Singolarità essenziale
Buonasera forum, ho un problemino su questo esercizio
Calcolare (con il teorema dei residui)
$int_gamma(z^2/(z-i))cos(1/(z-i)) dz $, ove $gamma$ è la circonferenza di centro $i$ e raggio $1$.
Io ho trovato che :
Il punto $z_0=i$ è una singolarità essenziale in quanto il $lim_ (z->z_0) f(z)$ non esiste.
Potrei verificarlo anche osservando che la parte singolare dello sviluppo di Laurent ha infiniti termini, ma è proprio questo che non riesco a fare (che mi serve per calcolare proprio il residuo). Ora provo a farvi vedere :
Sviluppo di centro $i -> ((z^2)(1-1/(z-2i)^2))/(z-i)$ . Il residuo dovrebbe essere dato dal coefficiente di $(z-i)^(-1)$ che sarebbe il numeratore?
Calcolare (con il teorema dei residui)
$int_gamma(z^2/(z-i))cos(1/(z-i)) dz $, ove $gamma$ è la circonferenza di centro $i$ e raggio $1$.
Io ho trovato che :
Il punto $z_0=i$ è una singolarità essenziale in quanto il $lim_ (z->z_0) f(z)$ non esiste.
Potrei verificarlo anche osservando che la parte singolare dello sviluppo di Laurent ha infiniti termini, ma è proprio questo che non riesco a fare (che mi serve per calcolare proprio il residuo). Ora provo a farvi vedere :
Sviluppo di centro $i -> ((z^2)(1-1/(z-2i)^2))/(z-i)$ . Il residuo dovrebbe essere dato dal coefficiente di $(z-i)^(-1)$ che sarebbe il numeratore?
Risposte
Quella roba lì tutto mi sembre fuorché uno sviluppo di Laurent... Come l'hai ottenuto?
"gugo82":
Quella roba lì tutto mi sembre fuorché uno sviluppo di Laurent... Come l'hai ottenuto?
Non bisogna sviluppare il $cos(1/(z-i))$ nell'intorno $i$?, mi sono fermato al secondo termine
Sì, vabbè... Però quello ottenuto non è uno sviluppo di Laurent, perché mancano termini è non compaiono solo potenze di $z-i$. Ci devi lavorare ancora un po'.
Purtroppo ho problemi con lo sviluppo di Laurent in generale altrimenti non avrei scritto qui
Sai che lo sviluppo:
\[
\cos w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ w^{2n}
\]
coincide con lo sviluppo di Taylor in $0$ e con lo sviluppo di Laurent in $oo$; visto che $1/(z-i) -> oo$ per $z->i$, puoi usare la tecnica degli sviluppi innestati per ottenere:
\[
\cos \frac{1}{z-i} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \left( \frac{1}{z-i}\right)^{2n}
\]
da cui:
\[
\frac{1}{z-i}\ \cos \frac{1}{z-i} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\; .
\]
D'altra parte, hai:
\[
z^2 = (z-i+i)^2= (z-i)^2 +2i(z-i)-1
\]
e perciò:
\[
\begin{split}
f(z) &= \frac{z^2}{z-i}\ \cos \frac{1}{z-i} \\
&= \Big( (z-i)^2 +2i(z-i)-1\Big)\ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n-1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2i}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\; ,
\end{split}
\]
che, opportunamente manipolato, fornisce lo sviluppo di Laurent richiesto.
\[
\cos w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ w^{2n}
\]
coincide con lo sviluppo di Taylor in $0$ e con lo sviluppo di Laurent in $oo$; visto che $1/(z-i) -> oo$ per $z->i$, puoi usare la tecnica degli sviluppi innestati per ottenere:
\[
\cos \frac{1}{z-i} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \left( \frac{1}{z-i}\right)^{2n}
\]
da cui:
\[
\frac{1}{z-i}\ \cos \frac{1}{z-i} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\; .
\]
D'altra parte, hai:
\[
z^2 = (z-i+i)^2= (z-i)^2 +2i(z-i)-1
\]
e perciò:
\[
\begin{split}
f(z) &= \frac{z^2}{z-i}\ \cos \frac{1}{z-i} \\
&= \Big( (z-i)^2 +2i(z-i)-1\Big)\ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n-1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2i}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\; ,
\end{split}
\]
che, opportunamente manipolato, fornisce lo sviluppo di Laurent richiesto.
Probabilmente dovrebbero farti santo..grazie mille per la pazienza
Un'ultima domanda: sviluppando, i termini con $(z-i)^(-1)$ sono $-1/(z-i) -1/(2(z-i))$ che sommati fanno $-3/(2(z-i))$. Il residuo è dunque $-3/2$?
Un'ultima domanda: sviluppando, i termini con $(z-i)^(-1)$ sono $-1/(z-i) -1/(2(z-i))$ che sommati fanno $-3/(2(z-i))$. Il residuo è dunque $-3/2$?
Finisco il contariello...
Hai:
\[
\begin{split} f(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n-1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2i}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\\
&= (z-i) + 2i + \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!} - \frac{(-1)^n}{(2n)!} \right)\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2i}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n}}\\
&= \underbrace{(z-i) + 2i}_{\text{p.te regolare}} + \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (4n^2+6n+3)}{(2n+2)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2i}{(2n+2)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+2}}}_{\text{p.te singolare}}\; \ldots
\end{split}
\]
Quindi, sì, il residuo in $i$ è $-3/2$.
Hai:
\[
\begin{split} f(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n-1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2i}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\\
&= (z-i) + 2i + \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!} - \frac{(-1)^n}{(2n)!} \right)\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2i}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n}}\\
&= \underbrace{(z-i) + 2i}_{\text{p.te regolare}} + \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (4n^2+6n+3)}{(2n+2)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2i}{(2n+2)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+2}}}_{\text{p.te singolare}}\; \ldots
\end{split}
\]
Quindi, sì, il residuo in $i$ è $-3/2$.
Ok provo a proporre un altro esempio per vedere se ho compreso :
$f(z) = z^2(sen(1/(z-1))+ 1/(z(z-1))sen(1/z))$
Ho una singolarità in $z_0=1$ che pare essere un polo in quanto passando al $lim_(z->1) f(z) =\infty$
Conoscendo lo sviluppo del $sen(z) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) z^(2n+1)$
Ho che lo sviluppo di $sen(1/(z-1)) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n+1)$
Qundi $z^2*sen(1/(z-1)) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/((2n+1)!) z^2/(z-1)^(2n+1)$
Mentre $z/(z-1)*sen(1/z) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)*z^(2n))$ sotto opportune semplificazioni
Il problema è che compaiono infiniti termini della parte singolare $ (z-1)^(-1)$, dove ho sbagliato?
$f(z) = z^2(sen(1/(z-1))+ 1/(z(z-1))sen(1/z))$
Ho una singolarità in $z_0=1$ che pare essere un polo in quanto passando al $lim_(z->1) f(z) =\infty$
Conoscendo lo sviluppo del $sen(z) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) z^(2n+1)$
Ho che lo sviluppo di $sen(1/(z-1)) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n+1)$
Qundi $z^2*sen(1/(z-1)) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/((2n+1)!) z^2/(z-1)^(2n+1)$
Mentre $z/(z-1)*sen(1/z) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)*z^(2n))$ sotto opportune semplificazioni
Il problema è che compaiono infiniti termini della parte singolare $ (z-1)^(-1)$, dove ho sbagliato?
"A occhio", la $f$ ha in $z_0=1$ una singolarità essenziale, perché $\sin (1/(z-1))$ ha in $1$ una singolarità essenziale.
Inoltre, fai sempre lo stesso errore: quelli che scrivi nelle ultime due righe tutto sono fuorché sviluppi di Laurent.
Perchè?
P.S.: Calcolare esplicitamente la serie di Laurent centrata in $1$ in questo caso mi pare molto laborioso.
Che ci devi fare con quella funzione lì?
Inoltre, fai sempre lo stesso errore: quelli che scrivi nelle ultime due righe tutto sono fuorché sviluppi di Laurent.
Perchè?
P.S.: Calcolare esplicitamente la serie di Laurent centrata in $1$ in questo caso mi pare molto laborioso.
Che ci devi fare con quella funzione lì?
Devo calcolare come al solito i residui, comunque hai ragione.. mi ero sbagliato ed è una singolarità essenziale per questo mi serve lo sviluppo di Laurent.
Anche per quanto riguarda il punto $z_0=0$ che credo sia a questo punto anch'esso una singolarità essenziale poichè c'è $sen(1/z)$
Anche per quanto riguarda il punto $z_0=0$ che credo sia a questo punto anch'esso una singolarità essenziale poichè c'è $sen(1/z)$
Certo.
Ma sarebbe importante se rispondessi a questa domanda:
Ma sarebbe importante se rispondessi a questa domanda:
"gugo82":
Inoltre, fai sempre lo stesso errore: quelli che scrivi nelle ultime due righe tutto sono fuorché sviluppi di Laurent.
Perchè?
"gugo82":
Certo.
E invece ho appena rifatto i conti e ho scoperto che si tratta di una singolarità eliminabile in quanto il limite fa $0$, quindi il residuo è nullo
"gugo82":
Ma sarebbe importante se rispondessi a questa domanda:
Inoltre, fai sempre lo stesso errore: quelli che scrivi nelle ultime due righe tutto sono fuorché sviluppi di Laurent.
Allora, non sono ancora molto pratico, quello che ho capito è che bisogna sfruttare lo sviluppo di Taylor centrato in 0 e poi fare delle manipolazioni a seconda del raggio (in questo caso 1). Il libro che ho è molto confusionario e sto cercando di imparare da solo
"Domeniko98":
$ f(z) = z^2(sen(1/(z-1))+ 1/(z(z-1))sen(1/z)) $
Ho una singolarità in $ z_0=1 $ che pare essere un polo in quanto passando al $ lim_(z->1) f(z) =\infty $
"Domeniko98":
Anche per quanto riguarda il punto $ z_0=0 $ che credo sia a questo punto anch'esso una singolarità essenziale poichè c'è $ sen(1/z) $
"Domeniko98":
E invece ho appena rifatto i conti e ho scoperto che si tratta di una singolarità eliminabile in quanto il limite fa $ 0 $, quindi il residuo è nullo
In entrambi i casi hai singolarità essenziali... La morale della teoria è che non è possibile "uccidere" una singolarità essenziale (nel senso di renderla polare o, anche meglio, eliminabile) moltiplicando una funzione per potenze: quindi non puoi sperare di eliminare la singolarità essenziale di $sin (1/z)$ moltiplicando per $z^2$ né di far diventare un polo la singolarità essenziale di $sin(1/(z-1))$ moltiplicando per potenze di $z-1$.
Che libro usi di teoria?
Prendine uno migliore.
"Domeniko98":
[quote="gugo82"]Ma sarebbe importante se rispondessi a questa domanda:
Inoltre, fai sempre lo stesso errore: quelli che scrivi nelle ultime due righe tutto sono fuorché sviluppi di Laurent. Perché?
Allora, non sono ancora molto pratico, quello che ho capito è che bisogna sfruttare lo sviluppo di Taylor centrato in 0 e poi fare delle manipolazioni a seconda del raggio (in questo caso 1). Il libro che ho è molto confusionario e sto cercando di imparare da solo[/quote]
La domanda non era come fai a calcolare uno sviluppo, né quanto sei pratico nel calcolo.
Ripeto la domanda: perchè le serie che scrivi non sono serie di Laurent?
In altri termini, qual è la definizione di serie di Laurent e perchè non si può applicare nel caso in esame?
"gugo82":
In entrambi i casi hai singolarità essenziali... La morale della teoria è che non è possibile "uccidere" una singolarità essenziale (nel senso di renderla polare o, anche meglio, eliminabile) moltiplicando una funzione per potenze: quindi non puoi sperare di eliminare la singolarità essenziale di $sin (1/z)$ moltiplicando per $z^2$ né di far diventare un polo la singolarità essenziale di $sin(1/(z-1))$ moltiplicando per potenze di $z-1$.
Io intendo proprio dire che $lim_ (z->0) f(z) = 0$, dunque, esistendo ed essendo finito, porta alla conclusione che $z_0=0$ sia un punto di singolarità eliminabile, ergo il suo residuo è nullo.
"gugo82":
Che libro usi di teoria?
Prendine uno migliore.
Marco Codegone, Metodi matematici per l'ingegneria
"gugo82":
La domanda non era come fai a calcolare uno sviluppo, né quanto sei pratico nel calcolo.
Ripeto la domanda: perchè le serie che scrivi non sono serie di Laurent?
In altri termini, qual è la definizione di serie di Laurent e perchè non si può applicare nel caso in esame?
Il mio libro riporta così :
"Quando siamo in presenza di singolarità isolate si ricorre allo sviluppo di Laurent $f(z)=sum_{n=0}^(+infty) a_n(z-z_0)^(n) + sum_{n=1)^{+infty) (a_(N))/(z-z_o)^(n)$ per $0<|z-z_0|
dove $a_n=1/(2pi*i) int_gamma f(z)/(z-z_0)^(n+1) dz$
Da quello che ho capito è che la prima sommatoria esprime la parte regolare, mentre la seconda esplicita quella singolare
"Domeniko98":
[quote="gugo82"]
In entrambi i casi hai singolarità essenziali... La morale della teoria è che non è possibile "uccidere" una singolarità essenziale (nel senso di renderla polare o, anche meglio, eliminabile) moltiplicando una funzione per potenze: quindi non puoi sperare di eliminare la singolarità essenziale di $sin (1/z)$ moltiplicando per $z^2$ né di far diventare un polo la singolarità essenziale di $sin(1/(z-1))$ moltiplicando per potenze di $z-1$.
Io intendo proprio dire che $lim_ (z->0) f(z) = 0$, dunque, esistendo ed essendo finito, porta alla conclusione che $z_0=0$ sia un punto di singolarità eliminabile, ergo il suo residuo è nullo.[/quote]
Posta i conti.
"Domeniko98":
[quote="gugo82"]Che libro usi di teoria?
Prendine uno migliore.
Marco Codegone, Metodi matematici per l'ingegneria[/quote]
Lo conosco: buttalo. E prendine uno serio.
"Domeniko98":
[quote="gugo82"]
La domanda non era come fai a calcolare uno sviluppo, né quanto sei pratico nel calcolo.
Ripeto la domanda: perchè le serie che scrivi non sono serie di Laurent?
In altri termini, qual è la definizione di serie di Laurent e perchè non si può applicare nel caso in esame?
Il mio libro riporta così :
"Quando siamo in presenza di singolarità isolate si ricorre allo sviluppo di Laurent $f(z)=sum_{n=0}^(+infty) a_n(z-z_0)^(n) + sum_{n=1)^{+infty) (a_(N))/(z-z_o)^(n)$ per $0<|z-z_0|
dove $a_n=1/(2pi*i) int_gamma f(z)/(z-z_0)^(n+1) dz$
Da quello che ho capito è che la prima sommatoria esprime la parte regolare, mentre la seconda esplicita quella singolare[/quote]
Ma perchè non rispondi alle domande? Non ci interessa cosa riporta il tuo libro...
Che cos'è una serie di Laurent? Qual è la definizione?
"gugo82":
Posta i conti.
Non mi sembra molto complicato : il primo membro tende ovviamente a $0$, per il secondo abbiamo $ lim_(z->0) z/(z-1)sen(1/z)$ che fa $0$ in quanto stai moltiplicando un valore "sconosciuto" (da $-1$ a $1$) per $0$. (Ho controllato anche tramite un tool online).
"gugo82":
Ma perchè non rispondi alle domande?
Che cos'è una serie di Laurent?
E' uno strumento che serve a sviluppare una funzione sia in punti di analiticità che non (punti di singolarità), è quindi un estensione rispetto alla serie di Taylor
"Domeniko98":
[quote="gugo82"]
Posta i conti.
Non mi sembra molto complicato : il primo membro tende ovviamente a $0$, per il secondo abbiamo $ lim_(z->0) z/(z-1)sen(1/z)$ che fa $0$ in quanto stai moltiplicando un valore "sconosciuto" (da $-1$ a $1$) per $0$. (Ho controllato anche tramite un tool online).[/quote]
Beh, se sei convinto che il seno in campo complesso sia una funzione limitata, c'è qualcosa che non va...
Come credevo, o non hai studiato oppure non hai capito la teoria delle funzioni elementari in campo complesso, né quella delle funzioni olomorfe.
Prima di metterti a smanettare con gli esercizi sarebbe mooolto meglio se ti leggessi seriamente la teoria su un testo come si deve.
P.S. (sui tool online): sarebbe meglio usare uno strumento quando si ha almeno una pallida idea di come funzionino sia lo strumento, sia le cose che gli si vogliono far fare.
In tal modo si eviterebbe il prodursi di risultati assurdi che spazzano via secoli di ricerca matematica ed di buon senso.
"Domeniko98":
[quote="gugo82"]Ma perchè non rispondi alle domande?
Che cos'è una serie di Laurent?
E' uno strumento che serve a sviluppare una funzione sia in punti di analiticità che non (punti di singolarità), è quindi un estensione rispetto alla serie di Taylor[/quote]
La domanda non è a che serve una serie di Laurent, ma che cosa è una serie di Laurent.
Facciamola più basica, la domanda: che cosa è una serie di potenze?
Di qui, per analogia, cerca di formulare la risposta alla domanda di sopra.
Mi ricordi i miei studenti di scuola: gli chiedi che cos'è il minimo comune multiplo e loro ti rispondono come si calcola oppure come si usa (per sommare le frazioni, ad esempio)... Ma che mi importa? Sono cose diverse!
(Su queste cose, che poi sono le basi della Matematica e dell'alfabetizzazione, ci ho combattuto tutto l'anno e ne sono -quasi- uscito vincitore...
)
"gugo82":
Facciamola più basica, la domanda: che cosa è una serie di potenze?
Di qui, per analogia, cerca di formulare la risposta alla domanda di sopra.
La serie di potenze è una serie di funzioni che ha questa forma $f(x)= sum_{n=0}^(+infty} a_n(x-x_o)^n$.
Una serie in cui compaiono potenze negative della variabile non è classificata come serie di potenze ma fa parte delle Serie di Laurent
Ok.
Quindi, cos'è una serie di Laurent?
Quindi, cos'è una serie di Laurent?
Una particolare serie di potenze in cui possono comparire anche termini non positivi della variabile della funzione
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