Residuo del punto all'infinito

[giosca1992]

"modifico il post precedente perché presentava alcuni errori... "


Salve a tutti. Mi trovo alle prese con questa funzione :

$ f(z) = cosh(z) /{z^2(1-z)} $ .

Mi viene richiesto di calcolare i residui nelle singolarità isolate e il residuo nel punto all'infinito.



Mediante la classica formula sui residui delle singolarità isolate al finito ho ottenuto:


$ Res(f, z=0) =d/dz (cosh(z)/{1-z})_{z=0}= ({sinhz *(1-z) + cosh(z)}/{1-z^2})_{z=0}= 1 $ .


Allo stesso modo ho ottenuto :


$ Res (f, z=1) = -(cosh(z) /{z^2})_{z=1}=-cosh(1) $



Per uno dei teoremi sui residui , il residuo all'infinito dovrebbe essere pari all'opposto della somma dei residui sulle singolarità al finito.

Provando per curiosità però , con wolfram, a calcolare il residuo nel punto all'infinito come segue :

$ Res (f, z=oo ) = Res (f(1/z ) * (-1/z^2))_{z=0} = Res {cosh(1/z) / {1/z^2 * (1-1/z)}} $ $ = cosh(1) $ .

Questo risultato mi ha un po' confuso poiché è esattamente l'opposto del residuo in 0 ( non sarebbe dovuto essere pari all'opposto della somma dei due residui trovati precedentemente?). Vi chiedo gentilmente sia un aiuto teorico su questa incongruenza tra il teorema sulla somma dei residui e il risultato di wolfram , sia un effettivo modo di calcolare questo residuo all'infinito .

Ringrazio in anticipo chiunque dedicherà un po' del proprio tempo per aiutarmi

[gugo82]

Come hai fatto il conto in $oo$? Ossia, come hai calcolato il residuo in $0$ della funzione ausiliaria?

[giosca1992]

$ z=1 $ Non sono riuscito a calcolarlo. Quello è il risultato che il software Wolfram Alpha mi da come residuo nel punto

P.S.: Mi hai appena fatto notare che quel residuo della funzione ausiliaria( che non ho calcolato io, bensì il software Wolfram Alpha) non è calcolato in $ z=0 $ bensì in $ z=1 $ . Sono decisamente confuso

[gugo82]

Allora, aspetta un attimo, fammi capire…
La tua fiducia in una “scatoletta” che esegue calcoli che tu non sai controllare è così forte da “confonderti” e farti mettere in dubbio la veridicità di un teorema, che viene accompagnato da una dimostrazione la quale (al contrario di ciò che avviene nella “scatoletta”) è controllabilissima passaggio per passaggio?
Perché?

Mi sa che devi rivedere un po’ il tuo modo di approcciare alla Matematica ed agli strumenti automatici di calcolo.


P.S.: Ah, se sbagli a scrivere i dati in ingresso, anche il calcolatore più sofisticato restituisce risposte che non stanno né in cielo né in terra.

[giosca1992]

Hai perfettamente ragione ma il mio dubbio è dato dal fatto che non sono in grado di calcolare manualmente il residuo di questa funzione nel punto all'infinito e, quindi, ingenuamente forse, mi son fidato di Wolfram . Se mi fosse stato chiesto di calcolare questo residuo senza appellarmi al Teorema precedente, bensì di calcolarlo direttamente, come avrei dovuto procedere? Avrei forse dovuto sviluppare secondo Laurent il numeratore e cercare manualmente il coefficiente di $ 1/z $ ?

Grazie in anticipo se risponderai

[giosca1992]

Ho provato a calcolare manualmente il residuo come segue :




$ Res_oo f(z) = -Res_{z=0} ( 1/z^2 *f(1/z)) $ $ =-Res_{z=0} h(z) $ .

ora $ cosh(1/z) = {(1+1/z + 1/{2z^2} + 1/{3!z^3} + ...) + (1-1/z + 1/{2z^2} - 1/{3!z^3} + ...)}/2 $


quindi



$ h(z) =(1/2 + 1/{2z^2} + 1/{4! z^4} + ...) / {1-1/z} $


Idee?

[pilloeffe]

Ciao giosca1992,

"giosca1992":Idee?

A parte che vedo ancora errori, potresti osservare che si ha:

$1/(1 - 1/z) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1/z)^n $

per $|1/z| < 1 \implies |z| > 1 $

[giosca1992]

Giusto, hai ragione. Da qui dovrei ottenere :


$ h(z) = (1 + 1/{2 z^2} + 1/{4!z^4} + ...) * (-z -z^2 -z^3 -...) $


e tutto sta nel dimostrare che la serie ( infinita ) dei coefficienti di $ z^-1 $

converge all'opposto della somma dei residui che ho calcolato nei due poli al finito.

E' corretto?

[gugo82]

Vuoi calcolare il residuo all’infinito di $f$ senza usare i teoremi sui residui.
Vediamo…

Hai $ f(z) = cosh(z) /{z^2(1-z)} $, cosicché la funzione ausiliaria è $g(w) = -1/w^2 * f(1/w) = -1/w^2 * (cosh(1/w))/(1/w^2 (1- 1/w)) = w/(1-w) * cosh(1/w)$ il cui residuo va calcolato in $w=0$.

La funzione $g$ ha una singolarità essenziale in $0$ e perciò non si possono usare formule semplici per il calcolo e bisogna ricorrere allo sviluppo di Laurent.
I due fattori che formano $g$ hanno sviluppi che si calcolano facilmente: abbiamo $w/(1-w) = sum_(n=0)^oo w^(n+1)$ (con coefficienti $a_n=\{(0, text(, se ) n <= 0), (1, text(, se ) n>=1):}$) e $cosh(1/w) = sum_(n=0)^oo 1/((2n)!) 1/(w^(2n))$ (con coefficienti $b_m=\{(1/((|m|)!), text(, se ) -m text( è pari)), (0, text(, se ) -m text( è dispari o ) m>=1):}$), dunque lo sviluppo di Laurent di $g$ si calcola prendendo il prodotto secondo Cauchy dei due sviluppi precedenti.
In particolare, il residuo integrale di $g$ in $w=0$ coincide con il coefficiente dello sviluppo corrispondente alla potenza di esponente $-1$:

$sum_(k=-oo)^oo a_k b_(-1-k) = sum_(k=1)^oo b_(-1-k) = sum_(n=1)^oo b_(-1- 2n +1) = sum_(n=1)^oo b_(-2n) = sum_(n=1)^oo 1/((2n)!) = cosh (1) -1$

come volevamo.

[giosca1992]

Grazie infinite per il tempo utilizzato per aiutarmi, ora è tutto chiaro. Anche se ho imparato la lezione. Non dubiterò mai più del teorema sui residui

Alla prossima