sistema non lineare

[Simone Masini]

Ho il sistema non lineare seguente:

f(x,y,z)=yz+xz+xy-p=0

g(x,y,z)=x+y+z=0

h(x,y,z)=xyz+q=0

Siccome è molto complicato trovare una soluzione con il metodo di sostituzione, vorrei sapere se è valido lo stesso discorso fatto con le eq. diff. non lineari.
Nel senso:
approssimo con Taylor fino al primo ordine f,g,h e dunque considero soltanto la parte lineare. Adesso; l'ultimo sistema così ottenuto possiede soluzioni x(p,q) , y(p,q) , z(p,q) che soddisfano anche il sistema iniziale?
Il tutto per trovare una formula risolutiva per radicali quadratici dell'eq. di terzo grado anche se già esiste e magari trovarne una anche per l'eq. di quinto grado smentendo così il teorema di Ruffini-Abel-Galois!!!
Aspetto risposte chiare,concise,esaurenti ed esaustive

[apatriarca]

No, linearizzando le funzioni non ottieni un risultato valido. Stai infatti sostituendo le tue equazioni con approssimazioni e i punti in cui queste funzioni si annullano non sono necessariamente gli stessi dei punti in cui si annullano le funzioni originali.

[ingres]

Chiaramente, come hai già scritto, x,y,z sono le 3 soluzioni dell'equazione di terzo grado

[math]x^3 + p x +q = 0[/math]

Come ti è già stato risposto non va bene considerare solo la parte lineare perchè può alterare profondamente la soluzione (come peraltro può accadere con le equazioni differenziali non lineari). Per verificarlo basta fare qualche esempio.

Ma se si estende il concetto con l'obiettivo di trovare una soluzione esatta di un'equazione (anche trascendente) tramite sviluppo in serie, si può usare il Teorema di inversione di Lagrange:

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_inversione_di_Lagrange

un metodo abbastanza famoso perchè usato ad esempio per trovare la soluzione analitica dell'equazione di Keplero per le orbite dei pianeti.

Questo non è in contrasto con il risultato del teorema di Ruffini-Abel-Galois che si limita ad affermare che la formula risolutiva non è esprimibile tramite radicali per le equazioni polinomiali di grado 5 o superiore. Infatti esistono formule esplicite per certe equazioni di grado 5 basate su funzioni ellittiche.

https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quinto_grado

Sviluppando in serie le stesse si troverebbe quindi uno sviluppo in serie esatto della soluzione in accordo con Lagrange.