Risolvere Debolmente una PDE
Salve,come sapete,le equazioni di Eulero Lagrange sono equazioni differenziali,che solo in rari casi presentano soluzioni.Facendo un po di ricerche ho trovato qualcosa circa "risolvere debolmente l'equazione" però non ci ho capito niente.Se non vi reca disturbo potreste spiegarmi cosa significa,e in che modo si puo risolvere debolmente un equazione differenziale ad esempio questa:
$ u_x+u_y=2xy $
attualmente so solo che dovrei riscrivere l'equazione cosi:
$ int_(R^2)u(varphi_x+varphi_y)dxdy=-int_(R^2)2xyvarphi(x,y)dxdy $
(spero che le notazioni siano esatte)
p.s:so che questa equazione ha una soluzione,anche con i metodi normali,ma volevo iniziare dal semplice
$ u_x+u_y=2xy $
attualmente so solo che dovrei riscrivere l'equazione cosi:
$ int_(R^2)u(varphi_x+varphi_y)dxdy=-int_(R^2)2xyvarphi(x,y)dxdy $
(spero che le notazioni siano esatte)
p.s:so che questa equazione ha una soluzione,anche con i metodi normali,ma volevo iniziare dal semplice
Risposte
"mklplo":
Salve,come sapete,le equazioni di Eulero Lagrange sono equazioni differenziali,che solo in rari casi presentano soluzioni.
Falso: è solo che in rari casi si possono esprimere le soluzioni in forma chiusa.
Facendo un po di ricerche ho trovato qualcosa circa "risolvere debolmente l'equazione" però non ci ho capito niente.
Per forza. È una di quelle cose gergali che significano tutto e non significano niente. Nel contesto delle equazioni ellittiche, le soluzioni deboli sono una cosa, in quello delle equazioni iperboliche sono un'altra, eccetera. Se ci fai caso, uno deve sempre specificare bene cosa intende per "soluzione" di una equazione differenziale.
Grazie,quindi anche se si "passano" le derivate,dalla funzione incognita a quella test,non è detto che ci sia piu probabilità che l'equazione ottenuta,sia risolvibile?
"mklplo":
l'equazione [...] sia risolvibile
Che vuol dire "risolvibile"?
In generale, che intendi con "risolvere" un'equazione (qualsiasi tipo, non necessariamente differenziale)?
Stavo parlando di equazioni differenziali,e per risolvere intendo trovare una funzione tale che $u_x+u_y=2xy$
E che vuol dire "trovare una funzione"?
Riuscire a capire quale funzione rispetta la condizione sopracitata che usando i metodi di risoluzione normali e ponendo le costanti uguali a 0 si trova:
$-1/3x^2(x-3y)$
$-1/3x^2(x-3y)$
"mklplo":
Riuscire a capire quale funzione rispetta la condizione sopracitata che usando i metodi di risoluzione normali e ponendo le costanti uguali a 0 si trova:
$-1/3x^2(x-3y)$
Questa accezione del verbo "risolvere" (cioè "determinare una soluzione usando funzioni note") era in voga nel 1700, fino ad Eulero e Lagrange.
Dal 1800 in poi il verbo "risolvere" ha, per i matematici, altro significato, ossia "determinare se esiste una soluzione ed (eventualmente) esprimerla esplicitamente"; qui "determinare se esiste una soluzione" significa canonicamente dimostrarne l'esistenza mentre "esprimere una soluzione esplicitamente " significa una gran varietà di cose, alcune delle quali riportate in un mio post recente, che ti cito qui di seguito:
"gugo82":
I metodi risolutivi sono altra cosa, cioè quelle tecniche che ti consentono di dire che la soluzione esiste e (quando possibile) determinarla "esplicitamente".
[*:30bc62t2]Ci sono metodi che consentono di trovare la soluzione mediante approssimazioni successive come, ad esempio, il metodo di Ritz, il metodo di Galerkin (per le PDE) oppure il classico metodo delle iterate di Picard o quello di approssimazione di Eulero (per le ODE). In questi casi, la soluzione del problema è individuata esplicitamente come il limite della successione approssimante (in un appropriato spazio di funzioni).
[/*:m:30bc62t2]
[*:30bc62t2]Ci sono poi metodi basati sulla rappresentazione esplicita delle soluzioni, come ad esempio il metodo della separazione delle variabili (per PDE), il metodo della soluzione fondamentale o i metodi basati sulle trasformate (per PDE ed ODE). In questi casi, la soluzione è individuata esplicitamente o come somma di una serie di funzioni oppure come un integrale.
[/*:m:30bc62t2]
[*:30bc62t2]O ancora, ci sono metodi che dimostrano l'esistenza della soluzione per via astratta, come i metodi del Calcolo delle Variazioni (per PDE ed ODE). Qui la soluzione è un elemento di un opportuno spazio di funzioni che gode (tipicamente) di certe proprietà di minimo.[/*:m:30bc62t2][/list:u:30bc62t2]
E poi c'è altro ancora che non sto qua a dire.
Il metodo delle soluzioni deboli (che nasce all'inizio del 1900) serve a risolvere una equazione differenziale in uno dei sensi moderni riportati qui sopra, ma non consente in generale di ricavare l'espressione elementare della soluzione, cioè non consente di risolvere l'equazione nel senso del 1700 e che ancora ti porti dietro.
Grazie,allora usando il metodo delle soluzioni deboli,è possibile esprimere una soluzione esplicitamente,come in tutti e 3 i casi che hai riportato?
Ma hai letto ciò che ho scritto?
Non mi fa molto piacere perdere tempo a buttar giù qualcosa che lo OP non legge con attenzione...
Non mi fa molto piacere perdere tempo a buttar giù qualcosa che lo OP non legge con attenzione...
Sì ho letto e
ma non hai specificato se in tutti e 3 o solo uno di quei sensi,perciò sono ancora in dubbio,mi dispiace se ti infastidisce,non era mia intenzione
"gugo82":
Il metodo delle soluzioni deboli (che nasce all'inizio del 1900) serve a risolvere una equazione differenziale in uno dei sensi moderni riportati qui sopra
ma non hai specificato se in tutti e 3 o solo uno di quei sensi,perciò sono ancora in dubbio,mi dispiace se ti infastidisce,non era mia intenzione
Se avessi voluto scrivere "tutti e tre" o "in due modi", avrei scritto così... Invece ho usato "in uno dei modi".
Il "modo" è tipicamente (cioè per ED che non richiedono particolari nozioni di soluzioni deboli, cfr. post di dissonance più su) è quello del CdV.
Ad ogni buon conto, aggiungo un paio di ulteriori osservazioni.
Primo, la soluzione che trovi non è l'unica possibile. Ad esempio, sono soluzioni dell'equazione tutte le funzioni del tipo $u(x,y)+c(x-y)$ con $u$ funzione che hai già determinato e $c$ funzione arbitraria di classe $C^1$.
Secondo, nel caso in esame le soluzioni si determinano esplicitamente in forma chiusa sfruttando il metodo delle caratteristiche (cfr. questo mio vecchio post).
Il "modo" è tipicamente (cioè per ED che non richiedono particolari nozioni di soluzioni deboli, cfr. post di dissonance più su) è quello del CdV.
Ad ogni buon conto, aggiungo un paio di ulteriori osservazioni.
Primo, la soluzione che trovi non è l'unica possibile. Ad esempio, sono soluzioni dell'equazione tutte le funzioni del tipo $u(x,y)+c(x-y)$ con $u$ funzione che hai già determinato e $c$ funzione arbitraria di classe $C^1$.
Secondo, nel caso in esame le soluzioni si determinano esplicitamente in forma chiusa sfruttando il metodo delle caratteristiche (cfr. questo mio vecchio post).
Grazie per la risposta e scusa se non avevo capito subito.
Quando dici "usare il CdV" intendi il principio di Dirichlet?
Quando dici "usare il CdV" intendi il principio di Dirichlet?
Non solo, dato che il principio di Dirichlet è un caso particolare di metodi che funzionano per un'ampia classe di PDE del secondo ordine ellittiche (anche non lineari). Inoltre, ci sono anche metodi basati sulle cosiddette disuguaglianze variazionali, tipo quello di Stampacchia negli spazi di Hilbert, o metodi più topologici.
P.S.: Intanto ho modificato il post precedente.
P.P.S.: Non dovresti essere a scuola?
P.S.: Intanto ho modificato il post precedente.
P.P.S.: Non dovresti essere a scuola?
Grazie,per le risposte,se non ti dispiace potresti togliermi questi dubbi?
I metodi basati sulle disuguaglianze variazionali sono sempre utilizzabili?
e
i metodi,di cui il principio di Dirichlet è un casa particolare,come vengono chiamati?
p.s=la scuola ha problemi strutturali,per cui rimarrà chiusa fino alla chiusura dell'anno scolastico
I metodi basati sulle disuguaglianze variazionali sono sempre utilizzabili?
e
i metodi,di cui il principio di Dirichlet è un casa particolare,come vengono chiamati?
p.s=la scuola ha problemi strutturali,per cui rimarrà chiusa fino alla chiusura dell'anno scolastico
"mklplo":
Grazie,per le risposte,se non ti dispiace potresti togliermi questi dubbi?
I metodi basati sulle disuguaglianze variazionali sono sempre utilizzabili?
No, ovviamente.
"mkplo":
i metodi,di cui il principio di Dirichlet è un casa particolare,come vengono chiamati?
Metodi variazionali.
"mkplo":
p.s=la scuola ha problemi strutturali,per cui rimarrà chiusa fino alla chiusura dell'anno scolastico
Potevi inventare di meglio.
Se non ti dispiace potresti consigliarmi un testo(possibilmente italiano) dove tratta gli argomenti di cui abbiamo discusso?
p.s:peccato che per quanto riguarda la scuola io non mi sia inventato niente
p.s:peccato che per quanto riguarda la scuola io non mi sia inventato niente
Beh, l'unico testo che fornisca una panoramica sui metodi per le varie classi di PDE è in inglese: Evans, Partial Differential Equations - second edition, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society.
Te lo consiglio vivamente, anche se probabilmente non sei ancora sufficientemente maturo.
Te lo consiglio vivamente, anche se probabilmente non sei ancora sufficientemente maturo.
Grazie per il consiglio,e per tutte le risposte date.
Se non ti reca disturbo potresti rispondere a delle ultime domande che mi sono giunte?
Per curiosità,quando si deve risolvere un equazione del tipo:
$Deltau=f$
quale metodo risulta piu efficacie per "risolverla" nel senso del CdV?
p.s:se il funzionale integrale di Dirichlet,non dovesse avere minimo,allora l'equazione differenziale da cui deriva non presenta soluzioni?
Se non ti reca disturbo potresti rispondere a delle ultime domande che mi sono giunte?
Per curiosità,quando si deve risolvere un equazione del tipo:
$Deltau=f$
quale metodo risulta piu efficacie per "risolverla" nel senso del CdV?
p.s:se il funzionale integrale di Dirichlet,non dovesse avere minimo,allora l'equazione differenziale da cui deriva non presenta soluzioni?
"gugo82":
Beh, l'unico testo che fornisca una panoramica sui metodi per le varie classi di PDE è in inglese: Evans, Partial Differential Equations - second edition, Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society.
Te lo consiglio vivamente, anche se probabilmente non sei ancora sufficientemente maturo.
Qualcosa di meno pesante come Salsa - Equazioni a derivate parziali? Non va nei meandri di tutte le dimostrazioni, ma secondo me fornisce una buona descrizione di quello che succede.
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo