Norma di un funzionale
Salve,
non riesco a rispondere ad un punto di questo esercizio:
Sullo spazio di Hilbert $ L^2([-pi, pi]) $ si consideri il funzionale lineare
$ L(f)sum_(n = 0, 1,2...) z^nc_n $
dove z è un numero complesso con modulo minore di 1 e
$ c_n=int_(-pi)^(pi) dx /sqrt(2pi) f(x)e^(-i n x) $ .
Determinare la norma di L.
Ho riconosciuto che i c_n sono i coefficienti di Fourier rispetto alla base di Fourier nell'intervallo indicato. Tuttavia, non riesco ad effettuare le maggiorazioni necessarie per la norma.
Se non ho sbagliato i conti, tramite il teorema di Riesz, sono arrivato al risultato:
$ |L|^2=1 /(1-|z|^2) $ .
Grazieee
non riesco a rispondere ad un punto di questo esercizio:
Sullo spazio di Hilbert $ L^2([-pi, pi]) $ si consideri il funzionale lineare
$ L(f)sum_(n = 0, 1,2...) z^nc_n $
dove z è un numero complesso con modulo minore di 1 e
$ c_n=int_(-pi)^(pi) dx /sqrt(2pi) f(x)e^(-i n x) $ .
Determinare la norma di L.
Ho riconosciuto che i c_n sono i coefficienti di Fourier rispetto alla base di Fourier nell'intervallo indicato. Tuttavia, non riesco ad effettuare le maggiorazioni necessarie per la norma.
Se non ho sbagliato i conti, tramite il teorema di Riesz, sono arrivato al risultato:
$ |L|^2=1 /(1-|z|^2) $ .
Grazieee
Risposte
E' giusto! Quale è il problema?
Che io l'ho trovata tramite il teorema di Riesz (trovando l'opportuno vettore che potesse esprimere il funzionale tramite prodotto scalare), mentre la richiesta di calcolare la norma veniva prima. C'è un altro modo? Grazie mille
Mah, mi sembra davvero che sia l'unico modo sensato. Chiamo \( X= L^2(-\pi, \pi) \). Di fatto l'azione di $L_z$ su $f$ altro non è che il prodotto scalare tra $f$ e l'elemento di $X$ (chiamiamolo $l_z$) che ha per coefficienti rispetto alla base scelta $a_n = z^n$
Dunque,
\[ L_z(f) = \langle l_z, f \rangle \Rightarrow \|L_z\|_{\text{op}} = \|l_z\|_X \]
Cioè è proprio lampante, quindi non mi preoccuperei più di tanto...
Dunque,
\[ L_z(f) = \langle l_z, f \rangle \Rightarrow \|L_z\|_{\text{op}} = \|l_z\|_X \]
Cioè è proprio lampante, quindi non mi preoccuperei più di tanto...
Per disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, uguaglianza di Bessel e serie geometrica:
\[
|L(f)|^2 \leq \sum_{n=0}^\infty |z|^{2n}\ \sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{1 - |z|^2}\ \| f\|_2^2
\]
dunque:
\[
\|L\|^2 \leq \frac{1}{1 - |z|^2}\; .
\]
Credo che l'uguaglianza si possa dimostrare usando qualche funzione particolare su cui calcolare il funzionale, ma ora non so dire.
\[
|L(f)|^2 \leq \sum_{n=0}^\infty |z|^{2n}\ \sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{1 - |z|^2}\ \| f\|_2^2
\]
dunque:
\[
\|L\|^2 \leq \frac{1}{1 - |z|^2}\; .
\]
Credo che l'uguaglianza si possa dimostrare usando qualche funzione particolare su cui calcolare il funzionale, ma ora non so dire.
Quindi la maggiorazione con le sommatorie è lecita?
Perché non dovrebbe?
Grazie!
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