Un esercizio sui maximum principles.
Buonasera a tutti, gentili.
Volevo solo chiedervi la correttezza del mio ragionamento su un problema.
"sia B1 la palla di centro 0 e raggio 1 in Rn e sua u una funzione in C2(B1) (classe C2 bordo compreso) che verifichi su B1 e che non sia negativa
/Delta u =cu
per c continua bordo compreso.
Se u > 0 sul bordo può fare 0 all'interno?"
Io personalmente ho detto di no.
Prendo la funzione"v= - u" che soddisfa "/Delta v =cv" dove "L v = /Delta v - cv=0" è un operatore ellittico quindi se v (quindi u) facesse 0 in un certo punto interno x_0 questo sarebbe un massimo su una palla interna sul cui bordo sta x_0 e quindi per Hopf (se la funzione si annulla non si richiedono assunzioni su c e Lv=0 ovunque) ciò è assurdo.
Però non ho usato la positività al bordo e il fatto che il dominio sia una palla. Dove non funziona il tutto?
Volevo solo chiedervi la correttezza del mio ragionamento su un problema.
"sia B1 la palla di centro 0 e raggio 1 in Rn e sua u una funzione in C2(B1) (classe C2 bordo compreso) che verifichi su B1 e che non sia negativa
/Delta u =cu
per c continua bordo compreso.
Se u > 0 sul bordo può fare 0 all'interno?"
Io personalmente ho detto di no.
Prendo la funzione"v= - u" che soddisfa "/Delta v =cv" dove "L v = /Delta v - cv=0" è un operatore ellittico quindi se v (quindi u) facesse 0 in un certo punto interno x_0 questo sarebbe un massimo su una palla interna sul cui bordo sta x_0 e quindi per Hopf (se la funzione si annulla non si richiedono assunzioni su c e Lv=0 ovunque) ciò è assurdo.
Però non ho usato la positività al bordo e il fatto che il dominio sia una palla. Dove non funziona il tutto?
Risposte
Usa le formule per rendere più leggibile il messaggio, sennò così è più difficile aiutarti.
$ u \in C^{2}(\barB);\Deltau=cu $
$ u \geq 0 $
$ u > 0 $ sul bordo di B
$ c \in C^{0} (\barB) $
Definita
$ v=-u $
Allora
$ \Delta v=cv $
E $ Lv= \Deltav - cv $
Quindi se esistesse $ x_0 \in B : v(x_0)=u(x_0)=0 $
Potrei trovare $ B_0 : x_0 \in \delB_0 ; Lv=0, v<0 \forall x B_0 $
Quindi posso usare il lemma di Hopf per cui $ v(x_0) \ne 0 $ (infatti per Hopf se la funzione si annulla non mi interessa del segno della C). Ma dove sto sbagliando? Non sto usando né la stretta positività di u (negatività di v) al bordo né il fatto che sia una palla.
$ u \geq 0 $
$ u > 0 $ sul bordo di B
$ c \in C^{0} (\barB) $
Definita
$ v=-u $
Allora
$ \Delta v=cv $
E $ Lv= \Deltav - cv $
Quindi se esistesse $ x_0 \in B : v(x_0)=u(x_0)=0 $
Potrei trovare $ B_0 : x_0 \in \delB_0 ; Lv=0, v<0 \forall x B_0 $
Quindi posso usare il lemma di Hopf per cui $ v(x_0) \ne 0 $ (infatti per Hopf se la funzione si annulla non mi interessa del segno della C). Ma dove sto sbagliando? Non sto usando né la stretta positività di u (negatività di v) al bordo né il fatto che sia una palla.
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