Operatori di proiezione e decomposizione spettrale
Buongiorno a tutti, come da titolo ho una domanda riguardo i proiettori e in particolare il loro utilizzo nel calcolo della decomposizione spettrale di una matrice.
Consideriamo, ad esempio, la matrice $ A = |(1,2),(0,3)| $
Vorrei calcolare i proiettori spettrali, e quindi la decomposizione spettrale.
Gli autovalori sono $\lambda_1 = 1$ e $\lambda_2 = 3$.
L'autospazio relativo a $\lambda_1$ è generato dall'autovettore $|(1),(0)|$, mentre l'autospazio relativo a $\lambda_2$ è generato da $|(1/sqrt(2)),(1/sqrt(2))|$
(ho normalizzato).
Adesso, se calcolo i proiettori "analiticamente", sfruttando il teorema dei residui, ottengo
$ P_1 = 1/{2\pi i} int_{\Gamma_1} (zI - A)^{-1} dz = |(1,-1),(0,0)| $
dove $\Gamma_1$ è una curva che circonda $\lambda_1$ e $(zI - A)^{-1}$ è l'operatore risolvente
mentre $ P_2 = 1/{2\pi i} int_{\Gamma_2} (zI - A)^{-1} dz = |(0,1),(0,1)| $
e questi mi forniscono la giusta decomposizione spettrale.
Ora, però, io so anche che è possibile calcolare il proiettore relativo all'autospazio generato da $|(x),(y)|$ attraverso il prodotto esterno $ P = |(x),(y)| |(\bar x, \bar y)| = |(x^2,x \bar y),(\bar x y,y^2)| $
Ma calcolando i proiettori in questo modo, nel caso in questione, ottengo
$ P_1 = |(1),(0)| |(1,0)| = |(1,0),(0,0)| $ e
$ P_2 = |(1/sqrt(2)),(1/sqrt(2))| |(1/sqrt(2),1/sqrt(2))| = |(1/2,1/2),(1/2,1/2)| $
che sono diversi da quelli precedenti, e che comunque non mi restituiscono la corretta decomposizione spettrale.
Che cosa mi sfugge?
Consideriamo, ad esempio, la matrice $ A = |(1,2),(0,3)| $
Vorrei calcolare i proiettori spettrali, e quindi la decomposizione spettrale.
Gli autovalori sono $\lambda_1 = 1$ e $\lambda_2 = 3$.
L'autospazio relativo a $\lambda_1$ è generato dall'autovettore $|(1),(0)|$, mentre l'autospazio relativo a $\lambda_2$ è generato da $|(1/sqrt(2)),(1/sqrt(2))|$
(ho normalizzato).
Adesso, se calcolo i proiettori "analiticamente", sfruttando il teorema dei residui, ottengo
$ P_1 = 1/{2\pi i} int_{\Gamma_1} (zI - A)^{-1} dz = |(1,-1),(0,0)| $
dove $\Gamma_1$ è una curva che circonda $\lambda_1$ e $(zI - A)^{-1}$ è l'operatore risolvente
mentre $ P_2 = 1/{2\pi i} int_{\Gamma_2} (zI - A)^{-1} dz = |(0,1),(0,1)| $
e questi mi forniscono la giusta decomposizione spettrale.
Ora, però, io so anche che è possibile calcolare il proiettore relativo all'autospazio generato da $|(x),(y)|$ attraverso il prodotto esterno $ P = |(x),(y)| |(\bar x, \bar y)| = |(x^2,x \bar y),(\bar x y,y^2)| $
Ma calcolando i proiettori in questo modo, nel caso in questione, ottengo
$ P_1 = |(1),(0)| |(1,0)| = |(1,0),(0,0)| $ e
$ P_2 = |(1/sqrt(2)),(1/sqrt(2))| |(1/sqrt(2),1/sqrt(2))| = |(1/2,1/2),(1/2,1/2)| $
che sono diversi da quelli precedenti, e che comunque non mi restituiscono la corretta decomposizione spettrale.
Che cosa mi sfugge?
Risposte
Secondo me il problema è che la matrice non è simmetrica (e nemmeno normale). La formula per $P$ con il prodotto colonne per righe funziona solo se gli autovettori sono ortonormali.
Ti ringrazio per la risposta, adesso i conti mi tornano. In effetti, ora che ci penso, il calcolo del proiettore con quel prodotto lo ricordavo dalla meccanica quantistica, dove gli operatori legati alle osservabili sono appunto hermitiani.
Mi resta solo una domanda: come posso spiegare il fatto che questo metodo funzioni solo con autovettori ortonormali? Cioè, a livello teorico, qual è il motivo?
Mi resta solo una domanda: come posso spiegare il fatto che questo metodo funzioni solo con autovettori ortonormali? Cioè, a livello teorico, qual è il motivo?
Se $v\in \mathbb C^n$ è un vettore di norma $1$, il proiettore ortogonale sulla retta che individua è dato dalla formula
\[
P(x)=\langle x| v\rangle v = v^\dagger x\, v = vv^\dagger\, x,\]
cioé
\[P=vv^\dagger.\]
Ma questo vale per il proiettore ortogonale e non per un proiettore "sbilenco" (Fioravante avrebbe detto "a capocchia"
), come quelli del tuo primo post.
\[
P(x)=\langle x| v\rangle v = v^\dagger x\, v = vv^\dagger\, x,\]
cioé
\[P=vv^\dagger.\]
Ma questo vale per il proiettore ortogonale e non per un proiettore "sbilenco" (Fioravante avrebbe detto "a capocchia"
), come quelli del tuo primo post.
Tutto chiaro, grazie infinite!
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