[Risolto] Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali
Ho questo esercizio che riporto qui di seguito.
Studiare le proprietà di linearità, stazionarietà, stabilità, causalità e memoria con riferimento ai seguenti sistemi:
1) $ y(t) = sin(x(t +5)) $
2) $ y(n) = x (n+3)x(n-2) $
Dove y è il segnale di uscita ed x quello di ingresso.
Ora mi rendo conto che chiamarlo esercizio è un parolone, però nonostante abbia letto e riletto più volte quelle proprietà, non riesco a svolgerlo. Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
Studiare le proprietà di linearità, stazionarietà, stabilità, causalità e memoria con riferimento ai seguenti sistemi:
1) $ y(t) = sin(x(t +5)) $
2) $ y(n) = x (n+3)x(n-2) $
Dove y è il segnale di uscita ed x quello di ingresso.
Ora mi rendo conto che chiamarlo esercizio è un parolone, però nonostante abbia letto e riletto più volte quelle proprietà, non riesco a svolgerlo. Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
Risposte
Visto che siamo in una stanza di Analisi e non di Ingegneria, dovresti assumere che chi frequenta questi lidi non abbia la tua stessa familiarità con i concetti di “linearità”, “stabilità”, “stazionarità”, “causalità”, “memoria”, etc...
Quindi, come minimo, ti conviene dare le definizioni di questi concetti.
Quindi, come minimo, ti conviene dare le definizioni di questi concetti.
Dici il vero, Gugo82, ho dimenticato la cosa fondamentale: le definizioni.
1) Stazionarietà: se le caratteristiche del sistema non variano nel tempo, il sistema è stazionario.
Formalmente, $ y(t)=T[x(t)] $ e allora $ T[x(t-t_0)]=y(t-t_0)$.
2) Causalità: un sistema è causale quando in valore dell'uscita all'istante $ t $ dipende solo dai valori assunti dall'ingresso negli istanti precedenti (o al limite coincidenti con) $ t $ stesso.
$ y(t)=T[x(alpha ),alpha <= t;t] $
3) Memoria: in un sistema con memoria, il calcolo del valore di uscita all'istante $ t $ presuppone la conoscenza dell'andamento del segnale di ingresso in tutto l'intervallo.
4) Stabilità: diciamo che un sistema è stabile se, sollecitato da un segnale con andamento arbitrario ma di ampiezza limitata, esso produce a sua volta un segnale di ampiezza limitata.
5) Linearità: un sistema è lineare se ad esso si applica il principio di sovrapposizione degli effetti. Ciò vuol dire che se il segnale di ingresso $ x(t) = alpha x_1(t)+beta x_2(t) $ è costituito da una combinazione lineare di coefficienti costanti alfa e beta delle due eccitazioni, il sistema risponde con $ y(t) = alpha y_1(t)+beta y_2(t) $ , dove $ y_1(t) = T[x_1(t)] $ e $ y_2(t) = T[x_2(t)] $ .
Queste sono le definizioni necessarie per l'esercizio.
1) Stazionarietà: se le caratteristiche del sistema non variano nel tempo, il sistema è stazionario.
Formalmente, $ y(t)=T[x(t)] $ e allora $ T[x(t-t_0)]=y(t-t_0)$.
2) Causalità: un sistema è causale quando in valore dell'uscita all'istante $ t $ dipende solo dai valori assunti dall'ingresso negli istanti precedenti (o al limite coincidenti con) $ t $ stesso.
$ y(t)=T[x(alpha ),alpha <= t;t] $
3) Memoria: in un sistema con memoria, il calcolo del valore di uscita all'istante $ t $ presuppone la conoscenza dell'andamento del segnale di ingresso in tutto l'intervallo.
4) Stabilità: diciamo che un sistema è stabile se, sollecitato da un segnale con andamento arbitrario ma di ampiezza limitata, esso produce a sua volta un segnale di ampiezza limitata.
5) Linearità: un sistema è lineare se ad esso si applica il principio di sovrapposizione degli effetti. Ciò vuol dire che se il segnale di ingresso $ x(t) = alpha x_1(t)+beta x_2(t) $ è costituito da una combinazione lineare di coefficienti costanti alfa e beta delle due eccitazioni, il sistema risponde con $ y(t) = alpha y_1(t)+beta y_2(t) $ , dove $ y_1(t) = T[x_1(t)] $ e $ y_2(t) = T[x_2(t)] $ .
Queste sono le definizioni necessarie per l'esercizio.
Per i pedici basta un underscore. 
Stanti le definizioni, direi che l’andamento delle cose è abbastanza ovvio... Dove trovi difficoltà?
Stanti le definizioni, direi che l’andamento delle cose è abbastanza ovvio... Dove trovi difficoltà?
Ho capito, grazie 
La difficoltà che ho è portare alla pratica quelle definizioni, a parte quella di memoria che mi sembra la più semplice di tutte (non che le altre siano tanto complicate). Mi basterebbe un esempio di studio svolto per capire, dato che non ne ho neanche uno. Abbi pazienza
La difficoltà che ho è portare alla pratica quelle definizioni, a parte quella di memoria che mi sembra la più semplice di tutte (non che le altre siano tanto complicate). Mi basterebbe un esempio di studio svolto per capire, dato che non ne ho neanche uno. Abbi pazienza
Prova tu.
Ad esempio, considera il primo sistema, cioè $x(t) \mapsto T[x](t):=sin x(t+5)$.
Ti sembra stabile? Perché?
Ti sembra lineare? Perché?
Ti sembra causale? Perché?
Ti sembra stazionario? Perché?
Ti sembra avere memoria? Perché?
P.S.: Incidentalmente, noto che la proprietà 1 potrebbe essere espresse meglio, così come la 2.
La stazionarietà equivale a dire che la legge che associa allo stato $x$ l’uscita $y=T[x]$ è invariante per traslazioni temporali (ciò si verifica, ad esempio, quando il sistema è governato da EDO autonome).
La 2 si potrebbe esprimere dicendo che \(T[x](t) = T[x_{\big|]-\infty, t]}](t)\) (ossia che il valore dell’uscita al tempo $t$ dipende unicamente dai valori della restrizione dell’ingresso $x$ all’intervallo $]-oo,t]$.
P.P.S.: Un chiarimento sulla 3... Essa sembra indicare che i sistemi con memoria siano quelli in cui l’operatore ingresso/uscita $T$ contiene quelli che in Analisi si chiamano di solito “operatori non locali”. Ad esempio, un sistema con memoria potrebbe essere quello con operatore ingresso/uscita $T[x](t) := ( int_(-oo)^(+oo) | x(tau)|text(d)tau )*x(t)$, o sbaglio?
Ad esempio, considera il primo sistema, cioè $x(t) \mapsto T[x](t):=sin x(t+5)$.
Ti sembra stabile? Perché?
Ti sembra lineare? Perché?
Ti sembra causale? Perché?
Ti sembra stazionario? Perché?
Ti sembra avere memoria? Perché?
P.S.: Incidentalmente, noto che la proprietà 1 potrebbe essere espresse meglio, così come la 2.
La stazionarietà equivale a dire che la legge che associa allo stato $x$ l’uscita $y=T[x]$ è invariante per traslazioni temporali (ciò si verifica, ad esempio, quando il sistema è governato da EDO autonome).
La 2 si potrebbe esprimere dicendo che \(T[x](t) = T[x_{\big|]-\infty, t]}](t)\) (ossia che il valore dell’uscita al tempo $t$ dipende unicamente dai valori della restrizione dell’ingresso $x$ all’intervallo $]-oo,t]$.
P.P.S.: Un chiarimento sulla 3... Essa sembra indicare che i sistemi con memoria siano quelli in cui l’operatore ingresso/uscita $T$ contiene quelli che in Analisi si chiamano di solito “operatori non locali”. Ad esempio, un sistema con memoria potrebbe essere quello con operatore ingresso/uscita $T[x](t) := ( int_(-oo)^(+oo) | x(tau)|text(d)tau )*x(t)$, o sbaglio?
@arnett: Nemmeno io ho mai studiato sistemi dinamici, per questo ho chiestole definizioni.
Ciao arnett, il link che mi hai fornito è esattamente quello che stavo cercando, ti ringrazio. Mi rimane solo un dubbio. In un esempio si studia la tempo varianza :
Tempo invarianza: Procediamo nuovamente calcolando y1(t) e y(t − t0):
$ y_1(t) = x(t − t_0) cos(t) $
$ y(t − t0) = x(t − t_0) cos(t − t_0) $
Il sistema `e tempo variante.
Il segnale di partenza è $ y(t) = x(t) cos(t+1) $
. Perché l'argomento del coseno viene cambiato in quel modo? Io mi aspettavo di trovare $ y_1(t) = x(t-t_0) cos(t+1-t_0) $ e sotto uguale, di conseguenza che in conclusione si trattasse di un segnale tempo invariante. Dov'è che sbaglio?
Tempo invarianza: Procediamo nuovamente calcolando y1(t) e y(t − t0):
$ y_1(t) = x(t − t_0) cos(t) $
$ y(t − t0) = x(t − t_0) cos(t − t_0) $
Il sistema `e tempo variante.
Il segnale di partenza è $ y(t) = x(t) cos(t+1) $
. Perché l'argomento del coseno viene cambiato in quel modo? Io mi aspettavo di trovare $ y_1(t) = x(t-t_0) cos(t+1-t_0) $ e sotto uguale, di conseguenza che in conclusione si trattasse di un segnale tempo invariante. Dov'è che sbaglio?
@Ulisse: Sarebbe però interessante se tu proponessi cenni di soluzione.
Perché, nel mio ultimo messaggio che ho scritto?
@Ulisse: Altro rispetto alle tue richieste iniziali ed alle mie, cioè:
"gugo82":
Prova tu.
Ad esempio, considera il primo sistema, cioè $x(t) \mapsto T[x](t):=sin x(t+5)$.
Ti sembra stabile? Perché?
Ti sembra lineare? Perché?
Ti sembra causale? Perché?
Ti sembra stazionario? Perché?
Ti sembra avere memoria? Perché?
Grazie arnett, perciò nel caso dei sistemi scritti in principio avrei:
$ 1) y(t) = sin(x(t +5)) $
$ y_1(t)= sin(x(t+5-t_0)) $
$ y(t-t_0)= sin(x(t+5-t_0)-t_0) $
Le due equazioni non coincidono, per cui si tratta di
un sistema tempo variante.
$ 2) y(n) = x (n+3)x(n-2) $
$ y_1(t)= x (n-n_0+3)x (n-n_0-2) $
$ y(t-t_0)= x (n-n_0+3)x (n-n_0-2) $
In questo caso il sistema è tempo invariante.
È giusto o sono in errore?
La notazione che ho usato è quella degli appunti che mi hai indicato.
$ 1) y(t) = sin(x(t +5)) $
$ y_1(t)= sin(x(t+5-t_0)) $
$ y(t-t_0)= sin(x(t+5-t_0)-t_0) $
Le due equazioni non coincidono, per cui si tratta di
un sistema tempo variante.
$ 2) y(n) = x (n+3)x(n-2) $
$ y_1(t)= x (n-n_0+3)x (n-n_0-2) $
$ y(t-t_0)= x (n-n_0+3)x (n-n_0-2) $
In questo caso il sistema è tempo invariante.
È giusto o sono in errore?
La notazione che ho usato è quella degli appunti che mi hai indicato.
Quindi tu dici che il primo è sbagliato? Invece se fosse $ y(t)=sin(x (t+5)+t) $ avremmo
$ y_1(t)=sin(x (t+5-t_0)+t) $
$ y(t-t_0)=sin(x (t+5-t_0)+t-t_0) $
O è sbagliato anche questo? Per sapere se l'errore è di fondo.
$ y_1(t)=sin(x (t+5-t_0)+t) $
$ y(t-t_0)=sin(x (t+5-t_0)+t-t_0) $
O è sbagliato anche questo? Per sapere se l'errore è di fondo.
Scusate ma... Scelti un ingresso $x(t)$ ed un istante $t_0$, se poniamo $x_{t_0}(t):= x(t-t_0)$ (di modo che il pedice denoti la traslazione temporale), verificare la stazionarità equivale a mostrare che la traslata di $y=T[x]$ coincide con l'immagine della traslata di $x$, cioè che $y_{t_0}(t) = T[x_{t_0}](t)$.[nota]La variabile $t$ va fuori dall'operatore $T$, poiché $t$ è la variabile dalla quale la trasformata $T[x]$ dipende; del nome della variabile da cui dipende l'ingresso $x$ non frega niente a nessuno! 
[/nota]
Nel caso $y (t) = sin x(t+5)$ abbiamo:
\[
y_{t_0}(t) := y(t-t_0) = \sin x(t-t_0+5) = T[x_{t_0}](t)
\]
e tutto funziona: il sistema è stazionario.
Nel caso invece di $y(t) = sin (t + x(t+5))$ abbiamo:
\[
y_{t_0}(t) = y(t-t_0) = \sin \big( (t-t_0) + x(t-t_0+5)\big) \neq \sin \big( t + x(t-t_0+5)\big) = T[x_{t_0}](t)\; ,
\]
dunque il sistema non è stazionario.
[/nota]Nel caso $y (t) = sin x(t+5)$ abbiamo:
\[
y_{t_0}(t) := y(t-t_0) = \sin x(t-t_0+5) = T[x_{t_0}](t)
\]
e tutto funziona: il sistema è stazionario.
Nel caso invece di $y(t) = sin (t + x(t+5))$ abbiamo:
\[
y_{t_0}(t) = y(t-t_0) = \sin \big( (t-t_0) + x(t-t_0+5)\big) \neq \sin \big( t + x(t-t_0+5)\big) = T[x_{t_0}](t)\; ,
\]
dunque il sistema non è stazionario.
Intanto grazie per avermi risposto e per continuare la conversazione nonostante io sia "di coccio". Quindi, banalizzando (scusate), prima traslo il segnale d'ingresso $ x(t) $ e poi traslo le altre $ t $ (se sono presenti). Se i risultati di questi due passaggi si equivalgono mi trovo di fronte ad un sistema stazionario (o tempo-invariante), altrimenti no. Scusate il linguaggio spicciolo, però ho centrato il punto?
Il problema non è la "spiccezza", ma il fatto che non si capisce cosa vuoi dire.
Prova con $y(t)=(\int_{-oo}^{+oo} |x(tau)|" d"tau)*x^2 (t+2751) + 1572*x(t) + t^2$.
Prova con $y(t)=(\int_{-oo}^{+oo} |x(tau)|" d"tau)*x^2 (t+2751) + 1572*x(t) + t^2$.
Secondo quello che ho detto prima (che probabilmente sarà sbagliato), dovrebbe essere :
$ y_1(t)=(int_(-oo )^(+oo ) abs(x (tau - tau_0)) d tau )*x^2(t-t_0+2751) +1572*x(t-t_0)+t^2 $
$ y(t-t_0)=(int_(-oo )^(+oo ) abs(x (tau - tau_0)) d tau )*x^2(t-t_0+2751) +1572*x(t-t_0)+(t-t_0)^2 $
Le due equazioni sono tra loro diverse, quindi il sistema non è stazionario. È così?
$ y_1(t)=(int_(-oo )^(+oo ) abs(x (tau - tau_0)) d tau )*x^2(t-t_0+2751) +1572*x(t-t_0)+t^2 $
$ y(t-t_0)=(int_(-oo )^(+oo ) abs(x (tau - tau_0)) d tau )*x^2(t-t_0+2751) +1572*x(t-t_0)+(t-t_0)^2 $
Le due equazioni sono tra loro diverse, quindi il sistema non è stazionario. È così?
Sì, è così... Ma c'è un errore.
$tau$ non è $t$, quindi non va traslato nulla sotto il segno di integrale.
$tau$ non è $t$, quindi non va traslato nulla sotto il segno di integrale.
Credo finalmente di aver capito, un grazie meritatissimo a te, gugo82, e ad arnett.
Dato che è stato risolto il dubbio che ha dato vita alla conversazione, devo mettere nel titolo "Risolto", giusto?
Dato che è stato risolto il dubbio che ha dato vita alla conversazione, devo mettere nel titolo "Risolto", giusto?
"Ulisse802.11":
Credo finalmente di aver capito, un grazie meritatissimo a te, gugo82, e ad arnett.
Prego.
"Ulisse802.11":
Dato che è stato risolto il dubbio che ha dato vita alla conversazione, devo mettere nel titolo "Risolto", giusto?
Se vuoi...
Tuttavia, più del tag, mi piacerebbe se (sia per tua sicurezza, sia per completezza e per favorire eventuali future visualizzazioni del thread) tu inserissi l’analisi delle altre proprietà che hai citato per il sistema che stiamo prendendo a modello, i.e. $y(t) = sin x(t+5)$.
Mi sembra un'ottima idea quella di completare l'analisi, per cui la continuo senza ripetere le cose già viste.
Abbiamo detto che il sistema da analizzare è $ y(t)=sin(x(t+5)) $ .
1) Memoria: il sistema è del tipo "con memoria" (o dispersivo), poiché conserva memoria di istanti diversi da quello scelto ($ t_0$). Infatti abbiamo $ (t+5) $ .
2) Causalità: Abbiamo una situazione di non causalità, poiché i valori che vengono fuori dal sistema riguardano istanti futuri a $ t_0 $.
3) Stabilità: Le condizioni richieste per la stabilità sono soddisfatte. Siano $ K_1 $ e $ K_2 $ due costanti ed inoltre $ abs(x(t+5))<=K_1<+oo $ . Vediamo che $ abs(y(t))<=K_2<+oo $ , quindi ad un ingresso limitato corrisponde un'uscita limitata.
4) Linearità:
$ x_1(\cdot ) rarr y_1(\cdot) $
$ x_2(\cdot ) rarr y_2(\cdot) $
$ x_3(\cdot ) = alphax_1(\cdot) + betax_2(\cdot) $
$ y_3(\cdot ) = alphay_1(\cdot) + betay_2(\cdot)=T[x_3(\cdot)]= alphaT[x_1(\cdot)] + betaT[x_2(\cdot)] $
Quindi il sistema è lineare.
Giusto?
L'unica cosa che mi viene in mente è l'amplificatore ideale, il quale non solo non è pratico ma è anche tempo-invariante. Purtroppo non ho conoscenze pratiche a riguardo, quindi non so davvero cosa rispondere.
Abbiamo detto che il sistema da analizzare è $ y(t)=sin(x(t+5)) $ .
1) Memoria: il sistema è del tipo "con memoria" (o dispersivo), poiché conserva memoria di istanti diversi da quello scelto ($ t_0$). Infatti abbiamo $ (t+5) $ .
2) Causalità: Abbiamo una situazione di non causalità, poiché i valori che vengono fuori dal sistema riguardano istanti futuri a $ t_0 $.
3) Stabilità: Le condizioni richieste per la stabilità sono soddisfatte. Siano $ K_1 $ e $ K_2 $ due costanti ed inoltre $ abs(x(t+5))<=K_1<+oo $ . Vediamo che $ abs(y(t))<=K_2<+oo $ , quindi ad un ingresso limitato corrisponde un'uscita limitata.
4) Linearità:
$ x_1(\cdot ) rarr y_1(\cdot) $
$ x_2(\cdot ) rarr y_2(\cdot) $
$ x_3(\cdot ) = alphax_1(\cdot) + betax_2(\cdot) $
$ y_3(\cdot ) = alphay_1(\cdot) + betay_2(\cdot)=T[x_3(\cdot)]= alphaT[x_1(\cdot)] + betaT[x_2(\cdot)] $
Quindi il sistema è lineare.
Giusto?
"arnett":
Prego anche da me, anche se ho fatto poco. Io ti faccio un'altra richiesta, per vedere sei hai capito tu e se ho capito io: vorrei un esempio pratico, non semplicemente analitico, di sistema tempo variante (io un'idea ce l'ho).
L'unica cosa che mi viene in mente è l'amplificatore ideale, il quale non solo non è pratico ma è anche tempo-invariante. Purtroppo non ho conoscenze pratiche a riguardo, quindi non so davvero cosa rispondere.
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