Aiuto problema dinamica

[andreacavagna22]

Un’asta rigida è vincolata a un punto fisso o e ruota con velocità angolare costante w, l’asse di rotazione è verticale e l’angolo tra asse e aste è alfa. Un oggetto fi massa m è libero di scivolare lungo l’asta senza attrito.
Determinare a quale distanza l dal punto o si può posizionare l’oggetto senza che questo scivoli.
Come lo risolvo?
Grazie

[mgrau]

L'asta descrive un cono con apertura $alpha$. L'oggetto sta fermo se la componente del peso lungo l'asta coincide con la componente della forza centripeta lungo l'asta. Siccome la componente del peso non dipende dalla distanza dall'asse, ma l'altra forza sì, c'è un solo punto che va bene. Occhio che l'equilibrio è instabile.

[andreacavagna22]

Grazie, potresti illustrarmi brevemente i passaggi per risolvere il problema ?

[mgrau]

Beh, un qualche sforzo potresti anche farlo... e mi pare anche di averti illustrato a sufficienza la via, no?

[andreacavagna22]

Ok quindi avrei mg cos alfa per la Componente di massa lungo asta e mw^2lsen alfa per accelerazione centripeta?
Non mi tornano i conti

[mgrau]

"AndretopC0707":Ok quindi avrei mg cos alfa per la Componente di massa lungo asta e mw^2lsen alfa per accelerazione centripeta?
Non mi tornano i conti

In che senso, non ti tornano i conti? E cosa è $l$? La distanza misurata lungo l'asta, o la distanza dall'asse?

[andreacavagna22]

Lunghezza dell’asta, tra la massa e il punto di origine

[mgrau]

Allora, il termine $momega^2lsin alpha$ non va bene

[andreacavagna22]

Ma l’accelerazione centripeta non è diretta lungo il raggio?
L’angolo alfa è tra asta e asse verticale, il raggio di rotazione non dovrebbe essere lsen alfa

[mgrau]

"AndretopC0707":Ma l’accelerazione centripeta non è diretta lungo il raggio?
L’angolo alfa è tra asta e asse verticale, il raggio di rotazione non dovrebbe essere lsen alfa

Sì, è diretta lungo il raggio, e il raggio è $lsin alpha$, ma a te serve la componente lungo l'asta

[Shackle]

LA soluzione si trova applicando la seconda eq della dinamica alla massa $m$ , che può scivolare senza attrito lungo l’asta inclinata di $alpha$ rispetto alla verticale (vedi figura allegata). La massa $m$ è soggetta a due forze:

1) la forza peso $mvecg$ , verticale e diretta verso il basso

2) la reazione normale dell’asta $vecN$, che non essendoci attrito tra massa ed asta è perpendicolare all’asta.

La seconda eq della dinamica di che, rispetto a un osservatore inerziale, deve essere :

$mveca_c = mvecg + vecN$

in cui $veca_c $ è l’accelerazione centripeta, diretta radialmente verso l’asse di rotazione. Proiettando questa eq vettoriale sui due assi, si ha :

$mdomega^2 = N cosalpha$
$mg = Nsenalpha$

da cui si trova che : $ d = g/(omega^2tgalpha)$ m e quindi la distanza OA vale : $ OA = (gcosalpha)/(omega^2$

[andreacavagna22]

Quindi lcos alfa?
Ma perché lungo l’asta?
Potresti gentilmente spiegarmelo?

[Shackle]

Ma hai capito la soluzione che ti ho scritto, e il disegno? La reazione $vecN$ dell’asta su $m$ , che è perpendicolare all’asta in quanto non c’è attrito, deve avere il componente verticale uguale, in modulo, al peso : $mg =Nsenalpha$. Resta quindi determinato il modulo $N$ di questa reazione. Il componente orizzontale di $vecN$ è la forza centripeta, quindi: $ mdomega^2=Ncosalpha$.
Poi è solo algebra, per trovare la distanza $d$ dall’asse a cui deve trovarsi $m$ perché siano soddisfatte le equazioni scritte.

[andreacavagna22]

Grazie

[andreacavagna22]

Un’ultima cosa, la reazione vincolare dell’asta a cosa è dovuta e perché è messa così?

[Shackle]

L’asta è il vincolo della massa m , perché la massa è “vincolata" a scorrere sull’asta stessa. L’asta trascina la massa in rotazione. Se l’asta non ruotasse, inizialmente la massa starebbe in $O$ . Quando l’asta inizia a ruotare , la massa si sposta verso l'alto lungo l’asta perché tende ad allontanarsi dall’asse di rotazione verticale. LA reazione è perpendicolare all’asta in quanto nel vincolo “di scorrimento” non c’è forza di attrito tra la massa m e l’asta. Se ci fosse attrito, la reazione $vecR$ avrebbe , oltre al componente normale $vecN$ , anche un componente tangenziale $vecA$ , uguale alla residenza di attrito tra massa e asta.

[mgrau]

"Shackle": Se l’asta non ruotasse, inizialmente la massa starebbe in $O$ . Quando l’asta inizia a ruotare , la massa si sposta verso l'alto lungo l’asta perché tende ad allontanarsi dall’asse di rotazione verticale.

No, questo non va bene.
Intanto, se la massa sta in $O$ non si sposterà mai.
E anche se non sta inizialmente in $O$ non si sposta verso l'esterno fino a che la velocità angolare non raggiunge il valore critico, quello per cui il peso uguaglia la forza centripeta (cioè, le componenti lungo l'asta).
Questo è un punto di equilibrio instabile: un qualsiasi spostamento fa collassare la massa verso il centro, ovvero la fa schizzare fuori.
Insomma, se inizialmente la massa non sta sull'asse, all'aumentare della rotazione la massa non si muove, fino a che a un certo punto schizza via.
Questo se l'asta è diritta: se avesse invece una forma parabolica, allora sarebbe come dici tu: maggiore $omega$, maggiore distanza.

[Shackle]

Una massa costituita da un blocchetto di materia non può stare fisicamente a distanza zero in $O$ dall’asse di rotazione. La distanza fisica è comunque >0 .

[mgrau]

"Shackle":Una massa costituita da un blocchetto di materia non può stare fisicamente a distanza zero in $O$ dall’asse di rotazione. La distanza fisica è comunque >0 .

Ok. Allora leggi la frase successiva.

[Shackle]

Tu invece leggi il testo dell’esercizio, la velocità angolare $omega$ è assegnata. Non stiamo parlando di rotazione che inizia da zero e prosegue con velocità angolare crescente. E dai un’occhiata al mio disegno, se ti va. Altrimenti lascia perdere.

[mgrau]

Certo, l'ho visto. Sto solo dicendo che, con velocità angolare assegnata, la massa cade al centro o schizza via. In mezzo c'è un punto di equilibrio instabile. E poi, sei tu che scrivi "quando l'asta inizia a ruotare", che farebbe pensare ad una partenza da ferma; e dici anche "si sposta verso l'alto": e io dico invece che si sposta verso l'alto - e non solo, ma schizza via - solo se la velocità angolare è abbastanza grande, altrimenti non si sposta affatto e, anzi, potendo, scende.