Algebra vettoriale e moti centrali

[gurghet]

L'esercizio è: a partire dall'equazione del moto in un campo di forze centrali $m\ddot{\bb{r}}=f(|\bb{r}|)\bb{r}/|\bb{r}|$ verificare che la traiettoria è contenuta in un piano passante per il centro di forza.
Allora io, ricordando che tre vettori in un prodotto misto sono complanari se il risultato è zero, ho moltiplicato vettorialmente a sinistra per $\bb{r}$ e scalarmente a destra per $\dot{\bb{r}}$ ottenendo,
$\bb{r}\times(m\ddot{\bb{r}})\cdot\dot{\bb{r}}=0$. Ho dimostrato così che addirittura anche l'accelerazione passa per un piano? (Che contiene il centro di forza poiché contiene il raggio vettore?)

[Cmax1]

Il momento angolare $\bb{j}=m\bb{r}times\dot{\bb{r}}$ è un vettore costante (puoi facilmente dimostrarlo derivandolo rispetto al tempo ed utilizzando la forza centrale). Dalla sua definizione consegue che $\bb{r}*\bb{j}=0$, che è l'equazione di un piano (ricorda: solo se $\bb{j}$ è un vettore costante!) passante per l'origine e perpendicolare a $\bb{j}$. In questo modo, la planarità del moto può essere vista come una delle caratteristiche della conservazione del momento angolare.