Singolarità essenziale
Buonasera forum, ho un problemino su questo esercizio
Calcolare (con il teorema dei residui)
$int_gamma(z^2/(z-i))cos(1/(z-i)) dz $, ove $gamma$ è la circonferenza di centro $i$ e raggio $1$.
Io ho trovato che :
Il punto $z_0=i$ è una singolarità essenziale in quanto il $lim_ (z->z_0) f(z)$ non esiste.
Potrei verificarlo anche osservando che la parte singolare dello sviluppo di Laurent ha infiniti termini, ma è proprio questo che non riesco a fare (che mi serve per calcolare proprio il residuo). Ora provo a farvi vedere :
Sviluppo di centro $i -> ((z^2)(1-1/(z-2i)^2))/(z-i)$ . Il residuo dovrebbe essere dato dal coefficiente di $(z-i)^(-1)$ che sarebbe il numeratore?
Calcolare (con il teorema dei residui)
$int_gamma(z^2/(z-i))cos(1/(z-i)) dz $, ove $gamma$ è la circonferenza di centro $i$ e raggio $1$.
Io ho trovato che :
Il punto $z_0=i$ è una singolarità essenziale in quanto il $lim_ (z->z_0) f(z)$ non esiste.
Potrei verificarlo anche osservando che la parte singolare dello sviluppo di Laurent ha infiniti termini, ma è proprio questo che non riesco a fare (che mi serve per calcolare proprio il residuo). Ora provo a farvi vedere :
Sviluppo di centro $i -> ((z^2)(1-1/(z-2i)^2))/(z-i)$ . Il residuo dovrebbe essere dato dal coefficiente di $(z-i)^(-1)$ che sarebbe il numeratore?
Risposte
Vabbé, quasi.
Detta per bene:
Si dimostra che se una serie di Laurent converge in qualche punto, allora essa converge in una corona circolare di centro $z_0$, i.e. in un insieme del tipo $r<|z-z_0|
Detto ciò, altra domanda: perchè le serie che hai proposto in questo tuo post precedente non sono serie di Laurent?
Detta per bene:
Si chiama serie di Laurent centrata in $z_0 in CC$ una serie bilatera di funzioni del tipo:
\[
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n
\]
avente coefficienti $c_n in CC$ per ogni $n in ZZ$, i.e. una serie in cui compaiono (possibilmente) potenze di $z-z_0$ sia con esponente naturale sia con esponente intero negativo.
Si dimostra che se una serie di Laurent converge in qualche punto, allora essa converge in una corona circolare di centro $z_0$, i.e. in un insieme del tipo $r<|z-z_0|
Detto ciò, altra domanda: perchè le serie che hai proposto in questo tuo post precedente non sono serie di Laurent?
Perchè devo sviluppare ogni variabile (mentre io ho lasciato delle variabili come $z^2$ o $z^(2n)$) nei loro punti di singolarità?
"Domeniko98":
Perchè devo sviluppare ogni variabile (mentre io ho lasciato delle variabili come $z^2$ o $z^(2n)$) nei loro punti di singolarità?
Che vuol dire "sviluppare ogni variabile nei loro punti di singolarità"? Definisci...
Detto in altri termini, perchè devi inventarti locuzioni che non hanno alcun significato per dire una cosa semplice (cioè che "nelle serie scritte più sopra ci sono dei termini che non sono del tipo $(z-1)^n$")?
"gugo82":
Detto in altri termini, perchè devi inventarti locuzioni che non hanno alcun significato per dire una cosa semplice (cioè che "nelle serie scritte più sopra ci sono dei termini che non sono del tipo $(z-1)^n$")?
Intendevo proprio questo
. Quindi per farla breve, devo fare in modo che in ogni serie (in questo caso) ci siano solo termini $(z-1)^n$ e non per esempio termini $z^(2n), z^(n)$, mentre se è di centro $0$ devono comparire solo termini $z^(n)$?
"Domeniko98":
[...] devo fare in modo che in ogni serie (in questo caso) ci siano solo termini $(z-1)^n$ e non per esempio termini $z^(2n), z^(n)$, mentre se è di centro $0$ devono comparire solo termini $z^(n)$?
E secondo te?
Faccio un ultimo tentativo.
Per $z_0 = 1$ sviluppo così :
$sen(1/(z-1)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n+1)$
Ho che $z^2 = (z-1)^2 + 2(z-1) +2$
$z^2sen (1/(z-1)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n-1) + sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 2/(z-1)^(2n) + sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 2/(z-1)^(2n+1)$
Mentre $sen(1/z) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n+1)$
$1/(z-1)sen(1/(z)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)^(2n+2))$
Ho che $z= z-1+1$
$z/(z-1)sen(1/(z)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)^(2n+1)) + sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)^(2n+2))$
Giusto?
Per $z_0 = 1$ sviluppo così :
$sen(1/(z-1)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n+1)$
Ho che $z^2 = (z-1)^2 + 2(z-1) +2$
$z^2sen (1/(z-1)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n-1) + sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 2/(z-1)^(2n) + sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 2/(z-1)^(2n+1)$
Mentre $sen(1/z) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n+1)$
$1/(z-1)sen(1/(z)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)^(2n+2))$
Ho che $z= z-1+1$
$z/(z-1)sen(1/(z)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)^(2n+1)) + sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)^(2n+2))$
Giusto?
C'è sicuramente un errore di calcolo nello scrivere $z^2$ come somma di potenze di $z-1$.
Inoltre, e più grave, c'è uno sviluppo di $sin(1/z)$ in serie di Laurent di centro $1$ che non sta né in cielo né in terra... Perché?
Inoltre, e più grave, c'è uno sviluppo di $sin(1/z)$ in serie di Laurent di centro $1$ che non sta né in cielo né in terra... Perché?
"gugo82":
C'è sicuramente un errore di calcolo nello scrivere $z^2$ come somma di potenze di $z-1$.
Si hai ragione, è così :
$z^2 = (z-1)^2 +2(z-1) +1$
"gugo82":
Inoltre, e più grave, c'è uno sviluppo di $sin(1/z)$ in serie di Laurent di centro $1$ che non sta né in cielo né in terra... Perché?
Ho completamente toppato, ma l'ho rivisto e lo sviluppo è $sen(1) - zcos(1) ...$ vero?
No.
$sen(1)- (z-1)cos(1) ..$
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