Risolvere Debolmente una PDE
Salve,come sapete,le equazioni di Eulero Lagrange sono equazioni differenziali,che solo in rari casi presentano soluzioni.Facendo un po di ricerche ho trovato qualcosa circa "risolvere debolmente l'equazione" però non ci ho capito niente.Se non vi reca disturbo potreste spiegarmi cosa significa,e in che modo si puo risolvere debolmente un equazione differenziale ad esempio questa:
$ u_x+u_y=2xy $
attualmente so solo che dovrei riscrivere l'equazione cosi:
$ int_(R^2)u(varphi_x+varphi_y)dxdy=-int_(R^2)2xyvarphi(x,y)dxdy $
(spero che le notazioni siano esatte)
p.s:so che questa equazione ha una soluzione,anche con i metodi normali,ma volevo iniziare dal semplice
$ u_x+u_y=2xy $
attualmente so solo che dovrei riscrivere l'equazione cosi:
$ int_(R^2)u(varphi_x+varphi_y)dxdy=-int_(R^2)2xyvarphi(x,y)dxdy $
(spero che le notazioni siano esatte)
p.s:so che questa equazione ha una soluzione,anche con i metodi normali,ma volevo iniziare dal semplice
Risposte
"mklplo":
Se non ti reca disturbo potresti rispondere a delle ultime domande che mi sono giunte?
Da chi?
"mklplo":
Per curiosità,quando si deve risolvere un equazione del tipo:
$Deltau=f$
quale metodo risulta piu efficacie per "risolverla" nel senso del CdV?
Dipende da cos'è $f$.
"mklplo":
se il funzionale integrale di Dirichlet non dovesse avere minimo, allora l'equazione differenziale da cui deriva non presenta soluzioni?
Dipende.
1)Scusa ho sbagliato a scrivere,intendevo dire:"....a dei dubbi che mi sono venuti mentre riflettevo su ciò che ci siamo detti?",solo che volendo accorciare,penso di aver cambiato il significato
2)Sia $u$ che $f$ sono funzioni a piu variabili.$u$ è una funzione incognita,mentre $f$ è una funzione data.Per esempio:
$u_x+u_y+ u_z=(x*y*z+1/(x*y*z))^2-e^(x*y^2*ln(z))$
3)In che senso dipende?
2)Sia $u$ che $f$ sono funzioni a piu variabili.$u$ è una funzione incognita,mentre $f$ è una funzione data.Per esempio:
$u_x+u_y+ u_z=(x*y*z+1/(x*y*z))^2-e^(x*y^2*ln(z))$
3)In che senso dipende?
"mklplo":
2)Sia $u$ che $f$ sono funzioni a piu variabili.$u$ è una funzione incognita,mentre $f$ è una funzione data.Per esempio:
$u_x+u_y+ u_z=(x*y*z+1/(x*y*z))^2-e^(x*y^2*ln(z))$
OK, ma ancora non è una risposta "buona"... Innanzitutto, perché quella che proponi ora è una PDE del primo ordine, mentre quella di Poisson $\Delta u = f$ è del secondo, e così cambia tutto il mondo.
Ma anche perché non specifichi che proprietà ha il secondo membro $f$.
"mkplo":
3)In che senso dipende?
Nel senso che dipende.
Diciamo che nel caso del Laplaciano tutto funziona in modo molto decente, anche se il secondo membro $f$ è una cosa parecchio "brutta".
Nel caso generale di operatori ellittici, non sempre si può pensare alla PDE come equazione di Eulero-Lagrange di qualche funzionale (tipo quello di Dirichlet nel caso del Laplaciano), quindi la domanda non avrebbe senso.
In tali casi, bisogna ragionare in modo diverso (introducendo altre nozioni di "soluzione debole") e non si può ricorrere al CdV.
Insomma, i casi sono tanti ed è abbastanza inutile parlarne così... Sempre meglio discutere di esempi concreti.
Ok grazie,quest'ultima affermazione vale solo per gli operatori ellittici,oppure vale anche per pde iperboliche e paraboliche?
p.s: sai,quando tratto argomenti così complicati tendo a fare gravi errori come quel sul laplaciano,grazie per avermelo fatto notare
p.s: sai,quando tratto argomenti così complicati tendo a fare gravi errori come quel sul laplaciano,grazie per avermelo fatto notare
"mklplo":
ok Grazie,ora sto leggendo un libro che tratta "semplicemente" i metodi diretti,e se non sbaglio usandoli si dovrebbe determinare se il funzionale ha o meno minimo,giusto?
Prego.
Qual è il libro?
"mklplo":
p.s: sai,quando tratto argomenti così complicati tendo a fare gravi errori come quel sul laplaciano,grazie per avermelo fatto notare
Figurati.
Il libro è questo(forse è una parte di un libro perchè è molto riduttivo)
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/ ... oni-08.pdf
fin ora come testo in italiano è il migliore che ho trovato,anche se non me la cavo nel cercare i libri
e poi ho trovato anche questo:
https://www.unisalento.it/c/document_li ... -46222.pdf
p.s:leggendo un po ho trovato un teorema chiamato lemma di Lax-Milgram, che,da quel che ho capito,torna utile quando si ha a che fare con la formulazione debole
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/ ... oni-08.pdf
fin ora come testo in italiano è il migliore che ho trovato,anche se non me la cavo nel cercare i libri
e poi ho trovato anche questo:
https://www.unisalento.it/c/document_li ... -46222.pdf
p.s:leggendo un po ho trovato un teorema chiamato lemma di Lax-Milgram, che,da quel che ho capito,torna utile quando si ha a che fare con la formulazione debole
"mklplo":
Il libro è questo(forse è una parte di un libro perchè è molto riduttivo)
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/ ... oni-08.pdf
fin ora come testo in italiano è il migliore che ho trovato,anche se non me la cavo nel cercare i libri
Non è un libro. Sono dispense di un corso universitario della prof.ssa Mascolo (cioè appunti che il docente scrive per sé e per gli studenti, in modo da rendere più agevole lo studio).
Comunque, queste dispense vanno sempre integrate con lo studio da testi veri e propri.
"mklplo":
e poi ho trovato anche questo:
https://www.unisalento.it/c/document_li ... -46222.pdf
Stesso discorso.
"mklplo":
p.s:leggendo un po ho trovato un teorema chiamato lemma di Lax-Milgram, che,da quel che ho capito,torna utile quando si ha a che fare con la formulazione debole
Certo, Lax-Milgram è utilissimo quando ambienti problemi variazionali in spazi di Hilbert.
Grazie per tutte le tue risposte,ora mi metto a cercare un buon testo(possibilmente italiano,in quanto in inglese ho tanti problemi).
"mklplo":
in inglese ho tanti problemi).
Male. Invece di saltare di palo in frasca con calcoli variazionali e cose astruse, vedi di rinforzare il tuo inglese.
Lo so questo, ma per quanto ci provi non ci capisco proprio niente
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