Aiuto con problema sulla quantità di moto

[konan91]

Allora ho un carrello di massa $M_0$ che si muove con velocta costante $v_0$ senza attrito su un binario rettilineo.All'istante t=0 comincia a depositarsi sul carrello 50 g di neve al secondo , cadendo verticalmente.Devo trovare la velocità del sistema in funzione del tempo.

Vi illustro il mio ragionamento su cui però ho qualche dubbio:

Non essendoci forze esterne sull'asse x il sistema è isolato è isolato quindi $Q$ si conserva.Indicando con $Q_i$ la Q. di moto al tempo t=0, $Q_t$ la Q. di moto al tempo t e definendo $m(t)=50 g/s$ si ha:

$Q_i=v_0*M_0=v*(M_0+m(t)*t$ => $v=v_0*M_0/(M_0+m(t)*t)$

Però la conservazione della quantità di moto mi dice che la velocità del C.d.M. è costante mentre il mio risultato nega ciò...che errore concettuale ho commesso?

[Palliit]

Ciao. Opinione personale: secondo me consideri il C.d.M. del solo carrello, mentre è isolato (rispetto all'asse $x$) il sistema [(carrello)+(la neve che ci cade sopra)]. Questo sistema ha un baricentro (che francamente non so quanto possa essere facile o meno determinare) che sicuramente si abbassa progressivamente (in direzione $y$ è agente la forza peso, esterna, che sulla neve ha un effetto evidente) ma la cui componente di velocità $v_x$ rimane costante.

[konan91]

Quindi tu dici di considerare la neve sopra il carrello e il carrello come due sistemi separati....ci penserò su...se qualcuno a altre critiche faccia pure!

[Palliit]

No, mi sono spiegato male, dico esattamente il contrario: se vuoi pensare alla costanza della velocità del C.d.M. allora il sistema isolato dev'essere costituito dal carrello e dalla neve in caduta, intesi congiuntamente. Non si conserva la q.d.m. del solo carrello, si conserva la componente lungo l'asse $x$ (orizzontale) della q.d.m. del sistema neve+carrello.

[Sk_Anonymous]

"torky":Allora ho un carrello di massa $M_0$ che si muove con velocta costante $v_0$ senza attrito su un binario rettilineo.All'istante t=0 comincia a depositarsi sul carrello 50 g di neve al secondo , cadendo verticalmente.Devo trovare la velocità del sistema in funzione del tempo.

Vi illustro il mio ragionamento su cui però ho qualche dubbio:

Non essendoci forze esterne sull'asse x il sistema è isolato è isolato quindi $Q$ si conserva.Indicando con $Q_i$ la Q. di moto al tempo t=0, $Q_t$ la Q. di moto al tempo t e definendo $m(t)=50 g/s$ si ha:

$Q_i=v_0*M_0=v*(M_0+m(t)*t$ => $v=v_0*M_0/(M_0+m(t)*t)$

Però la conservazione della quantità di moto mi dice che la velocità del C.d.M. è costante mentre il mio risultato nega ciò...che errore concettuale ho commesso?

Torky,

il risultato finale è giusto, ma ci si arriva con un ragionamento un pò diverso.

Il sistema è " a massa variabile", e la portata della neve $m(t)=50 g/s$ è costante nel tempo, quindi la puoi indicare semplicemente con $m$. La massa totale (carrello + neve) $M(t)$ aumenta evidentemente col tempo.
La neve non ha componente di velocità parallela al binario ( come si avrebbe per esempio nel caso di un razzo in moto orizzontale che espelle gas combusti), e inoltre le forze sono tutte verticali.

Bisogna ricorrere direttamente all'equazione vettoriale che esprime la prima equazione cardinale della Dinamica, e proiettarla sull'asse orizzontale, e siccome già so che la massa aggiunta ha velocità solo verticale non metto alcuna velocità della massa aggiunta :

$\vecF_e = (d\vecQ)/(dt) = M(t)* (d\vecV)/(dt) + (dM(t))/(dt)*\vecV$ ------(1)

( nel caso del razzo, dovrei scrivere l'ultimo termine così : $ (dM(t))/(dt)*(\vecV - \vecu) $, dove $\vecu$ sarebbe la velocità dei gas espulsi rispetto all'osservatore)

proiettando la (1) sull'asse orizzontale e tenendo conto di quanto detto in precedenza, si ha :

$0 = M(t)*(dV)/(dt) + (dM(t))/(dt)*V $ -------(2)

si ha che : $ M(t) = M_0 +m*t$ , quindi : $ (dM(t))/(dt) = m $ -----(3)

Quindi la (2) diventa :

$ (M_0 +m*t)*(dV)/(dt) + m*V = 0 $ ------(4)

ORa si devono separare le variabili e integrare tra l'istante iniziale $t_0$ in cui c'è il solo carrello e un istante generico $t$ ,

e si ottiene : $ln(V/V_0) = ln(M_0/(M_o + m*t))$ , da cui passando dai logaritmi ai numeri si ha :

$V/V_0 = M_0/(M_0 +m*t) $ --------(5)

Come vedi, la velocità del sistema diminuisce col tempo, la massa totale aumenta. Ma la risultante delle forze esterne non ha componente orizzontale, quindi la Qdm totale si conserva: $V*M = V_0*M_0$

[konan91]

Si in effetti il tuo metodo è molto più rigoroso, ti ringrazio per l'aiuto ciao!