Accelerazione di una particella in un campo di velocità noto
Salve!
Nello studio della fluidodinamica abbiamo analizzato il moto di una particella infinitesima e volevamo ricavarne la accelerazione, noto il campo di velocità in cui essa si trova (anche se credo questo sia più un qualcosa di cinematico che legato in particolare alla fluidodinamica).
Cominciamo col trovare la Velocità della particella:
Il libro dà la seguente espressione :
E dice che ha applicato la “chain rule”, ovvero la regola della derivazione a catena(?). Non capisco bene però cosa accade... anzitutto chiama questa espressione variazione di velocità dVp e non “velocità” della particella P. Come mai?
Ad ogni modo, Analizzando termine per termine mi torna che la sua “variazione Di velocità dVp” sarà legata a quanto varia il campo di velocità lungo una direzione moltiplicato la variazione della posizione della particella lungo Tale direzione (quindi i primi 3 termini) anche se non capisco rigorosamente da cosa deriva... idem per l’ultimo termine Di variazione temporale.
Ovviamente per concludere il discorso e trovare la accelerazione totale della particella, si procede nel dividere questa espressione per dt. (Forse quindi è per questo che ha trovato dVp? In modo tale che poi la accelerazione fosse immediatamente data dividendo per dt, senza svolgere alcuna derivata).
C’è qualcuno che potrebbe aiutarmi a capire meglio? Grazie!
Nello studio della fluidodinamica abbiamo analizzato il moto di una particella infinitesima e volevamo ricavarne la accelerazione, noto il campo di velocità in cui essa si trova (anche se credo questo sia più un qualcosa di cinematico che legato in particolare alla fluidodinamica).
Cominciamo col trovare la Velocità della particella:
Il libro dà la seguente espressione :
E dice che ha applicato la “chain rule”, ovvero la regola della derivazione a catena(?). Non capisco bene però cosa accade... anzitutto chiama questa espressione variazione di velocità dVp e non “velocità” della particella P. Come mai?
Ad ogni modo, Analizzando termine per termine mi torna che la sua “variazione Di velocità dVp” sarà legata a quanto varia il campo di velocità lungo una direzione moltiplicato la variazione della posizione della particella lungo Tale direzione (quindi i primi 3 termini) anche se non capisco rigorosamente da cosa deriva... idem per l’ultimo termine Di variazione temporale.
Ovviamente per concludere il discorso e trovare la accelerazione totale della particella, si procede nel dividere questa espressione per dt. (Forse quindi è per questo che ha trovato dVp? In modo tale che poi la accelerazione fosse immediatamente data dividendo per dt, senza svolgere alcuna derivata).
C’è qualcuno che potrebbe aiutarmi a capire meglio? Grazie!
Risposte
Salve AndrewX,
Ah me sembra appia banalmente applicato la definizione di accelerazione; quello che forse ti crea problemi sono le dipendenze funzionali delle varie variabili...
Nel senso che $\vec{V}_p$ penso sia la velocità della particella, che essendo immersa in un campo di velocità del fluido $\vec{V}$ sarà : $$ \vec{V}_p(t)=\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)$$ questo perché si immagina che la particella "segua" il campo di velocità del fluido in cui è immersa, quindi la sua velocità in un dato istante sarà uguale a quella del campo nel punto in cui si trova la particella a un certo istante $t$. Poi come vedi ho esplicitato le dipendenze funzionali quindi la funzione $\vec{V}_p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ mentre quella del campo di velocità sarà una funzione $\vec{V}:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ questo perché il campo di velocità del fluido dipende ovviamente dalle coordinate del punto di fluido in cui ci si trova, e ovviamente in generale anche dal tempo(tutto ciò indipendentemente dal fatto che ci sia o meno una particella che ci naviga dentro).
A questo punto sarai d'accordo con me che l'accelerazione della particella $p$ non sarà altro che $$\vec{a}_p(t)=\frac{d\vec{V}_p(t)}{dt}$$ cioè la derivata rispetto al tempo della velocità della particella, (nota che sono entrambe funzioni che dipendono solo dal tempo) quindi avremo che $$\vec{a}_p(t)=\frac{d\vec{V}_p(t)}{dt}=\frac{d\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{dt}$$
A questo punto l'ultima derivata si calcola (mannaggia a sti inglesi del cavolo) con la "chain rule" che chiamala come vuoi ma non è altro che la derivata di una funzione composta, o anche "derivata totale"...
Questo perché come vedi, il vettore $\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)$, dipende dal tempo(che è la variabile rispetto a cui lo vogliamo derivare) non solo direttamente, ma anche indirettamente. E semplicemente si ha che :
$$\frac{d\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{dt}=\frac{\partial\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{\partial x}\frac{dx_p(t)}{dt}+\frac{\partial\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{\partial y}\frac{dy_p(t)}{dt}+\frac{\partial\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{\partial z}\frac{dz_p(t)}{dt}+\frac{\partial\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{\partial t}$$
dove se per allegerire la notazione trascuriamo di scrivere le dipendenze funzionali diventa
$$\frac{d\vec{V}}{dt}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial x}\frac{dx_p}{dt}+\frac{\partial\vec{V}}{\partial y}\frac{dy_p}{dt}+\frac{\partial\vec{V}}{\partial z}\frac{dz_p}{dt}+\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}$$
Adesso se non ti tornano solo queste ultime due formule, allora è solo una lacuna di matematica da colmare al più presto... Se invece il tuo problema è che cerchi di capire la formula ragionando con gli spostamenti infinitesimi $dx$ eccetera, beh allora è un po' più complicato nel senso che forse ci puoi arrivare con un disegno, ma è più semplice in questo caso ragionare con le regole di derivazione...
Non ho risposto singolarmente alle singole domande che hai fatto nella speranza che il discorso generale ti chiarisca la situazione, se così non fosse scrivi cosa ancora non ti è chiaro
Ah me sembra appia banalmente applicato la definizione di accelerazione; quello che forse ti crea problemi sono le dipendenze funzionali delle varie variabili...
Nel senso che $\vec{V}_p$ penso sia la velocità della particella, che essendo immersa in un campo di velocità del fluido $\vec{V}$ sarà : $$ \vec{V}_p(t)=\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)$$ questo perché si immagina che la particella "segua" il campo di velocità del fluido in cui è immersa, quindi la sua velocità in un dato istante sarà uguale a quella del campo nel punto in cui si trova la particella a un certo istante $t$. Poi come vedi ho esplicitato le dipendenze funzionali quindi la funzione $\vec{V}_p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ mentre quella del campo di velocità sarà una funzione $\vec{V}:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ questo perché il campo di velocità del fluido dipende ovviamente dalle coordinate del punto di fluido in cui ci si trova, e ovviamente in generale anche dal tempo(tutto ciò indipendentemente dal fatto che ci sia o meno una particella che ci naviga dentro).
A questo punto sarai d'accordo con me che l'accelerazione della particella $p$ non sarà altro che $$\vec{a}_p(t)=\frac{d\vec{V}_p(t)}{dt}$$ cioè la derivata rispetto al tempo della velocità della particella, (nota che sono entrambe funzioni che dipendono solo dal tempo) quindi avremo che $$\vec{a}_p(t)=\frac{d\vec{V}_p(t)}{dt}=\frac{d\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{dt}$$
A questo punto l'ultima derivata si calcola (mannaggia a sti inglesi del cavolo) con la "chain rule" che chiamala come vuoi ma non è altro che la derivata di una funzione composta, o anche "derivata totale"...
Questo perché come vedi, il vettore $\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)$, dipende dal tempo(che è la variabile rispetto a cui lo vogliamo derivare) non solo direttamente, ma anche indirettamente. E semplicemente si ha che :
$$\frac{d\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{dt}=\frac{\partial\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{\partial x}\frac{dx_p(t)}{dt}+\frac{\partial\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{\partial y}\frac{dy_p(t)}{dt}+\frac{\partial\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{\partial z}\frac{dz_p(t)}{dt}+\frac{\partial\vec{V}(x_p(t),y_p(t),z_p(t),t)}{\partial t}$$
dove se per allegerire la notazione trascuriamo di scrivere le dipendenze funzionali diventa
$$\frac{d\vec{V}}{dt}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial x}\frac{dx_p}{dt}+\frac{\partial\vec{V}}{\partial y}\frac{dy_p}{dt}+\frac{\partial\vec{V}}{\partial z}\frac{dz_p}{dt}+\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}$$
Adesso se non ti tornano solo queste ultime due formule, allora è solo una lacuna di matematica da colmare al più presto... Se invece il tuo problema è che cerchi di capire la formula ragionando con gli spostamenti infinitesimi $dx$ eccetera, beh allora è un po' più complicato nel senso che forse ci puoi arrivare con un disegno, ma è più semplice in questo caso ragionare con le regole di derivazione...
Non ho risposto singolarmente alle singole domande che hai fatto nella speranza che il discorso generale ti chiarisca la situazione, se così non fosse scrivi cosa ancora non ti è chiaro
Hai proprio ragione! Quello che hai detto mi torna perfettamente.
L’unica cosa che mi lascia sempre un po’ perplesso è che il testo trova (come da foto seguente) prima questa cosa che lui chiama dVp cioè “variazione della velocità” e poi trova la accelerazione dividendo per dt... e volevo capire cosa lo “spinge” a separare le due cose... soprattuto su che “base” matematica lo fa. (ti posto la foto così se ti va puoi dare una rapida occhiata e darmi un tuo parere )
Poi.. visto che ci sono.. il testo definisce questo approccio euleriano e non lagrangiano. Solo che a me sembra sia lagrangiano visto che si segue una particella...
L’unica cosa che mi lascia sempre un po’ perplesso è che il testo trova (come da foto seguente) prima questa cosa che lui chiama dVp cioè “variazione della velocità” e poi trova la accelerazione dividendo per dt... e volevo capire cosa lo “spinge” a separare le due cose... soprattuto su che “base” matematica lo fa. (ti posto la foto così se ti va puoi dare una rapida occhiata e darmi un tuo parere
)
Poi.. visto che ci sono.. il testo definisce questo approccio euleriano e non lagrangiano. Solo che a me sembra sia lagrangiano visto che si segue una particella...
Mah senza entrare nella testa dell'autore, credo che il motivo principale sia "per tradizione", è usanza in fisica ricavare le leggi generali tramite "l'ipotesi di linearità"(forse la chiamo solo io così) cioè l'ipotesi che se prendo distanze, tempi ecc. abbastanza piccoli allora è tutto lineare, e quindi posso trattare i $dx$ , $dV$ , $dt$ e in generale tutte le $d$ come se fossero dei delta, ma volendo anche le $\partial$ come se fossero dei delta, con la condizione che siano variazioni in una determinata direzione(specificata dal divisore).
Poi però dopo aver diciamo impostato le equazioni con i "deltini", si fa finta che queste $d$ siano in realtà dei differenziali, e qui la "base" matematica di cui parlavi, c'è tutta un algebra dei differenziali(che suona difficile ma in realtà è l'algebretta delle elementari, salvo qualche eccezione) se ti interessa è un po' ostico da leggere ma trovi qualcosa a riguardo dei differenziali intesi in questo senso "algebrico" sullo Smirnov - "Corso di Matematica Superiore - Volume Primo". Ma in soldoni dice che puoi dividere, moltiplicare, sommare e sottrarre i differenziali delle cose "a cuor leggero", e la prima formula che ti ha stampato non è altro che (lo trovi sullo Smirnov) il differenziale di una funzione composta in più variabili(differenziale totale).
Inoltre se facendo i tuoi conticini con i differenziali, ti compaiono delle robe che sembrano delle derivate secondo il formalismo di Liebniz allora guarda un po' quelle sono davvero delle derivate... è un approccio un po' arrozzato, ma alla fin fine "è tradizione"... Poi anche lo Smirnov non entra nel vero dettaglio del "perché si può fare", a quello risponde una "branca" dell'analisi che si chiama "Analisi non-Standard" e giustifica fra le altre cose le operazioni con i differenziali...
Come hai visto però si può arrivare al risultato anche facendo le derivate, in fisica troverai tutti e due gli approcci, io preferisco quello senza i differenziali, ma è questione di gusti... in alcune situazioni è più semplice un modo in altre un altro ...
Poi però dopo aver diciamo impostato le equazioni con i "deltini", si fa finta che queste $d$ siano in realtà dei differenziali, e qui la "base" matematica di cui parlavi, c'è tutta un algebra dei differenziali(che suona difficile ma in realtà è l'algebretta delle elementari, salvo qualche eccezione) se ti interessa è un po' ostico da leggere ma trovi qualcosa a riguardo dei differenziali intesi in questo senso "algebrico" sullo Smirnov - "Corso di Matematica Superiore - Volume Primo". Ma in soldoni dice che puoi dividere, moltiplicare, sommare e sottrarre i differenziali delle cose "a cuor leggero", e la prima formula che ti ha stampato non è altro che (lo trovi sullo Smirnov) il differenziale di una funzione composta in più variabili(differenziale totale).
Inoltre se facendo i tuoi conticini con i differenziali, ti compaiono delle robe che sembrano delle derivate secondo il formalismo di Liebniz allora guarda un po' quelle sono davvero delle derivate... è un approccio un po' arrozzato, ma alla fin fine "è tradizione"... Poi anche lo Smirnov non entra nel vero dettaglio del "perché si può fare", a quello risponde una "branca" dell'analisi che si chiama "Analisi non-Standard" e giustifica fra le altre cose le operazioni con i differenziali...
Come hai visto però si può arrivare al risultato anche facendo le derivate, in fisica troverai tutti e due gli approcci, io preferisco quello senza i differenziali, ma è questione di gusti... in alcune situazioni è più semplice un modo in altre un altro ...
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