Proiezione ortogonale di funzioni

[Wwweeerrr1]

Sia $M={f in L_2[-1,1] : \int_-1^1 f(t)dt =\int_-1^1 tf(t)dt=\int_-1^1 t^2f(t)dt=0}$
Data $f in L_2[-1,1]$ trovare $g in M$ che meglio approssima f.

Sfruttando il fatto che $L_2[-1,1]$ è uno spazio di Hilbert e che $M$ è chiuso (penso di esserci riuscito utilizzando nuclei di funzionali lineari) vorrei trovare $h in M^\bot$ tale che $f=h+(f-h)$ cioè la proiezione ortogonale di f. Io ho provato ad andare un po' a tentativi dapprima con le funzioni costanti $g(t)=alpha$, che però mi portano a dire che $alpha=\int_-1^1 f(t)/2dt$ e $alpha=3/2 \int_-1^1 t^2f(t)dt$ ( avendo imposto che $f-g in M$). Tuttavia non mi sembra che questo ragionamento concluda nulla. Secondo voi mi conviene cambiare ragionamento o continuare a cercare funzioni appropriate?

[Studente Anonimo]

Un'idea. Prendi tre funzioni \( e_1, \dots , e_3 \in L^2 [-1,1] \) tali che \[ \text{span} \{e_1, e_2 , e_3 \} = \text{span} \{1, t ,t^2\}, \] \( \langle e_i, e_j \rangle =0\) per \( i \ne j\) e \( \|e_i\|=1\) per ogni \(i =1,2,3\) (puoi costruirla facilmente usando Gram-Schmidt). Chiaramente hai \[ M = \text{span} \{e_1, e_2 , e_3 \}^{\bot} = \text{span} \{1, t ,t^2\}^{\bot}. \]Allora la proiezione \( P_M(f)\) di \(f\) su \(M\) sara' \[ g=P_M(f) = \sum_{j\ge 4} \langle e_j,f \rangle e_j \] ove i vettori \(e_j\) per \(j\ge 4\) completano \(\{e_1,e_2,e_3\}\) ad una base ortonormale dell'intero spazio.

Questo pero' non ti conduce ad una forma chiusa per \(g\) (o almeno ne dubito, non ho fatto i conti)...

[Wwweeerrr1]

Grazie! Provo a strutturarlo così:
Siano $h_1(t)=1, h_2(t)=t, h_3(t)=t^2 AAt in [-1,1]$
Notiamo che $M=(span(h_1, h_2, h_3))^bot$ quindi M è chiuso e $f in L[-1,1] rArr f=g+h$ con $g in M$ e $h in span(h_1,h_2,h_3)=A$. Notiamo inoltre che $M^bot=(A^bot)^bot=A$ dato che A è chiuso, quindi
In particolare posso scrivere $f=P_M(f)+(f-P_M(f))$ $AA f in L[-1,1]$ con $P_M(f) in A$ e $f-P_M(f) in A^bot=M$
La funzione richiesta è dunque $g=f-P_M(f)$
Posso ortonormalizzare ${h_1, h_2, h_3}$ ottenendo una base ${e_1,e_2,e_3}$ ortonormale tramite l'algoritmo di Gram-Schmidt, dunque
$P_M(f)=sum_{n=1}^3 (f|e_n)e_n$
Quindi la migliore approssimazione di $f$ in $M$ sarà $g=f-[int_{-1}^{1} f(t)dt]e_1-[int_{-1}^{1}tf(t)dt]e_2-[int_{-1}^{1}((45/38)t^2-15/19)f(t)dt]e_3$ svolgendo i conti, dove:
$e_1(t)=1, e_2(t)=t, e_3(t)=(45/38)t^2-(15/38)$
Può andar bene?

[dissonance]

"Lorz":
Siano $h_1(t)=1, h_2(t)=t, h_3(t)=t^2 AAt in [-1,1]$[...]
Quindi la migliore approssimazione di $f$ in $M$ sarà $g=f-[int_{-1}^{1} f(t)dt]e_1-[int_{-1}^{1}tf(t)dt]e_2-[int_{-1}^{1}((45/38)t^2-15/19)f(t)dt]e_3$ svolgendo i conti, dove:
$e_1(t)=1, e_2(t)=t, e_3(t)=(45/38)t^2-(15/38)$
Può andar bene?

Non vedo niente di sbagliato, ma l'ideale é che controlli tu stesso. Devi verificare che \(g\in M\), il che mi sembra vero, visto che
\[
\int_{-1}^1 g\, dt=\int_{-1}^1 f\, dt -\int_{-1}^{1} f e_1\, dt=0, \]
ma restano da verificare le altre due condizioni; e poi devi verificare che \(e_1, e_2, e_3\) é ortonormale. Puoi anche usare un software per verificare questi calcoli, ci metterai un attimo.

Se queste due proprietá sono verificate il risultato é corretto e nessuno potrá obiettare sul tuo svolgimento.