Riconoscere Sing.essenziali integrale residui
Ciao ragazzi , stavo svolgendo questo integrale e so che z=0 e z=2 sono singolairtà essenziali. Io ora ho un dubbio : per verificare che ad esempio 0 è sing. essenziale ( solo per vedere se è sing.essenziali / poli etc , non per calcolare il residuo) posso scrivere soltanto lo sviluppo di laurent del sen(1/z) vedo che ci sono infinite z al denominatore e dico che quindi è essenziale ? o devo fare obbligatoriamente lo sviluppo di TUTTA la funzione ?
oppure per vedere che z=2 è singolarità essenziale posso fare lo sviluppo solo del coseno vedere la stessa cosa di prima e affermare che è essenziale ? ( o devo fare per forza lo sviluppo di laurent di tutta la funzione?)
Grazie a tutti veramente
Risposte
Dovresti sviluppare tutta la funzione, ovviamente.
Tuttavia, se osservi che il tuo integrando si scrive come prodotto di una funzione con singolarità essenziale in $0$ [risp. in $2$] e di una funzione regolare in $0$ [risp. in $2$], è evidente che l’integrando ha in $0$ [risp. in $2$] una singolarità essenziale... Perché?
Dimostralo.
Tuttavia, se osservi che il tuo integrando si scrive come prodotto di una funzione con singolarità essenziale in $0$ [risp. in $2$] e di una funzione regolare in $0$ [risp. in $2$], è evidente che l’integrando ha in $0$ [risp. in $2$] una singolarità essenziale... Perché?
Dimostralo.
"gugo82":
Dovresti sviluppare tutta la funzione, ovviamente.
Tuttavia, se osservi che il tuo integrando si scrive come prodotto di una funzione con singolarità essenziale in $0$ [risp. in $2$] e di una funzione regolare in $0$ [risp. in $2$], è evidente che l’integrando ha in $0$ [risp. in $2$] una singolarità essenziale... Perché?
Dimostralo.
e il z-5 a denominatore non devo contarlo ? li ci sta un polo ?
Beh, certo.
Ma stavamo parlando di $0$ e $2$...
Ma stavamo parlando di $0$ e $2$...
"gugo82":
Beh, certo.
Ma stavamo parlando di $0$ e $2$...
ed il fatto di dividere per un polo non cmabia le cose nella serie di laurent ?
Che vuol dire "dividere per un polo"?
Cioè nel senso se facciamo la serie di laurent del prodotto del numeratore ci può stare che 0 e 2 "rimangano" essenziali però dato che divido per z-5 non cambia qualcosa nella serie ?
Che vuol dire "cambia qualcosa nella serie"?
"gugo82":
Che vuol dire "cambia qualcosa nella serie"?
Provo a speigarmi ahah
Per vedere che tipo di singolarità ha una funzione uno dei modi è quello di fare la serie di laurent della funzione e vedere com'è fatta , fin qui giusto ?
se la funzione fosse solo sen(1/Z) Farei lo sviluppo in zero e vedrei che si tratta di una sing.essenziale.
poichè abbiamo anche cos(1/z-2) e al denominatore abbiamo z-5 dovrei fare la serie di laurent di tutta questa funziona una volta centrata in zero , una volta in 2 e una volta in 5 e vedere che tipo di singolarità sono , fin qui mi trovo con il ragionamento ?
Poichè è difficile / scomodo fare laurent di tutta la funzione tu mi hai scritto ( se ho capito ahah) che al numeratore nonostante ci sia il prodotto di due funzioni centrando una volta in zero e una volta in due la serie di laurent del numeratore mi trovo che 0 e 2 sono singolarità essenziali. ma dato che sotto ho z-5 la serie di laurent non cambia ? o posso farne due diverse una per il denominatore e una per il numeratore ?
Scusa... Ma grazie a Dio la moltiplicazione è associativa e commutativa.
Quando devi sviluppare in serie di Lauren:
Quando devi sviluppare in serie di Lauren:
[*:sipjst81] in $0$, fai il prodotto degli sviluppi di:
\[
f_1(z):= \sin \frac{1}{z} \qquad \text{e} \qquad f_2(z):= \frac{\cos \frac{1}{z - 2}}{z - 5}\; ;
\]
[/*:m:sipjst81]
[*:sipjst81] in $2$, fai il prodotto degli sviluppi di:
\[
f_1(z):= \cos \frac{1}{z - 2} \qquad \text{e} \qquad f_2(z):= \frac{\sin \frac{1}{z}}{z - 5}\; ;
\]
[/*:m:sipjst81]
[*:sipjst81] in $5$, fai il prodotto degli sviluppi di:
\[
f_1(z):= \frac{1}{z - 5} \qquad \text{e} \qquad f_2(z):= \sin \frac{1}{z}\ \cos \frac{1}{z - 2}\; .
\][/*:m:sipjst81][/list:u:sipjst81]
Le funzioni $f_1$ sono singolari in $0$, $2$ e $5$ rispettivamente, mentre le $f_2$ sono regolari in tali punti.
Quindi gli sviluppi delle $f_1$ contengono potenze negative di $z$, $z-2$ e $z-5$ rispettivamente, mentre gli sviluppi delle $f_2$ coincidono con sviluppi di Taylor.
Sono proprio osservazioni di livello base queste.
"gugo82":
Scusa... Ma grazie a Dio la moltiplicazione è associativa e commutativa.
Quando devi sviluppare in serie di Lauren:
[*:2gxpubjn] in $0$, fai il prodotto degli sviluppi di:
\[
f_1(z):= \sin \frac{1}{z} \qquad \text{e} \qquad f_2(z):= \frac{\cos \frac{1}{z - 2}}{z - 5}\; ;
\]
[/*:m:2gxpubjn]
[*:2gxpubjn] in $2$, fai il prodotto degli sviluppi di:
\[
f_1(z):= \cos \frac{1}{z - 2} \qquad \text{e} \qquad f_2(z):= \frac{\sin \frac{1}{z}}{z - 5}\; ;
\]
[/*:m:2gxpubjn]
[*:2gxpubjn] in $5$, fai il prodotto degli sviluppi di:
\[
f_1(z):= \frac{1}{z - 5} \qquad \text{e} \qquad f_2(z):= \sin \frac{1}{z}\ \cos \frac{1}{z - 2}\; .
\][/*:m:2gxpubjn][/list:u:2gxpubjn]
Le funzioni $f_1$ sono singolari in $0$, $2$ e $5$ rispettivamente, mentre le $f_2$ sono regolari in tali punti.
Quindi gli sviluppi delle $f_1$ contengono potenze negative di $z$, $z-2$ e $z-5$ rispettivamente, mentre gli sviluppi delle $f_2$ coincidono con sviluppi di Taylor.
Sono proprio osservazioni di livello base queste.
Si , finn qui ho capito , non ho capito dove vuoi arrivare ( scusami ma sto cercando di capire e non riesco
)ho due dubbi , 1) se ad esempo li sto calcolando in 2 ( quindi il secondo esempio) : sia gli sviluppi di f1 sia gli sviluppi di f2 devono essere centrati in 2 giusto ?
2) punto una volta che faccio il prodotto riesco a vedere anche il residuo ?
Sì, ad entrambe le domande.
P.S.: Ti sarebbe d'aiuto leggerti a fondo la teoria.
Che libro usi?
P.S.: Ti sarebbe d'aiuto leggerti a fondo la teoria.
Che libro usi?
"gugo82":
Sì, ad entrambe le domande.
P.S.: Ti sarebbe d'aiuto leggerti a fondo la teoria.
Che libro usi?
Come testo di riferimento del corso ho il barozzi , ma per ora sto usando lo schaums in inglese che trovo più facile da capire.
LA Teoria la ho letta ma mi son rimasti molti dubbi , perchè se bene o male (sempre del secondo esempio) ti so trovare lo sviluppo di laurent di f1 , non so proprio come si arriva a quello di f2 poichè 2 non è singolarità quindi non so come scriverli gli sviluppi D:
E quindi non hai letto a fondo la teoria... Altrimenti sapresti che lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione regolare in un punto coincide con lo sviluppo in serie di Taylor.
P.S.: Lo Spiegel, Complex Variable è un eserciziario, non un testo di teoria.
Leggi il Barozzi prima di metterti a fare esercizi.
P.S.: Lo Spiegel, Complex Variable è un eserciziario, non un testo di teoria.
Leggi il Barozzi prima di metterti a fare esercizi.
"gugo82":
E quindi non hai letto a fondo la teoria... Altrimenti sapresti che lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione regolare in un punto coincide con lo sviluppo in serie di Taylor.
No questo lo so , però non so come applicarlo ciè come faccio a scrivere lo sviluppo di taylor di sen(1/z) però centrato in 2 ?
so che lo sviluppo di taylor di sen(z) (in 0 ) è
e per calcolare quello di 1/z basta sositturie tutti gli z con 1/z e fine qua ok ma come posso scriverlo invece di 0 centrato in 2 ? questo è il mio dubbioavevo pensato di sostituire a tutte le z --> 1/(z-2) , ma non so se è giusto....
Ovviamente no.
Lo sviluppo in serie lo calcoli usando la definizione di serie di Taylor... Ciò ti porta a fare contazzi enormi, in generale, quindi non abusare.
Lo sviluppo in serie lo calcoli usando la definizione di serie di Taylor... Ciò ti porta a fare contazzi enormi, in generale, quindi non abusare.
"gugo82":
Ovviamente no.
Lo sviluppo in serie lo calcoli usando la definizione di serie di Taylor... Ciò ti porta a fare contazzi enormi, in generale, quindi non abusare.
e quindi nel caso di questi integrali qual è il modo più veloce per trovare il tipo di singolarità ed il residuo ? D:
Però ad esempio in questo esempio
per calcolare quello in due semplicemente sostituisce 1/(z-2) , come mai qui con il coseno si può fare ? e invece col seno non lo pssiamo fare ?
Se non scrivi chi è $D$ è impossibile suggerirti un metodo di calcolo per l'integrale (infatti qui stiamo parlando di singolarità e serie di Laurent, non di calcolo di integrali).
Per quanto riguarda il resto, cioè gli sviluppi, prova ad applicare il metodo che suggerisci, poi fai fare i conti a Wolfram e vedi se ti trovi... Se ti trovi, ne discutiamo; altrimenti, vediamo che fare.
Per quanto riguarda il resto, cioè gli sviluppi, prova ad applicare il metodo che suggerisci, poi fai fare i conti a Wolfram e vedi se ti trovi... Se ti trovi, ne discutiamo; altrimenti, vediamo che fare.
"gugo82":
Se non scrivi chi è $D$ è impossibile suggerirti un metodo di calcolo per l'integrale (infatti qui stiamo parlando di singolarità e serie di Laurent, non di calcolo di integrali).
Per quanto riguarda il resto, cioè gli sviluppi, prova ad applicare il metodo che suggerisci, poi fai fare i conti a Wolfram e vedi se ti trovi... Se ti trovi, ne discutiamo; altrimenti, vediamo che fare.
Il dominio è |z|<3 quindi comprende z=0 e z=2
z=5 invece rimane fuori... io avevo pensato di calcolare il residuo all'infinito e fare res(5)+res(inf)+res(0)+res(2)=0
quindi res(0)+res(2)=-(res(inf+res(5)) , però 1) non so se è giusto come ragionamento
2) non sempre lo possiamo applicare per questo volevo capire bene laurent , così da avere uno strumento certo nel calcolo.
Per quanto riguarda la serie , su un forum inglese ( ho preso li l'esempio ) dicono di fare così
però per come dici tu ( ps grazie mille dell'aiuto sei veramente gentilissimo) è sbagliato
Aspetta... Cosa vuoi sviluppare e dove?
Inoltre, è chiaro come il sole che conviene calcolare l'integrale guardando fuori dal cerchio, perché le singolarità che vi incontri sono più gestibili di quelle interne.
Inoltre, è chiaro come il sole che conviene calcolare l'integrale guardando fuori dal cerchio, perché le singolarità che vi incontri sono più gestibili di quelle interne.
io per calcolare lo sviluppo di sen(1/z) in 2 volevo prendere lo sviluppo di sin(z) e sostituire le z con 1/(z-2) , perchè li così fanno sia per il seno che per il coseno. ora però tu mi fai venire il dubbio ahahah
quindi è giusto calcolare quello all'infinito e quello in 5 ( polo ) sommarli e cambiare sengo ? ( sfrutto che la somma dei residui è zero )
quindi è giusto calcolare quello all'infinito e quello in 5 ( polo ) sommarli e cambiare sengo ? ( sfrutto che la somma dei residui è zero )
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