Accelerazione trasversa (cinematica 2d)
Salve, ho un problema, suppongo molto semplice ma che non riesco a comprendere, riguardo al calcolo dell'accelerazione lungo la componente trasversa, nella descrizione di un moto lungo una curva bidimensionale.
Seguendo i passaggi del libro che sto adoperando (Fisica Vol 1 Mazzoldi, ...) mi e' chiaro come arrivare a definire il vettore accelerazione lungo la componente trasversa come $ [2(dr)/dt(dvarphi )/dt + r(dvarphi^2)/dt^2]vec(u) $, con $vec(u)$ avendo appunto direzione trasversa al vettore posizione $vec(r)$.
Nella riga subito dopo però il testo fa diventare l'espressione precedente la seguente: $ [1/rd/dt(r^2(dvarphi)/dt)]vec(u) $, e qui diventa meno chiaro.
Ho provato a ragionarci per un paio di giorni ma non riesco a capire quali relazioni possano esserci tra i vari membri dell'espressione, ne' sono sicuro di come manipolare le derivate.
Ringrazio in anticipo chiunque fosse in grado di spiegarmi il passaggio, sperando di essermi espresso chiaramente (in caso allego una foto del testo, se può essere utile).
Seguendo i passaggi del libro che sto adoperando (Fisica Vol 1 Mazzoldi, ...) mi e' chiaro come arrivare a definire il vettore accelerazione lungo la componente trasversa come $ [2(dr)/dt(dvarphi )/dt + r(dvarphi^2)/dt^2]vec(u) $, con $vec(u)$ avendo appunto direzione trasversa al vettore posizione $vec(r)$.
Nella riga subito dopo però il testo fa diventare l'espressione precedente la seguente: $ [1/rd/dt(r^2(dvarphi)/dt)]vec(u) $, e qui diventa meno chiaro.
Ho provato a ragionarci per un paio di giorni ma non riesco a capire quali relazioni possano esserci tra i vari membri dell'espressione, ne' sono sicuro di come manipolare le derivate.
Ringrazio in anticipo chiunque fosse in grado di spiegarmi il passaggio, sperando di essermi espresso chiaramente (in caso allego una foto del testo, se può essere utile).
Risposte
Devi fare la derivata di un prodotto. Tu sai che $1/r(d/(dt)(r^2(d\phi)/(dt)))=1/r((d\phi)/(dt)d/(dt)r^2+r^2(d/(dt)(d\phi)/(dt)))$
Ora sai che $d/(dt) r^2=2r (dr)/(dt)$ (derivata della funzione composta) quindi diventa
$1/r((d\phi)/(dt) 2r (dr)/(dt)+r^2(d^2 \phi)/(dt^2))=2(d\phi)/(dt) (dr)/(dt)+r(d^2 \phi)/(dt^2)$
Ora sai che $d/(dt) r^2=2r (dr)/(dt)$ (derivata della funzione composta) quindi diventa
$1/r((d\phi)/(dt) 2r (dr)/(dt)+r^2(d^2 \phi)/(dt^2))=2(d\phi)/(dt) (dr)/(dt)+r(d^2 \phi)/(dt^2)$
Grazie mille
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