4-vettori di Lorentz
Ciao a tutti, spero sia la sezione giusta.
È vera la seguente identità tra 4-vettori di Lorentz? Se sì, potete dimostrarla?
$ (a^mu b_mu)(c^nud_nu)=(a^muc_mu)(b^nud_nu) $
Se invece non è vera per $a,b,c,d$ diversi, è forse vera nei casi $a=c$ oppure $a=c, b=d$?
È vera la seguente identità tra 4-vettori di Lorentz? Se sì, potete dimostrarla?
$ (a^mu b_mu)(c^nud_nu)=(a^muc_mu)(b^nud_nu) $
Se invece non è vera per $a,b,c,d$ diversi, è forse vera nei casi $a=c$ oppure $a=c, b=d$?
Risposte
No, è chiaramente falsa per \(a,b,c,d\) diversi, per \(a=c\) e senza costraint su \(b,d\), e per \(b=d\) senza constraint su \(a,c\).
u
Per semplicità, assumi lo ST piatto della RR e la metrica di Minkowski : $ \eta_(munu) = diag ( 1,-1,-1,-1)$
Allora hai [nota]vedi : Landau e Lifshitz - Classical theory of fields, cap I , par. 6 : four vectors . Il libro si trova in rete. O cerca qualunque testo di calcolo tensoriale[/nota]
$(a^mu b_mu) = a^0b_0 + a^1b_1 + a^2b_2 +a^3b_3 $
$(c^nud_nu) =c^0d_0 + c^1d_1 + c^2d_2 +c^3d_3 $
il prodotto $ (a^mu b_mu)(c^nud_nu)$ è uguale la prodotto dei secondi membri : fa’ questo prodotto.
Adesso ripeti la stessa cosa per $(a^muc_mu)(b^nud_nu) $.
I risultati non sono uguali.
Del resto ( ma ci vorrebbe una verifica che non ho fatto) credo che anche per i Tri-vettori nello spazio euclideo ordinario sussista differenza tra il numero $(veca*vecb)(vecc*vecd)$ , e il numero che si avrebbe scambiando $vecb$ con $vecc$.
Per inciso, ti faccio anche notare che in generale l’uguaglianza : $ g_(munu) a^\mub^\nu = g_(munu)a^\muc^\nu$ può sussistere solo se $b^\nu = c^\nu$ per tutti gli indici. Sembra una cosa ovvia, ma non lo è. Nel calcolo tensoriale non è definita la divisione tra tensori, ma c’è una “regola del quoziente “ che la sostituisce.
"Davide90":
È vera la seguente identità tra 4-vettori di Lorentz? Se sì, potete dimostrarla?
$ (a^mu b_mu)(c^nud_nu)=(a^muc_mu)(b^nud_nu) $
Per semplicità, assumi lo ST piatto della RR e la metrica di Minkowski : $ \eta_(munu) = diag ( 1,-1,-1,-1)$
Allora hai [nota]vedi : Landau e Lifshitz - Classical theory of fields, cap I , par. 6 : four vectors . Il libro si trova in rete. O cerca qualunque testo di calcolo tensoriale[/nota]
$(a^mu b_mu) = a^0b_0 + a^1b_1 + a^2b_2 +a^3b_3 $
$(c^nud_nu) =c^0d_0 + c^1d_1 + c^2d_2 +c^3d_3 $
il prodotto $ (a^mu b_mu)(c^nud_nu)$ è uguale la prodotto dei secondi membri : fa’ questo prodotto.
Adesso ripeti la stessa cosa per $(a^muc_mu)(b^nud_nu) $.
I risultati non sono uguali.
Del resto ( ma ci vorrebbe una verifica che non ho fatto) credo che anche per i Tri-vettori nello spazio euclideo ordinario sussista differenza tra il numero $(veca*vecb)(vecc*vecd)$ , e il numero che si avrebbe scambiando $vecb$ con $vecc$.
Per inciso, ti faccio anche notare che in generale l’uguaglianza : $ g_(munu) a^\mub^\nu = g_(munu)a^\muc^\nu$ può sussistere solo se $b^\nu = c^\nu$ per tutti gli indici. Sembra una cosa ovvia, ma non lo è. Nel calcolo tensoriale non è definita la divisione tra tensori, ma c’è una “regola del quoziente “ che la sostituisce.
Ok, vi ringrazio per la vostra risposta e buona giornata.
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