AIUTOOOO! TRAVE INCERNIERATA STATICA E DINAMICA.
Salve a tutti,studiando per l'esme di modellazione e ottimizzazone in aeronautica mi trovo questo problema:
$ D(del^4u)/(del x)^4+N(del^2u)/(del x)^2=sum_(n = 1)F_nsin(n*pi*x) $
$ (del^2u)/(del t)^2 + D(del^4u)/(del x)^4+N(del^2u)/(del x)^2=sum_(n = 1)F_nsin(n*pi*x) $ la sommatoria va all'infinito $
con x appartenente (0,1) e condizioni al contorno u(0)=u''(0)=u(1)=u''(1)=0 per il primo caso e
u(0,t)=u''(0,t)=u(1,t)=u''(1,t)=0 + condizioni iniziali nulle per il secondo,
e F_n costante e indipendente dal tempo!
Trovare la soluzione per entrambi i problemi per qualsiasi valore di N, compresi i valori critici (corrispondenti all'unnalmento di un autovalore dell'operatore strutturale)
Discutere l'esistenza e l'unicità della soluzione nei due casi
Discutere la stabilità della soluzione nel secondo casa, per qualsiasi valore di N e di $ F_n $(da un punto di visto matematico)
Esprimere le conclusioni sull'utilità della soluzione statica per valori maggiori del primo valore critico di N
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Per la soluzione ho optato per il metodo delle autofunzioni, dove nel primo caso la soluzione è
$ u=sum_(n=1)(f_n/lambda_n)*phi_n $
dove le $ phi_n $ sono le autofunzioni dell'operatore stutturale L
(che ho posto pari a : $ L=D(d^4)/(d x)^4+N(d^2)/(d x)^2 $ )
e sono $ sin(n*pi*x) $
Diciamo che arrivo alla soluzione imponendo le condizioni al contorno,verificando che le mie $ phi_n $ soddisfino le mie condizioni e ricavando le $ lambda_n $
$ Lphi=lambdaphi $
$ lambda_n=(D-N)(n*pi)^2((n*pi)^2-1) $
in questo caso discuto l'esistenza e l'unicità della soluzione u(x) imponendo che se $ lambda=0 D-N = 0 $ allora anche $ f_n = 0 $ per vere soluzione non unica
e diciamo che fin qui non ho molti problemi.sempre che il ragionameno sia giusto
i problemi sorgono ne secondo caso in quanto la forzante NON DIPENDE dal tempo.applicando sempre il metodo delle autofunzioni arrivo ad una equazione differenziale del tipo:
$ (d^2u_p)/dt^2 +lambda_p * u_p= F_p $
che non so risolvere e quindi non so discuterne l'esistenza e unicità e la stabilità.
Per favore datemi una mano.E' troppo importante perche ho l'esame lunedi e non so dove trovare la soluzione.
$ D(del^4u)/(del x)^4+N(del^2u)/(del x)^2=sum_(n = 1)F_nsin(n*pi*x) $
$ (del^2u)/(del t)^2 + D(del^4u)/(del x)^4+N(del^2u)/(del x)^2=sum_(n = 1)F_nsin(n*pi*x) $ la sommatoria va all'infinito $
con x appartenente (0,1) e condizioni al contorno u(0)=u''(0)=u(1)=u''(1)=0 per il primo caso e
u(0,t)=u''(0,t)=u(1,t)=u''(1,t)=0 + condizioni iniziali nulle per il secondo,
e F_n costante e indipendente dal tempo!
Trovare la soluzione per entrambi i problemi per qualsiasi valore di N, compresi i valori critici (corrispondenti all'unnalmento di un autovalore dell'operatore strutturale)
Discutere l'esistenza e l'unicità della soluzione nei due casi
Discutere la stabilità della soluzione nel secondo casa, per qualsiasi valore di N e di $ F_n $(da un punto di visto matematico)
Esprimere le conclusioni sull'utilità della soluzione statica per valori maggiori del primo valore critico di N
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Per la soluzione ho optato per il metodo delle autofunzioni, dove nel primo caso la soluzione è
$ u=sum_(n=1)(f_n/lambda_n)*phi_n $
dove le $ phi_n $ sono le autofunzioni dell'operatore stutturale L
(che ho posto pari a : $ L=D(d^4)/(d x)^4+N(d^2)/(d x)^2 $ )
e sono $ sin(n*pi*x) $
Diciamo che arrivo alla soluzione imponendo le condizioni al contorno,verificando che le mie $ phi_n $ soddisfino le mie condizioni e ricavando le $ lambda_n $
$ Lphi=lambdaphi $
$ lambda_n=(D-N)(n*pi)^2((n*pi)^2-1) $
in questo caso discuto l'esistenza e l'unicità della soluzione u(x) imponendo che se $ lambda=0 D-N = 0 $ allora anche $ f_n = 0 $ per vere soluzione non unica
e diciamo che fin qui non ho molti problemi.sempre che il ragionameno sia giusto
i problemi sorgono ne secondo caso in quanto la forzante NON DIPENDE dal tempo.applicando sempre il metodo delle autofunzioni arrivo ad una equazione differenziale del tipo:
$ (d^2u_p)/dt^2 +lambda_p * u_p= F_p $
che non so risolvere e quindi non so discuterne l'esistenza e unicità e la stabilità.
Per favore datemi una mano.E' troppo importante perche ho l'esame lunedi e non so dove trovare la soluzione.
Risposte
[mod="Steven"]Ciao, chiudo questo topic perché ne hai messo uno uguale in "Ingegneria".
Ti chiedo anche di modificare il titolo di quel topic, ricordando che
3.5 Soprattutto sono da evitare titoli e testo in grassetto o in maiuscolo. Comunemente il grassetto e il maiuscolo sono l'equivalente di chi alza la voce o urla. In questo forum non sono gradite le persone che alzano la voce troppo spesso.
Grazie.[/mod]
Ti chiedo anche di modificare il titolo di quel topic, ricordando che
3.5 Soprattutto sono da evitare titoli e testo in grassetto o in maiuscolo. Comunemente il grassetto e il maiuscolo sono l'equivalente di chi alza la voce o urla. In questo forum non sono gradite le persone che alzano la voce troppo spesso.
Grazie.[/mod]
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