Variazione del versore normale a una curva di livello di una funzione classe C infinito

[Gfackerman]

Buonasera a tutti.
Ho una domanda su analisi/geometria differenziale che mi serve per alcune questioni sulla mia tesi. La esprimerò in un modo abbastanza rozzo.
Prendiamo una funzione di classe C4 per esempio, fate anche C infinito se volete.
Anzi facciamo C infinito con derivate tutte limitate su Rn.
Consideriamo una qualsiasi curva di livello, supponendo che il gradiente non si annulla mai.
Io avrei problemi se il modulo del gradiente diventa molto piccolo.
Cosa succede al versore tangente alla curva di livello? Può variare molto localmente (cioè la curva di livello può oscillare molto?)? In linea di logica direi che se la funzione fosse solo differenziabile questo sarebbe possibile.
Ma se la funzione è C infinito e derivate limitate può accadere ugualmente?
Scusate la poca formalità.

[apatriarca]

Considera per esempio la funzione \(f(x, y) = \epsilon\,(x + y)\) su \(\mathbb R^2\) per un qualche \(\epsilon \in \mathbb R\) piccolo a piacere. È una funzione di classe \(C^\infty\) e le sue derivate sono tutte limitate. Il gradiente è costante, mai zero, ma molto piccolo. Il gradiente lungo una curva di livello può certamente variare molto. Considera \(f(x, y) = e^y\,x^3.\) Considera la curva di livello per \(f(x,y) = 0.\) Il gradiente lungo questa curva è uguale a \(\nabla f(0, y) = (0, e^y)\) che può variare molto in modulo.

[Gfackerman]

Io intendevo una funzione limitata con derivate tutte limitate in Rn.
Quello che chiedevo è se le curve di livello possono oscillare molto, ossia se il versore normale a queste può variare molto

[apatriarca]

Credo sia necessario cercare di essere più precisi su cosa stai cercando di ottenere.

[apatriarca]

Da quello che ho capito, tu hai una funzione \(f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R\) di classe \(C^\infty\) per cui sia la funzione che tutte le sue derivate siano limitate. Sei a questo punto interessato a comprendere il comportamento del versore normale. Versore che vive ovviamente in \(R^{n+1}\). Data la funzione \(F(y, \mathbf{x}) = y - f(\mathbf{x}),\) il versore normale sarà ottenuto normalizzando il gradiente \(\nabla F = (1, - \nabla f)\). Siccome si ha chiaramente che \(\lVert \nabla f \rVert < R\) per un qualche \(R \in \mathbb R,\) allora hai che i versori normali alla tua funzione saranno tutti contenuti in un "cono". Non credo ci sia qualcosa che si possa aggiungere nel caso in cui ci limitiamo a punti con lo stesso valore della funzione. Fammi sapere se risponde alla tua domanda o se ho frainteso di nuovo la tua richiesta.