[Algebra vettoriale,statica] Momento sbarra incernierata

[piggyback]

Salve a tutti,

sono alle prese con uno dei miei primi problemi sui momenti e sono gia` nelle grane!

Il problema: Una sbarra di massa m e lunghezza l, incernierata al punto O, e` supportata da una fune che a sua volta passa su una carrucola, bilanciata da un oggetto di cui non ci importa niente
Diagrammi https://i.imgur.com/8N75AWE.png https://i.imgur.com/oLKcTTn.png

Trova theta.

Il sistema e` in equilibrio quindi la somme delle forze=0.
\[ \textbf{W}=mg(-\textbf{j});
\textbf{P}=P{i}\textbf{i}+P{j}\textbf{j};
\textbf{T}=\textbf{T}cos\theta \textbf{i}+\textbf{T}sin\theta \textbf{j} \]

*oops dovrebbe essere \[\textbf{P}=P{i}\textbf{(-i)}+P{j}\textbf{j} \]
momenti:
\[ \Gamma_{P}=0;
\Gamma _{T}=r{T}\times \textbf{T}=l\textbf{i}\times\textbf{T}(cos\theta \textbf{i}+sin\theta \textbf{i})=l\textbf{T}sin\theta \textbf{k};
\Gamma_{W}=r{W}\times \textbf{W}=-\frac{1}{2}lmg\textbf{k} \]
Risolvo l'equilibrio nella direzione k: \[ \textbf{T}=\frac{1}{2}mgcsc\theta \]
Risolvo l'equilibrio nelle direzioni i e j per trovare P:
\[ P{i}=-\textbf{T}cos\theta =\frac{1}{2}mgcot\theta;
P{j}=mg-\textbf{T}sin\theta =\frac{1}{2}mg \]
--> \[ \textbf{P}=\frac{1}{2}mgcot\theta (-\textbf{i})+\frac{1}{2}mg\textbf{j} \]
quindi ora posso trovare \[ \textbf{T}=-\textbf{P}-\textbf{W}=\frac{1}{2}mgcot\theta \textbf{i}+\frac{1}{2}mg\textbf{j} \]

mi sembra di aver trovato tutto il necessario..ma come trovo theta? Usando le due T che ho trovato? Risolvendo l'ultima equazione per theta?

Per gli interessati, penso che questo problema venga da un libro della serie Schaum's Outlines. Non credo sia a livello universitario, ma spero che possiate aiutarmi comunque!
Grazie

[Camillo]

Adesso vedo una figura diversa da prima , la forza $vec P $ è sparita dal disegno ma comunque esiste e formerà un angolo $ alpha$ con l'orizzontale, il punto O è incastrato nella parete , giusto ? l'asta ha sempre massa m , così come il peso che tende la fune vale $ mg$ , corretto ?
Se queste ipotesi sono corrette allora :
Equilibrio forze orizzontali : $ P cos (alpha)=mg cos (theta) $
Equilibrio forze verticali : $ P sin ( alpha) +mg sin (theta) = mg $
M omento : $ mg*L/2 =mg*L* sin (theta) $
Dall'ultima equazione si ottiene subito che $sin theta = 1/2 rarr theta = 30°$ etc

Per la simmetria della struttura è pensabile che $ alpha = theta $ etc