2 domande (decadimento pione)
ciao a tutti, ho 2 dubbi che non riesco a risolvere.
1) decadimento del pione carico: un pione carico decade in muone + neutrino, determinare il momento finale del muone. (4 MeV).
Allora, io faccio così: assumendo a riposo il pione, avrò che i 4-momenti iniziali e finali sono
\(\ p_i = ( m_{\pi}, 0) \)
\(\ p_f = ( E_{\mu} + |p_{\nu}|,0 ) \) (Neutrino a massa nulla)
NB: tutte le quantità che metto in modulo sono da intendersi 3-vettori.
a questo punto eguaglio la norma del 4-vettore: \( p_i^2 = p_f^2 \). Usando il fatto che \( |p_{\mu}| = |p_{\nu}| \), e esplicitando \( E_{\mu} = \sqrt {m_{\mu}^2 + |p_{\mu}^2|} \), mi esce un'equazione in un'unica incognita, appunto \( |p_{\mu}| \). Se non necessario evito di scrivere i conti, comunque questo è ciò che mi esce:
\( |p_{\mu}|^2 = \frac{m_{\pi}^4 + m_{\mu}^4 - 2m_{\pi}^2 m_{\mu}^2} {4m_{\pi}^4} \)
che mi dà \( |p|=31 \) MeV circa, invece di 4. E' sbagliata l'impostazione, o probabilmente sono i conti? nel caso vi posto quelli.
2) decadimento del pione neutro: il pione neutro decade principalmente in 2 fotoni. La mia domanda è: è un decadimento di tipo debole o elettromagnetico? su wikipedia ho letto che è di tipo elettromagnetico, ma a me non torna... non dovrebbe essere mediato da un bosone Z? altrimenti nel diagramma di Feynman avrei un vertice a 3 fotoni.. ma mica non è possibile?
Grazie
1) decadimento del pione carico: un pione carico decade in muone + neutrino, determinare il momento finale del muone. (4 MeV).
Allora, io faccio così: assumendo a riposo il pione, avrò che i 4-momenti iniziali e finali sono
\(\ p_i = ( m_{\pi}, 0) \)
\(\ p_f = ( E_{\mu} + |p_{\nu}|,0 ) \) (Neutrino a massa nulla)
NB: tutte le quantità che metto in modulo sono da intendersi 3-vettori.
a questo punto eguaglio la norma del 4-vettore: \( p_i^2 = p_f^2 \). Usando il fatto che \( |p_{\mu}| = |p_{\nu}| \), e esplicitando \( E_{\mu} = \sqrt {m_{\mu}^2 + |p_{\mu}^2|} \), mi esce un'equazione in un'unica incognita, appunto \( |p_{\mu}| \). Se non necessario evito di scrivere i conti, comunque questo è ciò che mi esce:
\( |p_{\mu}|^2 = \frac{m_{\pi}^4 + m_{\mu}^4 - 2m_{\pi}^2 m_{\mu}^2} {4m_{\pi}^4} \)
che mi dà \( |p|=31 \) MeV circa, invece di 4. E' sbagliata l'impostazione, o probabilmente sono i conti? nel caso vi posto quelli.
2) decadimento del pione neutro: il pione neutro decade principalmente in 2 fotoni. La mia domanda è: è un decadimento di tipo debole o elettromagnetico? su wikipedia ho letto che è di tipo elettromagnetico, ma a me non torna... non dovrebbe essere mediato da un bosone Z? altrimenti nel diagramma di Feynman avrei un vertice a 3 fotoni.. ma mica non è possibile?
Grazie
Risposte
1) Il tuo risultato è corretto a parte l'esponente a denominatore che è 2 e non 4, basta guardare le dimensioni. Però anche così non tornano i 4 MeV.....non saprei....ma è preso da un libro?
Stai solo attento a conservare la carica elettrica e il numero leptonico. Hai che
$\pi^+ \rightarrow \bar{\mu} + \nu_\mu$
$\pi^{-} \rightarrow \mu + \bar{\nu}_\mu$
2) Il $\pi^0$ è un caso molto particolare. Il decadimento è di tipo EM e a 1-loop, il diagramma di Feynman è tipo questo. Tieni però presente che un diagramma del genere dovrebbe essere nullo date le simmetrie della Lagrangiana della QED. Il punto è che non tutte le simmetrie della Lagrangiana sopravvivono alla quantizzazione, alcune possono sviluppare un'anomalia. In questo caso si tratta dell'anomalia chirale che, in fine dei conti, è il motivo profondo per cui il $\pi^0$ può decadere in due fotoni.
Stai solo attento a conservare la carica elettrica e il numero leptonico. Hai che
$\pi^+ \rightarrow \bar{\mu} + \nu_\mu$
$\pi^{-} \rightarrow \mu + \bar{\nu}_\mu$
2) Il $\pi^0$ è un caso molto particolare. Il decadimento è di tipo EM e a 1-loop, il diagramma di Feynman è tipo questo. Tieni però presente che un diagramma del genere dovrebbe essere nullo date le simmetrie della Lagrangiana della QED. Il punto è che non tutte le simmetrie della Lagrangiana sopravvivono alla quantizzazione, alcune possono sviluppare un'anomalia. In questo caso si tratta dell'anomalia chirale che, in fine dei conti, è il motivo profondo per cui il $\pi^0$ può decadere in due fotoni.
ciao, innanzitutto grazie mille per la risposta. dunque:
1) sisi al denominatore avevo sbagliato a scrivere, l'esponente è 2. il risultato l'ho preso da un libro, per la precisione il Perkins "Introduction to high energy physics"... dice che il momento del muone è fissato ed è 4 MeV, e tra l'altro ho trovato lo stesso risultato anche in alcune slide su internet:
http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=pione%20decadimento%20in%202%20fotoni&source=web&cd=19&ved=0CFEQFjAIOAo&url=http%3A%2F%2Fwww.astro.unifi.it%2F~ldz%2FDidattica_files%2FAAE_amato03.pdf&ei=Qsh2T8jGEOei4gSy1LHhDg&usg=AFQjCNFBTUE_mdzAvisPphyFkBecLGBjOQ
slide 8, lì dà l'energia che è 0.1 Gev, se calcoli il momento viene appunto sui 4 Mev..
2) ok, grazie, mi serviva proprio il diagramma per capire. purtroppo non riesco a comprendere bene le ultime righe della tua risposta, in quanto le mie conoscenze di fisica teorica non sono ancora così approfondite!
1) sisi al denominatore avevo sbagliato a scrivere, l'esponente è 2. il risultato l'ho preso da un libro, per la precisione il Perkins "Introduction to high energy physics"... dice che il momento del muone è fissato ed è 4 MeV, e tra l'altro ho trovato lo stesso risultato anche in alcune slide su internet:
http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=pione%20decadimento%20in%202%20fotoni&source=web&cd=19&ved=0CFEQFjAIOAo&url=http%3A%2F%2Fwww.astro.unifi.it%2F~ldz%2FDidattica_files%2FAAE_amato03.pdf&ei=Qsh2T8jGEOei4gSy1LHhDg&usg=AFQjCNFBTUE_mdzAvisPphyFkBecLGBjOQ
slide 8, lì dà l'energia che è 0.1 Gev, se calcoli il momento viene appunto sui 4 Mev..
2) ok, grazie, mi serviva proprio il diagramma per capire. purtroppo non riesco a comprendere bene le ultime righe della tua risposta, in quanto le mie conoscenze di fisica teorica non sono ancora così approfondite!
Ricapitoliamo un attimo. Risolvendo il problema cinematico come da te impostato si ottiene
\( \displaystyle p_\mu = |\vec{p}_\mu| = \frac{m_\pi^2-m_\mu^2}{2 m_\pi} = 29.8 MeV\)
\( \displaystyle E_\mu = \sqrt{p_\mu^2 + m_\mu^2} = \frac{m_\pi^2+m_\mu^2}{2 m_\pi} = 109.8 MeV\)
per
\( \displaystyle m_\pi = 139.6 MeV\)
\( \displaystyle m_\mu = 105.7 MeV\)
se la mia calcolatrice non mente. Quindi il momento, nel senso di quantità di moto relativistica, vale $29.8 MeV$. Il valore che riporta il tuo libro viene se si calcola l'energia cinetica relativistica, cioè la differenza tra energia totale e energia a riposo, che vale
\(K_\mu = E_\mu - m_\mu = 4.1 MeV\)
Ti torna?
2) E mettici anche che questo è un argomento molto avanzato di teoria dei campi. Ma infatti te l'ho riportato giusto come curiosità a conferma del fatto che è naturale essere perplessi...
\( \displaystyle p_\mu = |\vec{p}_\mu| = \frac{m_\pi^2-m_\mu^2}{2 m_\pi} = 29.8 MeV\)
\( \displaystyle E_\mu = \sqrt{p_\mu^2 + m_\mu^2} = \frac{m_\pi^2+m_\mu^2}{2 m_\pi} = 109.8 MeV\)
per
\( \displaystyle m_\pi = 139.6 MeV\)
\( \displaystyle m_\mu = 105.7 MeV\)
se la mia calcolatrice non mente. Quindi il momento, nel senso di quantità di moto relativistica, vale $29.8 MeV$. Il valore che riporta il tuo libro viene se si calcola l'energia cinetica relativistica, cioè la differenza tra energia totale e energia a riposo, che vale
\(K_\mu = E_\mu - m_\mu = 4.1 MeV\)
Ti torna?
2) E mettici anche che questo è un argomento molto avanzato di teoria dei campi. Ma infatti te l'ho riportato giusto come curiosità a conferma del fatto che è naturale essere perplessi...
hai ragione!
Parla di energia cinetica, non di momento come avevo erroneamente considerato. allora i conti eran giusti. grazie!
Parla di energia cinetica, non di momento come avevo erroneamente considerato. allora i conti eran giusti. grazie!
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