Trasformata di Fourier esame Polimi (impossibile!?)
Buon giorno a tutti,
ieri all'esame di Metodi Analitici e Numerici è stato proposto un esercizio in cui si chiedeva di trasformare la seguente funzione.
$ f(x)=\frac{96\sqrt{2}*sin\frac{x}{2}}{(8x^2+9)^2} $
Nessuno che io conosca è riuscito a risolverla. Se ci fosse stata una $x$ al numeratore sarebbe stato sufficiente scomporre il seno in esponenziali, integrare la funzione fratta e poi applicare la traslazione e la trasformata della derivata.
In tanti hanno chiesto al prof se mancasse una $x$ a causa di un refuso, ma la risposta è stata negativa.
Qualcuno di voi ha mai visto una cosa del genere? Sa per caso come risolverla?
Grazie mille in anticipo
ieri all'esame di Metodi Analitici e Numerici è stato proposto un esercizio in cui si chiedeva di trasformare la seguente funzione.
$ f(x)=\frac{96\sqrt{2}*sin\frac{x}{2}}{(8x^2+9)^2} $
Nessuno che io conosca è riuscito a risolverla. Se ci fosse stata una $x$ al numeratore sarebbe stato sufficiente scomporre il seno in esponenziali, integrare la funzione fratta e poi applicare la traslazione e la trasformata della derivata.
In tanti hanno chiesto al prof se mancasse una $x$ a causa di un refuso, ma la risposta è stata negativa.
Qualcuno di voi ha mai visto una cosa del genere? Sa per caso come risolverla?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Tieni presente che $sin (x/2)$ è il coefficiente dell'immaginario di $e^(ix/2)$.
Questa cosa è stata fatta: permette la traslazione della funzione fratta, ma rimane il problema della trasformazione di quest'ultima.
Che normalizzazione usate per la trasformata?
Ad ogni modo, mi pare che tutto si riconduca ad un decadimento esponenziale bilatero.
Ad ogni modo, mi pare che tutto si riconduca ad un decadimento esponenziale bilatero.
$F(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}f(x)dx$
L'idea di integrare funziona. Infatti
\[
\int_0^x \frac{1}{(1+y^2)^2}\, dy = \frac{1}{2}\left( \frac{x}{1+x^2}+\arctan(x)\right).\]
Il primo addendo si può trasformare usando il fatto che la moltiplicazione per \(x\) diventa una derivata (a meno di fattori \(i\)) e la trasformata di \(\frac{1}{1+x^2}\) è un "decadimento esponenziale bilatero" (sto parafrasando Gugo, spero di non usare impropriamente il linguaggio ingegneristico). Per l'arcotangente devi integrare di nuovo.
\[
\int_0^x \frac{1}{(1+y^2)^2}\, dy = \frac{1}{2}\left( \frac{x}{1+x^2}+\arctan(x)\right).\]
Il primo addendo si può trasformare usando il fatto che la moltiplicazione per \(x\) diventa una derivata (a meno di fattori \(i\)) e la trasformata di \(\frac{1}{1+x^2}\) è un "decadimento esponenziale bilatero" (sto parafrasando Gugo, spero di non usare impropriamente il linguaggio ingegneristico). Per l'arcotangente devi integrare di nuovo.
Ok per la prima parte. Ma scusami, proprio non riesco a capire come trattare l'arcotangente. Integrando non viene fuori ancora un arcotangente?
Mannaggia scusami mi sono sbagliato. Devi derivare, non integrare.
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