Accelerazione di un tappo di bottiglia.
Salve a tutti, vi propongo un problema in cui trovo un risultato che mi turba (un'accelerazione decisamente elevata). Ecco il problema:
Avete visto un video su internet in cui una persona schiaccia tra le mani una bottiglietta di plastica da mezzo litro, facilmente comprimibile, contenente solo aria. Dopo averlo leggermente svitato, il tappo salta e vola lontano. Volete calcolare l’accelerazione iniziale con cui parte il tappo, stimate ad occhio che abbiano ridotto il volume della bottiglietta di 1/3,e che il tappo sia di dimensioni standard (trovate su internet il diametro d= 32 mm e la massa m= 2 g). Fate il calcolo nel caso la compressione subita dal gas sia isoterma.
Allora, le prime due considerazioni che ho fatto è che dentro la bottiglietta ci sia la pressione atmosferica \(\displaystyle P_{atm} \) e che l'aria sia un gas ideale per cui valga la legge dei gas perfetti.
Dunque indicata con (1) la situazione prima della compressione e (2) la situazione un'istante prima che il tappo salti ho che:
\(\displaystyle P_1V_1 = nRT \) e \(\displaystyle P_2V_2 = nRT \). Ma \(\displaystyle P_1 = P_{atm} \) , e \(\displaystyle V_2 = \frac{2}{3}V_1 \). Uguagliando le due e sostituendo ottengo: \(\displaystyle P_2 =\frac{3}{2}P_{atm} \). Ma allora il tappo subisce sia la pressione esterna che la pressione interna, e dunque la pressione risultante che spinge fuori il tappo è di\(\displaystyle \frac{1}{2}P_{atm} \).
D'altra parte so che \(\displaystyle F = PS = m\cdot a \implies a = \frac{PS}{m} = \frac{\frac{1}{2}P_{atm}\cdot\pi\cdot\frac{d^2}{4}}{m} = \frac{P_{atm}\cdot\pi\cdot d^{2}}{8m} = 20372,6 m/s^2\). Ho sbagliato qualcosa? Grazie in anticipo per l'aiuto! Un saluto a tutti.
Avete visto un video su internet in cui una persona schiaccia tra le mani una bottiglietta di plastica da mezzo litro, facilmente comprimibile, contenente solo aria. Dopo averlo leggermente svitato, il tappo salta e vola lontano. Volete calcolare l’accelerazione iniziale con cui parte il tappo, stimate ad occhio che abbiano ridotto il volume della bottiglietta di 1/3,e che il tappo sia di dimensioni standard (trovate su internet il diametro d= 32 mm e la massa m= 2 g). Fate il calcolo nel caso la compressione subita dal gas sia isoterma.
Allora, le prime due considerazioni che ho fatto è che dentro la bottiglietta ci sia la pressione atmosferica \(\displaystyle P_{atm} \) e che l'aria sia un gas ideale per cui valga la legge dei gas perfetti.
Dunque indicata con (1) la situazione prima della compressione e (2) la situazione un'istante prima che il tappo salti ho che:
\(\displaystyle P_1V_1 = nRT \) e \(\displaystyle P_2V_2 = nRT \). Ma \(\displaystyle P_1 = P_{atm} \) , e \(\displaystyle V_2 = \frac{2}{3}V_1 \). Uguagliando le due e sostituendo ottengo: \(\displaystyle P_2 =\frac{3}{2}P_{atm} \). Ma allora il tappo subisce sia la pressione esterna che la pressione interna, e dunque la pressione risultante che spinge fuori il tappo è di\(\displaystyle \frac{1}{2}P_{atm} \).
D'altra parte so che \(\displaystyle F = PS = m\cdot a \implies a = \frac{PS}{m} = \frac{\frac{1}{2}P_{atm}\cdot\pi\cdot\frac{d^2}{4}}{m} = \frac{P_{atm}\cdot\pi\cdot d^{2}}{8m} = 20372,6 m/s^2\). Ho sbagliato qualcosa? Grazie in anticipo per l'aiuto! Un saluto a tutti.
Risposte
Non mi pare ci siano errori grandissimi ma una serie di cose da osservare, alcune poco influenti altre molto di più.
1) Più che isoterma la compressione è adiabatica (è veloce quindi l'aria non ha tempo di scambiare calore)
2) Una massa per il tappo di soli 2 g mi pare poco
Entrambe queste cose comunque non sono sostanziali, la cosa più importante è che calcolare una accelerazione iniziale non è molto utile perchè quella forza è impulsiva, agisce cioé per pochissimo tempo, e quindi quell'accelerazione pure agisce per pochissimo tempo, poi il tappo procederà per inerzia, interagirà con l'aria circostante e risentirà della gravità.
Per avere quanto meno una idea del corretto ordine di grandezza della velocità iniziale del tappo dopo "l'esplosione" è molto meglio calcolare il lavoro che occorre fare per comprimere l'aria nella bottiglia dalla pressione atmosferica alla pressione che avrebbe se compressa in modo adiabatico fino a occupare quella certa frazione di volume.
Poi si può assumere, sempre in prima approssimazione che tale lavoro si trasferisca in energia cinetica del tappo e si arriva così a calcolare una velocità iniziale del tappo stesso che ha un minimo di senso.
In realtà non è vero che tutto il lavoro di compressione si trasferisce in energia cinetica del tappo, parte infatti è disperso ma questo è un ottimo metodo per avere come dicevo un ordine di grandezza corretto.
Ora non riesco a fare questi conti (non difficili in realtà), prova a vedere se riesci tu.
1) Più che isoterma la compressione è adiabatica (è veloce quindi l'aria non ha tempo di scambiare calore)
2) Una massa per il tappo di soli 2 g mi pare poco
Entrambe queste cose comunque non sono sostanziali, la cosa più importante è che calcolare una accelerazione iniziale non è molto utile perchè quella forza è impulsiva, agisce cioé per pochissimo tempo, e quindi quell'accelerazione pure agisce per pochissimo tempo, poi il tappo procederà per inerzia, interagirà con l'aria circostante e risentirà della gravità.
Per avere quanto meno una idea del corretto ordine di grandezza della velocità iniziale del tappo dopo "l'esplosione" è molto meglio calcolare il lavoro che occorre fare per comprimere l'aria nella bottiglia dalla pressione atmosferica alla pressione che avrebbe se compressa in modo adiabatico fino a occupare quella certa frazione di volume.
Poi si può assumere, sempre in prima approssimazione che tale lavoro si trasferisca in energia cinetica del tappo e si arriva così a calcolare una velocità iniziale del tappo stesso che ha un minimo di senso.
In realtà non è vero che tutto il lavoro di compressione si trasferisce in energia cinetica del tappo, parte infatti è disperso ma questo è un ottimo metodo per avere come dicevo un ordine di grandezza corretto.
Ora non riesco a fare questi conti (non difficili in realtà), prova a vedere se riesci tu.
Grazie mille! Proverò sicuramente, mi hai dato degli spunti molto interessanti. Buona serata.
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