Aiuto su esercizio Fisica 2
Buonasera a tutti, vi chiedo una mano su questo vecchio testo d'esame perchè non riesco proprio a cavarci le gambe, in particolare sui primi 3 punti, gli ultimi due dovrebbero si dovrebbero risolvere abbastanza facilmente con un bilancio energetico. Il testo è il seguente:
Sono date due sfere indeformabili di raggio $r$ massa $m$ e carica rispettivamente $+Q$ e $-Q$ uniformemente distribuita nel loro volume. Le due sfere sono poste a riposo a distanza praticamente infinita e sono successivamente lasciate libere di muoversi, determinare:
1) L’energia elettrostatica di ciascuna delle due sfere di carica.
2) L’energia elettrostatica del sistema in funzione della distanza $d$ tra i centri delle due sfere.
3) La velocità delle due sfere nell’ istante nel quale si toccano, ovvero nell’istante nel quale la distanza tra i centri delle due sfere è pari a $2r$.
Successivamente al primo contatto le due sfere continuano a muoversi e compenetrarsi, senz’alcun attrito, determinare:
4) Il campo elettrico nella regione nella quale le due sfere sono sovrapposte in funzione della distanza $d$ tra i centri delle due sfere, dimostrando che è uniforme.
5) La velocità delle due sfere nell’istante nel quale hanno i centri sovrapposti, ovvero quando si ha $d=0$.
Io avevo pensato di impostare il primo punto cosi:
Immaginando che ci sia solo una delle due distribuzioni calcolo l'energia elettrostatica di solo una mediante $U=1/2 \epsilon_0 \int E^2 dv$
mettendomi nel sistema di rifermento sferico con centro in una delle due sfere ottengo che il campo elettrico all'interno della sfera è: $\vec(E(r))=(Qr)/(4\pi\epsilon_0)*1/(\bar r ^3) \hat(e_r)$, e quindi otterrei che l'energia elettrostatica di una sola sfera è: $U=1/2 \epsilon_0 \int_0^\bar r \int_0^(2\pi) \int_0^\pi E^2 r^2sin\theta drd\thetad\phi$ svolgendo i conti $U=1/20 (Q^2)/(\pi \epsilon_0^2) 1/(\bar r)$ e quindi l'energia di entrambe le sfere sarebbe il doppio di quella appena calcolata
Da qui sorgono i problemi, per scrivere nuovamente l'energia in funzione della distanza $d$ mi metterei in un sistema di riferimento con centro nella metà della distanza delle due sfere, ma poi l'energia come la calcolo ?
Forse era meglio calcolare il potenziale $V$ e poi usare $U=1/2 \int \rhoV dv$ dato che poi dovevo usare la distanza fra le due sfere e grazie anche al fatto che la densità di carica è costante?
Sono date due sfere indeformabili di raggio $r$ massa $m$ e carica rispettivamente $+Q$ e $-Q$ uniformemente distribuita nel loro volume. Le due sfere sono poste a riposo a distanza praticamente infinita e sono successivamente lasciate libere di muoversi, determinare:
1) L’energia elettrostatica di ciascuna delle due sfere di carica.
2) L’energia elettrostatica del sistema in funzione della distanza $d$ tra i centri delle due sfere.
3) La velocità delle due sfere nell’ istante nel quale si toccano, ovvero nell’istante nel quale la distanza tra i centri delle due sfere è pari a $2r$.
Successivamente al primo contatto le due sfere continuano a muoversi e compenetrarsi, senz’alcun attrito, determinare:
4) Il campo elettrico nella regione nella quale le due sfere sono sovrapposte in funzione della distanza $d$ tra i centri delle due sfere, dimostrando che è uniforme.
5) La velocità delle due sfere nell’istante nel quale hanno i centri sovrapposti, ovvero quando si ha $d=0$.
Io avevo pensato di impostare il primo punto cosi:
Immaginando che ci sia solo una delle due distribuzioni calcolo l'energia elettrostatica di solo una mediante $U=1/2 \epsilon_0 \int E^2 dv$
mettendomi nel sistema di rifermento sferico con centro in una delle due sfere ottengo che il campo elettrico all'interno della sfera è: $\vec(E(r))=(Qr)/(4\pi\epsilon_0)*1/(\bar r ^3) \hat(e_r)$, e quindi otterrei che l'energia elettrostatica di una sola sfera è: $U=1/2 \epsilon_0 \int_0^\bar r \int_0^(2\pi) \int_0^\pi E^2 r^2sin\theta drd\thetad\phi$ svolgendo i conti $U=1/20 (Q^2)/(\pi \epsilon_0^2) 1/(\bar r)$ e quindi l'energia di entrambe le sfere sarebbe il doppio di quella appena calcolata
Da qui sorgono i problemi, per scrivere nuovamente l'energia in funzione della distanza $d$ mi metterei in un sistema di riferimento con centro nella metà della distanza delle due sfere, ma poi l'energia come la calcolo ?
Forse era meglio calcolare il potenziale $V$ e poi usare $U=1/2 \int \rhoV dv$ dato che poi dovevo usare la distanza fra le due sfere e grazie anche al fatto che la densità di carica è costante?
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