Accelerazione centripeta e relazione $v=omegar$
Ciao 
Vorrei poter chiarire un dubbio sortomi durante lo studio e riguardante l'accelerazione centripeta.
So che $a_c=omega^2R$, nel moto circolare uniforme.
Tuttavia nella notazione vettoriale: $\veca=\vecalphaxx\vecr+\vecomegaxx\vecv$ il libro fa un ragionamento che non comprendo,ossia scrive: $|\vecomegaxx\vecv|=omega*omegav=omega^2v$ da cui il dubbio: ma la relazione $v=omegar$ istante per istante è valida anche in un moto circolare qualsiasi (cioè anche non uniforme)?
Perché quella relazione mi è stata ricavata solo per l'uniforme, però vedo usarla anche nel caso generale. Nel generale basta usare per omega il valore di omega istantaneo in pratica? E' quindi valida,come relazione, istante per istante, solo nel moto uniforme è valida in modo "totale" diciamo.
PS: dubbio avvalorato da un altro procedimento dove dice, per il moto circolare uniformemente accelerato partendo da $v=\omegar$ e derivando per t si perviene alla: $(dv)/(dt)=r(domega)/(dt)=r\alpha$. Anche qui sfrutta $v=omegar$, insomma mi pare una relazione più generale di come è stata ricavata solo per l'uniforme o sbaglio?
Vorrei poter chiarire un dubbio sortomi durante lo studio e riguardante l'accelerazione centripeta.
So che $a_c=omega^2R$, nel moto circolare uniforme.
Tuttavia nella notazione vettoriale: $\veca=\vecalphaxx\vecr+\vecomegaxx\vecv$ il libro fa un ragionamento che non comprendo,ossia scrive: $|\vecomegaxx\vecv|=omega*omegav=omega^2v$ da cui il dubbio: ma la relazione $v=omegar$ istante per istante è valida anche in un moto circolare qualsiasi (cioè anche non uniforme)?
Perché quella relazione mi è stata ricavata solo per l'uniforme, però vedo usarla anche nel caso generale. Nel generale basta usare per omega il valore di omega istantaneo in pratica? E' quindi valida,come relazione, istante per istante, solo nel moto uniforme è valida in modo "totale" diciamo.
PS: dubbio avvalorato da un altro procedimento dove dice, per il moto circolare uniformemente accelerato partendo da $v=\omegar$ e derivando per t si perviene alla: $(dv)/(dt)=r(domega)/(dt)=r\alpha$. Anche qui sfrutta $v=omegar$, insomma mi pare una relazione più generale di come è stata ricavata solo per l'uniforme o sbaglio?
Risposte
Quella relazione vale sempre ma solo nel caso che la velocità dell'origine del sistema mobile sia nulla, la relazione generale che fornisce la velocità di un punto della terna mobile infatti deriva sempre da Poisson:
$vec v=vec v_0+ vec omega \times vec r$
dove $vec r$ è il vettore posizione nella terna mobile.
Il moto quindi non deve per forza essere circolare uniforme.
$vec v=vec v_0+ vec omega \times vec r$
dove $vec r$ è il vettore posizione nella terna mobile.
Il moto quindi non deve per forza essere circolare uniforme.
C'è una cosa che mi sfugge, nel senso che io stavo parlando della descrizione del moto del punto materiale avente moto circolare, però non capisco perché parli di sistema mobile, in quanto in teoria il sistema non dovrebbe essere fisso e il punto si muove?
Non capisco quindi bene il legame con Poisson, dato che non ho due sistemi diversi, ma un sistema fissoe il punto che gira attorno all'origine.
Non capisco quindi bene il legame con Poisson, dato che non ho due sistemi diversi, ma un sistema fissoe il punto che gira attorno all'origine.
"massimino's":
Ciao
ma la relazione $ v=omegar $ istante per istante è valida anche in un moto circolare qualsiasi (cioè anche non uniforme)?
claro que sì
per quanto riguarda l'accelerazione , in un moto circolare qualsiasi è la somma di due componenti, una centripeta e una tangenziale
la centripeta, di modulo $v^2/r=omega^2r$ è quella che si occupa di curvare la traiettoria, la tangenziale modifica il modulo della velocità e ha modulo $(dv)/(dt)=r(domega)/(dt)=alphar$
"l'abatefarina":
[quote="massimino's"]Ciao
ma la relazione $ v=omegar $ istante per istante è valida anche in un moto circolare qualsiasi (cioè anche non uniforme)?
claro que sì
per quanto riguarda l'accelerazione , in un moto circolare qualsiasi è la somma di due componenti, una centripeta e una tangenziale
la centripeta, di modulo $v^2/r=omega^2r$ è quella che si occupa di curvare la traiettoria, la tangenziale modifica il modulo della velocità e ha modulo $(dv)/(dt)=r(domega)/(dt)=alphar$[/quote]
Sì mi torna, solo che era stata ricavata nel caso uniforme e non avevo capito subito fosse generale.
Grazie mille.
Unico dubbio rimasto direi quindi che è l'intervento di Faussone, non ho ben capito poisson cosa c'entri dato non ruotava la terna di riferimento
la formula di Poisson c'entra ogni volta che bisogna fare la derivata di un vettore che ruota
il vettore velocità $vecv$ ruota con velocità angolare $omega$ e con questa formula determini l'accelerazione centripeta $veca_c=-omega^2r hat(r) $
il vettore velocità $vecv$ ruota con velocità angolare $omega$ e con questa formula determini l'accelerazione centripeta $veca_c=-omega^2r hat(r) $
Grazie
Il vettore velocità angolare si attribuisce a un sistema di riferimento mobile, altrimenti non ha senso la sua definizione.
Quindi se si parla di un punto materiale che percorre un moto circolare per inquadrarlo in ottica generale immagini un punto $P$, solidale a un sistema di riferimento rotante a cui si attribuisce $vec omega$ e che quindi vede il punto fermo, poi la derivata del punto nel tempo si calcola con Poisson.
Quindi se si parla di un punto materiale che percorre un moto circolare per inquadrarlo in ottica generale immagini un punto $P$, solidale a un sistema di riferimento rotante a cui si attribuisce $vec omega$ e che quindi vede il punto fermo, poi la derivata del punto nel tempo si calcola con Poisson.
a dire il vero su alcuni libri di fisica si definisce il vettore velocità angolare come quel vettore di modulo $omega$, direzione coincidente con quella dell'asse di rotazione e verso tale da vedere ruotare il punto in senso antiorario ; ciò permette di scrivere
$veca_c=vecomega $ x $ vecv$
$veca_c=vecomega $ x $ vecv$
"l'abatefarina":
a dire il vero su alcuni libri di fisica si definisce il vettore velocità angolare come quel vettore di modulo $omega$, direzione coincidente con quella dell'asse di rotazione e verso tale da vedere ruotare il punto in senso antiorario ; ciò permette di scrivere
$veca_c=vecomega $ x $ vecv$
Sul Mazzoldi mi pare di averlo interpretato così, come dici tu, non avevo pensato al metodo alla faussone. Devo rifletterci, perché ovviamente sarà la stessa cosa ma a prima vista non riesco bene a unificarli come concetti.
PS: ok sì forse ho capito.
@abatefarina
Quella definizione non va bene in generale, certo funziona nei casi semplici, ma non regge per un moto generico. Per esempio se il moto non fosse perfettamente circolare e piano che senso ha?
Come si fa a definire un $vec omega$ istantaneo? Mica posso definire un piano se $vec omega$ varia sempre non solo in modulo ma anche in direzione e verso. La relazione di Poisson vale sempre istantaneamente, non solo per un sistema (e quindi per i punti solidali ad esso) in moto circolare.
In ottica di meccanica seria è meglio iniziare a pensare in generale secondo me (io infatti quando passai da Fisica a Meccanica razionale ricordo mi sono incartato tantissimo per un bel poco, proprio perché non capivo bene il significato di $vec omega$ tendendo a vederlo solo per moti circolari appunto...)
Quella definizione non va bene in generale, certo funziona nei casi semplici, ma non regge per un moto generico. Per esempio se il moto non fosse perfettamente circolare e piano che senso ha?
Come si fa a definire un $vec omega$ istantaneo? Mica posso definire un piano se $vec omega$ varia sempre non solo in modulo ma anche in direzione e verso. La relazione di Poisson vale sempre istantaneamente, non solo per un sistema (e quindi per i punti solidali ad esso) in moto circolare.
In ottica di meccanica seria è meglio iniziare a pensare in generale secondo me (io infatti quando passai da Fisica a Meccanica razionale ricordo mi sono incartato tantissimo per un bel poco, proprio perché non capivo bene il significato di $vec omega$ tendendo a vederlo solo per moti circolari appunto...)
Sì credo di essere ancorato a quella visione, è molto interessante il tuo spunto.
@faussone
sì,sì, viene introdotto nel paragrafo del moto circolare , per dare un'espressione più compatta alla formula di Poisson
in effetti in questo modo hai tutte le informazioni in un colpo solo su $veca_c$
sì,sì, viene introdotto nel paragrafo del moto circolare , per dare un'espressione più compatta alla formula di Poisson
in effetti in questo modo hai tutte le informazioni in un colpo solo su $veca_c$
Sì è molto potente perché tutti i mille dubbi si risolvono passando a un sistema consono in moto con il punto e poi lo riferisci a quello fisso. Non ci avevo minimamente pensato e giustifica formalmente quella formula che il libro introduce un po' come forzatura e abuso notazionale.
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