Simmetria fase trasformata di Fourier
Ciao,
in merito alla trasformata di Fourier di una funzione reale \(\displaystyle x(t) \), e' noto che esiste la simmetria \(\displaystyle X(-f) = X^*(f) \).
Dal punto di vista della parte reale e immaginaria di \(\displaystyle X(f) \) questo significa parte reale pari e parte immaginaria dispari. Analogamente dovrebbe esser per modulo e fase.
Il dubbio che ho e' il seguente: consideriamo una funzione \(\displaystyle x(t) \) che sottende un'area negativa. La trasformata \(\displaystyle X(f) \) valutata in \(\displaystyle f=0 \) restituisce proprio il valore dell'area sottesa. Questo significa che \(\displaystyle X(0) \) ha fase \(\displaystyle \pi \) oppure \(\displaystyle -\pi \).
A prima vista sembra strano in quanto una funzione con simmetria dispari deve esser nulla nell'origine. Pensandoci meglio, tuttavia, la condizione sopra esposta per \(\displaystyle f=0 \) diventa \[\displaystyle X(0)= X^*(0) \] ovvero \(\displaystyle X(0) \) reale. Quindi non e' escluso che nell'origine la trasformata di Fourier possa aver fase \(\displaystyle \pm \pi \).
E' corretto ? Grazie.
in merito alla trasformata di Fourier di una funzione reale \(\displaystyle x(t) \), e' noto che esiste la simmetria \(\displaystyle X(-f) = X^*(f) \).
Dal punto di vista della parte reale e immaginaria di \(\displaystyle X(f) \) questo significa parte reale pari e parte immaginaria dispari. Analogamente dovrebbe esser per modulo e fase.
Il dubbio che ho e' il seguente: consideriamo una funzione \(\displaystyle x(t) \) che sottende un'area negativa. La trasformata \(\displaystyle X(f) \) valutata in \(\displaystyle f=0 \) restituisce proprio il valore dell'area sottesa. Questo significa che \(\displaystyle X(0) \) ha fase \(\displaystyle \pi \) oppure \(\displaystyle -\pi \).
A prima vista sembra strano in quanto una funzione con simmetria dispari deve esser nulla nell'origine. Pensandoci meglio, tuttavia, la condizione sopra esposta per \(\displaystyle f=0 \) diventa \[\displaystyle X(0)= X^*(0) \] ovvero \(\displaystyle X(0) \) reale. Quindi non e' escluso che nell'origine la trasformata di Fourier possa aver fase \(\displaystyle \pm \pi \).
E' corretto ? Grazie.
Risposte
Si, e' corretto.
La parte immaginaria della trasformata di una funzione reale e' nulla nell'origine.
La parte immaginaria della trasformata di una funzione reale e' nulla nell'origine.
"Quinzio":
Si, e' corretto.
La parte immaginaria della trasformata di una funzione reale e' nulla nell'origine.
Quindi non e' propriamente corretto dire che la fase della trasformata di fourier di una funzione reale e' una funzione dispari \(\displaystyle \varphi(-f) = - \varphi (f) \) -- che richiede sia nulla in zero.
Si hai ragione, infatti queste proprieta' duali di funzioni pari/dispari reali/immaginarie NON vengono espresse in termini di modulo e fase ma di parte reale e immaginaria, appunto.
Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... m#Symmetry
Probabilmente lo fanno per non incappare nel fastidio della fase a frequenza zero.
Se assumi che il modulo possa essere negativo e la fase a frequenza zero e' per definizione zero, allora direi che il problema scompare.
De gustibus...
Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... m#Symmetry
Probabilmente lo fanno per non incappare nel fastidio della fase a frequenza zero.
Se assumi che il modulo possa essere negativo e la fase a frequenza zero e' per definizione zero, allora direi che il problema scompare.
De gustibus...
Altra cosa: come argomento principale della fase possiamo assumere l'intervallo semichiuso \(\displaystyle -\pi \lt \varphi \leq \pi \).
Quindi per \(\displaystyle f \neq 0 \) la condizione di fase dispari di fatto implica quando \(\displaystyle \varphi (f) = \pi \) il "wrapping" del valore \(\displaystyle \pi \) su \(\displaystyle -\pi \).
Quindi per \(\displaystyle f \neq 0 \) la condizione di fase dispari di fatto implica quando \(\displaystyle \varphi (f) = \pi \) il "wrapping" del valore \(\displaystyle \pi \) su \(\displaystyle -\pi \).
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