Norma spazio quoziente

[anto_zoolander]

Ciao!

ho avuto un paio di grattacapi su questo esercizio.


siano $X$ uno spazio normato e $M$ un sottospazio chiuso. Mostrare che,

$norm(x+M)_(X/M):= i nf_(m in M)norm(x+m)_(X)$

è una norma su $X/M$

1) è positiva
se per assurdo non lo fosse, per le proprietà dell'estremo inferiore si avrebbe per almeno un $m in M$ che $norm(x+m)<0$ , pazzesco.

2) vale $norm((lambdax)+M)=lambdanorm(x+M)$
se $lambda=0$ va bene
se $lambdane0$ allora $i nf_(m in M)norm(lambdax+m)= i nf_(m in M)abs(lambda)*norm(x+1/lambdam)=abs(lambda)*norm(x+M)$

di fatto $L(m)=1/lambda m$ è un automorfismo di $M$ quindi descrive tutto lo spazio

3) $norm(x+M)=0 <=> x in M$
questa proprietà segue dal fatto che dato $x in X$ allora la funzione $d:M->RR$ definita come $d_x(m)=norm(x-m)$ è tale per cui $i nf_(m inM)d_x(m)=0$ se e solo se $x$ sta nella chiusura di $M$ e siccome $M$ è chiuso, a posto.

di fatto $norm(x+M)=0 => forallepsilon>0 existsm in M:d(x,m) B(x,epsilon)capMne emptyset => x in overline(M)=M$

4) vale la proprietà triangolare
sono un po' titubante, ma mi sembra corretta

$norm(x+m)+norm(y+n)geqnorm((x+y)+(n+m))geqnorm((x+y)+M), forall n,m in M$

l'ultima minorazione a destra la posso fare perché $(n+m) in M$.

Poi valendo per ogni $n,m in M$ posso considerare

[size=85]

$i nf_(n,m in M)(norm(x+m)+norm(y+n))=i nf_(m in M)norm(x+m)+ i nf_(n in M)norm(y+n)=norm(x+M)+norm(y+M)$

[/size]

questo passaggio è giustificato dal fatto che $i nf(A+B)=i nfA+ i nf(B)$
infatti chiamando $M_y={norm(y+n): n in M}$ e $M_x={norm(x+m): m in M}$ si avrebbe proprio

$i nf(M_y+M_x)=i nfM_y+i nfM_x$

ossia la tesi

come vi sembra?

[Bremen000]

Mi sembra che fili tutto!

[Bremen000]

Mi sono accorto che manca da verificare che la definizione data non dipende dal rappresentante scelto! Comunque trovo orrendo \( x + M \) e preferisco \( [x] \).

[fmnq]

"Bremen000":Mi sono accorto che manca da verificare che la definizione data non dipende dal rappresentante scelto! Comunque trovo orrendo \( x + M \) e preferisco \( [x] \).

Del resto $x+M$ è formalmente più preciso. magari $[x]_M$, per denotare come la classe di equivalenza dipende da $M$? Se non altro perché se $x\in M$, $[x]=0$.

[Bremen000]

Si, hai ragione, voto \( [x]_M \). Dai quanto è più brutto \( \| M \|_{ \frac{X}{M}} \) rispetto a \( \| [0]_M \|_{\frac{X}{M}} \) ?

[anto_zoolander]

Ah vero, dovevo verificare anche che fosse ben posta.

Comunque $x+M$ mi piace assai. Da subito l’idea che i suoi elementi siano del tipo $x+m, m inM$ cosa utile nei gruppi non commutativi, visto che generalmente $x+M$ e $M+x$ potrebbero essere diversi

[fmnq]

Però, solitamente, l'operazione $+$ infissa è riservata ad indicare una struttura di gruppo (o di monoide) abeliano. Non penso di aver mai visto una operazione non commutativa segnata additivamente (se non in casi veramente perversi).

[anto_zoolander]

Si hai ragione: più spesso si trovano $xM$ o $Mx$ con la notazione moltiplicativa.

[vict85]

Perché parlate di operazioni non abeliane? Insomma quella operazione è la somma di uno spazio vettoriale e \(M\) è un sottospazio. Pertanto il loro quoziente è ancora uno spazio vettoriale (anche perché altrimenti non avrebbe molto senso parlare di norma).

Comunque, nella teoria dei gruppi, la scrittura moltiplicativa è più comune.

[fmnq]

"anto_zoolander":cosa utile nei gruppi non commutativi, visto che generalmente $x+M$ e $M+x$ potrebbero essere diversi

Stavo commentando questo: se utilizzi la convenzione (praticamente universale) di denotare con un + una operazione di gruppo abeliano, $x+M$ e $M+x$ sono uguali (tecnicamente, sono le classi laterali del gruppo abeliano $X$, rispetto alla relazione di equivalenza indotta da $M$, il cui quoziente è proprio \(X/M\)).