Operatori illimitati
Salve a tutti, non mi è chiaro perché, se considero degli operatori illimitati, diciamo $ hatA $ e $ hatB $ , allora mi risulta problematico calcolare $ [hatA, hatB] $ e invece posso sempre scrivere $ [e^(ihatA), e^(ihatB)] $ . Grazie in anticipo
Risposte
Ma dove starebbe il problema nel calcolare $[hatA, hatB]$?
Il problema sta nel fatto che l'immagine di \(A\) potrebbe non essere contenuta nel dominio di \(B\) e viceversa. Quindi la composizione \(AB\) e la composizione \(BA\) potrebbero non avere senso. Solo se \(A\) e \(B\) sono operatori limitati non c'é problema, perché gli operatori limitati sono definiti su tutto lo spazio di Hilbert. È il caso di \(e^{iA}, e^{iB}\), che sono sempre operatori unitari, quindi in particolare limitati.
Sempre meglio fare un esempio. Prendi \(A=x\) e \(B=\frac{d}{dx}\), che poi sono essenzialmente posizione e momento. Il dominio di \(A\) sono le funzioni \(f\in L^2(\mathbb R)\) tali che \(xf(x)\in L^2(\mathbb R)\). Il dominio di \(B\) sono le funzioni \(f\in L^2(\mathbb R)\) tali che \(f'\in L^2(\mathbb R)\) (qui la derivata si intende nel senso delle distribuzioni). È chiaro che l'immagine di uno non è contenuta nel dominio dell'altro. Il primo esempio che mi viene in mente è
\[
f(x)=e^{-x^2}\sin(e^{x^2}), \]
che è nel dominio di \(A\), ma \(Af(x)=e^{-x^2}x\sin(e^{x^2})\) non è nel dominio di \(B\) (provare per credere - al derivare questa funzione il fattore \(e^{-x^2}\) si semplifica e la funzione non decade per \(x\to \pm \infty\)).
(Si, probabilmente si possono fare esempi più semplici, adesso sto andando a improvvisazione. Spero comunque che il concetto sia chiaro.)
NOTA: invece gli esponenziali sono operatori perfettamente innocui. Infatti, \(e^{iA}\) non è altro che la moltiplicazione per \(e^{ix}\), che è un numero complesso di modulo 1, quindi non crea nessun problema di integrabilità. Invece \(e^{i\frac{d}{dx}}\) è l'operatore di traslazione, che mappa \(f(x)\) su \(f(x-1)\), e anche qui, una operazione innocua dal punto di vista dell'integrabilità.
Sempre meglio fare un esempio. Prendi \(A=x\) e \(B=\frac{d}{dx}\), che poi sono essenzialmente posizione e momento. Il dominio di \(A\) sono le funzioni \(f\in L^2(\mathbb R)\) tali che \(xf(x)\in L^2(\mathbb R)\). Il dominio di \(B\) sono le funzioni \(f\in L^2(\mathbb R)\) tali che \(f'\in L^2(\mathbb R)\) (qui la derivata si intende nel senso delle distribuzioni). È chiaro che l'immagine di uno non è contenuta nel dominio dell'altro. Il primo esempio che mi viene in mente è
\[
f(x)=e^{-x^2}\sin(e^{x^2}), \]
che è nel dominio di \(A\), ma \(Af(x)=e^{-x^2}x\sin(e^{x^2})\) non è nel dominio di \(B\) (provare per credere - al derivare questa funzione il fattore \(e^{-x^2}\) si semplifica e la funzione non decade per \(x\to \pm \infty\)).
(Si, probabilmente si possono fare esempi più semplici, adesso sto andando a improvvisazione. Spero comunque che il concetto sia chiaro.)
NOTA: invece gli esponenziali sono operatori perfettamente innocui. Infatti, \(e^{iA}\) non è altro che la moltiplicazione per \(e^{ix}\), che è un numero complesso di modulo 1, quindi non crea nessun problema di integrabilità. Invece \(e^{i\frac{d}{dx}}\) è l'operatore di traslazione, che mappa \(f(x)\) su \(f(x-1)\), e anche qui, una operazione innocua dal punto di vista dell'integrabilità.
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