, gira lungo un cerchio di raggio r = Lsen α, dove α è l'angolo che la corda forma con la verticale. Calcolare la velocità e il periodo di un tale 'pendolo' in funzione di L e α."
$ Tsentheta = mv^2/r $, con T = tensione del filo. $ v = sqrt((rTsentheta)/(m)) $
Per il periodo: $ T = 2pi sqrt((Lcostheta)/(g)) $
a) il modulo dell'accelerazione del carrello e del blocco;
b) la tensione del filo."
L'equazione del moto di m1 è $ T = m_1a $, mentre quella di m2 è $ m_2g-T = m_2a $.
Metto a sistema e ottengo il valore dell'accelerazione e della tensione.
2) "Un ragazzo spinge una slitta su una strada orizzontale coperta di neve. Quando il modulo della velocità della slitta è v = 2,4 m/s, il ragazzo lascia andare la slitta e questa scivola per un tratto d = 6,4 m prima di fermarsi. Determinare il coefficiente di attrito dinamico."
$ 1/2mv^2=mu mgd rArr 1/2v^2=mu gd rArr (v^2)/(2gd)=mu $
3) "La massa m in figura ruota inizialmente con velocità v1 = 2,4 m/s lungo una circonferenza di raggio r1 = 0,8 m. Quando il laccio è tirato lentamente verso il foro, il nuovo raggio vale r2 = 0,48 m. Qual è adesso la velocità della massa?"
Questo non riesco a risolverlo. Il problema non specifica se la velocità è costante o meno e non so come impostare l'equazione del moto.
Si potrebbe fare una cosa del genere?
$ a = v_1^2/r_1 $, che vale 7,2 m/s^2.
$ v_2 = sqrt(ar_2) $, che vale 1,86 m/s.
4) "Una particella di massa m, sospesa ad una corda di lunghezza L, gira lungo un cerchio di raggio r = Lsen α, dove α è l'angolo che la corda forma con la verticale. Calcolare la velocità e il periodo di un tale 'pendolo' in funzione di L e α."
$ Tsentheta = mv^2/r $, con T = tensione del filo. $ v = sqrt((rTsentheta)/(m)) $
Per il periodo: $ T = 2pi sqrt((Lcostheta)/(g)) $
Risposte
Solo il terzo non va bene. C'e' una quantita' che sicuramente si conserva tra la configurazione finale e quella iniziale. Qual e'?
Spiegatemi l'esercizio n.4 , non l'ho capito . Figura ?
@maxira
la prossima volta , metti un solo esercizio in un post .
@maxira
la prossima volta , metti un solo esercizio in un post .
"Shackle":
la prossima volta , metti un solo esercizio in un post .
Vero. Non lo avevo nemmeno visto. E' un pendolo conico, il risultato e' corretto ma formalmente la soluzione lascia un po' a desiderare.
"Shackle":
Spiegatemi l'esercizio n.4 , non l'ho capito . Figura ?
@maxira
la prossima volta , metti un solo esercizio in un post .
Scusami, non sapevo non fosse concesso.
"professorkappa":
[quote="Shackle"]
la prossima volta , metti un solo esercizio in un post .
Vero. Non lo avevo nemmeno visto. E' un pendolo conico, il risultato e' corretto ma formalmente la soluzione lascia un po' a desiderare.[/quote]
Posso fare delle sostituzioni/semplificazioni? O c'è un modo ancora più semplice per arrivare al risultato?
"professorkappa":
Solo il terzo non va bene. C'e' una quantita' che sicuramente si conserva tra la configurazione finale e quella iniziale. Qual e'?
La velocità angolare?
$ omega =v_1/r_1 $
e ottengo 3 rad/s.
$ v_2 = omega r_2 $
e ottengo 1,44 m/s.
Per il 3 non capisco come ci sei arrivata. Le 2 equazioni sono semplicememnte $Tcostheta=mg$ (per l'eq. lungo la verticale) e $Tsintheta=momega^2Lsintheta$ da cui il risultato a cui arrivi anche tu.
Per il 4, no, ovviamente la velocita angolare non si conserva. Rispetto al polo di rotazione (il centro del foro) non ci sono forze che fanno momento (le forze in gioco hanno tutte braccio nullo). Si conserva il momento angolare, Ovvero $I_1omega_1=I_2omega^2$: la velocita' angolare aumenta col diminuire del rapporto dei raggi al quadrato.
Per il 4, no, ovviamente la velocita angolare non si conserva. Rispetto al polo di rotazione (il centro del foro) non ci sono forze che fanno momento (le forze in gioco hanno tutte braccio nullo). Si conserva il momento angolare, Ovvero $I_1omega_1=I_2omega^2$: la velocita' angolare aumenta col diminuire del rapporto dei raggi al quadrato.
"professorkappa":
Per il 3 non capisco come ci sei arrivata. Le 2 equazioni sono semplicememnte $ Tcostheta=mg $ (per l'eq. lungo la verticale) e $ Tsintheta=momega^2Lsintheta $ da cui il risultato a cui arrivi anche tu.
Ah, è perché ho applicato direttamente una formula data in aula.
Il professore ha definito la velocità angolare come $ sqrt(g/(Lcostheta)) $.
Per ricavarla mette a sistema le due equazioni del moto e ricava due formule: una per v^2/r, cioè $ v^2/r = g tantheta $, e una per v, cioè $ v = sqrt(rg tantheta) $. Moltiplica entrambi i membri della prima per 1/v, in modo da ottenere v/r = w al primo membro e, al secondo membro: $ (g tantheta)/(sqrt(rg tantheta)) $. Dopo una serie di semplificazioni ottiene $ sqrt(g/(Lcostheta)) $.
"professorkappa":
Per il 4, no, ovviamente la velocita angolare non si conserva. Rispetto al polo di rotazione (il centro del foro) non ci sono forze che fanno momento (le forze in gioco hanno tutte braccio nullo). Si conserva il momento angolare, Ovvero $ I_1omega_1=I_2omega^2 $: la velocita' angolare aumenta col diminuire del rapporto dei raggi al quadrato.
Giusto, non so perché l'ho scritto.
Ricapitolando, abbiamo che il momento totale delle forze è nullo. Questo perché, considerando il foro come polo:
1) la forza centripeta ha braccio nullo;
2) la forza d'attrito è nulla;
3) la forza peso ha braccio nullo;
4) la forza che tira il filo ha braccio nullo.
E' corretto?
Invece, se scegliessi di calcolare il momento totale delle forze rispetto all'asse passante per il foro e ortogonale alla superficie, sarebbe nullo perché:
1) la forza centripeta ha retta d'azione passante per l'asse;
2) la forza d'attrito è nulla;
3) la forza peso si trova sull'asse;
4) la forza che tira il filo si trova sull'asse.
Se avessi scelto un asse sempre ortogonale alla superficie ma passante per il perimetro della circonferenza, invece, sia la forza peso sia la forza che tira il filo sarebbero state parallele all'asse, quindi i loro momenti sarebbero stati nulli.
Oppure la forza peso si sarebbe trovata sull'asse?
Solo se il momento totale delle forze è nullo si può parlare di conservazione del momento angolare.
Il momento d'inerzia di un punto materiale vale I = mr^2.
$ mr_1^2omega _1 = mr_2^2omega _2 $
Semplifico la massa e ottengo w2 = 8,3 rad/s. La velocità v2 = w2/r2 vale 17,36 m/s.
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