Serie di laurent
Salve ragazzi come posso espandere in serie di Laurent con centro in z=0 la seguente funzione:
$ f(z)=sin(\pi/(z+1)^2) $
Ho provato ad applicare la serie geometrica ma non ho ottenuto niente ?
$ f(z)=sin(\pi/(z+1)^2) $
Ho provato ad applicare la serie geometrica ma non ho ottenuto niente ?
Risposte
Hai bisogno di tutto lo sviluppo o ti basta qualche termine? Chiedo perché a volte si parte in quarta volendo calcolare tutto lo sviluppo quando basta meno...
I primi due termini scusate
Sviluppando con pazienza:
$ f(z)=sin(\pi/(z+1)^2) = sin(\pi - \pi/(z+1)^2) = (\pi - \pi/(z+1)^2) - \frac{(\pi - \pi/(z+1)^2)^3}{6} + o ((\pi - \pi/(z+1)^2)^5) = \pi(1-\frac{1}{1+z^2+2z})-\frac{pi^3}{6}(1-\frac{1}{1+z^2+2z})^3 + o((1-\frac{1}{1+z^2+2z})^5)= \pi(1-\frac{1}{1-(-z^2-2z)})-\frac{pi^3}{6}(1-\frac{1}{1-(-z^2-2z)})^3 + o((1-\frac{1}{1-(-z^2-2z)})^5) = \pi[1-(1+(-z^2-2z)+(-z^2-2z)^2+o((-z^2-2z)^3)]-\frac{\pi^3}{6}[1-(1+(-z^2-2z)+(-z^2-2z)^2+o((-z^2-2z)^3)]^3+o([1-(1+(-z^2-2z)+(-z^2-2z)^2+o((-z^2-2z)^3)]^5)=
\pi[z^2+2z-4z^2 + o(z^2)]-\frac{\pi^3}{6}[8z^3+o(z^3)] + o(z^3) = 2\pi z -3\pi z^2 + o(z^2) $
$ f(z)=sin(\pi/(z+1)^2) = sin(\pi - \pi/(z+1)^2) = (\pi - \pi/(z+1)^2) - \frac{(\pi - \pi/(z+1)^2)^3}{6} + o ((\pi - \pi/(z+1)^2)^5) = \pi(1-\frac{1}{1+z^2+2z})-\frac{pi^3}{6}(1-\frac{1}{1+z^2+2z})^3 + o((1-\frac{1}{1+z^2+2z})^5)= \pi(1-\frac{1}{1-(-z^2-2z)})-\frac{pi^3}{6}(1-\frac{1}{1-(-z^2-2z)})^3 + o((1-\frac{1}{1-(-z^2-2z)})^5) = \pi[1-(1+(-z^2-2z)+(-z^2-2z)^2+o((-z^2-2z)^3)]-\frac{\pi^3}{6}[1-(1+(-z^2-2z)+(-z^2-2z)^2+o((-z^2-2z)^3)]^3+o([1-(1+(-z^2-2z)+(-z^2-2z)^2+o((-z^2-2z)^3)]^5)=
\pi[z^2+2z-4z^2 + o(z^2)]-\frac{\pi^3}{6}[8z^3+o(z^3)] + o(z^3) = 2\pi z -3\pi z^2 + o(z^2) $
Grazie mille. Nel caso avessi invece : $ cos(\pi/(t+2)) $ come faresti? A causa di quel +2 non riesci a mantenere lo stesso metodo . Questo fa parte di una funzione più generale :
$ f(z) = z/((z+2)*cos(\pi/(z+2))) $
$ f(z) = z/((z+2)*cos(\pi/(z+2))) $
Non capisco la questione del $+2$....
Comunque supponendo che tu debba svilupparla (i primi termini) nell'intorno di $z=0$, allora, come nel caso precedente, si vuole che l'argomento della funzione sia infinitesimo quando $z \to 0$ perché così è possibile usare le serie di MacLaurin.
Nel nostro caso è sufficiente scrivere $\cos(\frac{\pi}{z+2}) = \sin(\pi/2 -\frac{\pi}{z+2})$ e fatto questo è immediato!
Comunque supponendo che tu debba svilupparla (i primi termini) nell'intorno di $z=0$, allora, come nel caso precedente, si vuole che l'argomento della funzione sia infinitesimo quando $z \to 0$ perché così è possibile usare le serie di MacLaurin.
Nel nostro caso è sufficiente scrivere $\cos(\frac{\pi}{z+2}) = \sin(\pi/2 -\frac{\pi}{z+2})$ e fatto questo è immediato!
Grazie
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