Misura su semialgebra: lemma, Alberto Tesei, Istituzioni di Analisi Superiore
Consideriamo la seguente famiglia di insiemi $$\mathcal{I}_0=\{(a,b]\;|\;-\infty\le a\le b<\infty\}\cup\{(a,\infty)\;|\;a\in\mathbb{R}\}.$$
La famiglia di insiemi che ho appena scritto è una semialgebra. La cosa da tenere in mente è che una semialgebra non è stabile rispetto alle unioni finite. Consideriamo ora la seguente applicazione $$\lambda_0:\mathcal{I}_0\to[0,\infty]$$ così definita:
\begin{split}
\lambda_0(\emptyset)&:=0\\
\lambda_0((a,b])&:=b-a\\
\lambda_0((a,\infty))&:=\infty.
\end{split}
Si mostra facilmente che $\lambda_0$ è finitamente additiva e monotona.
Lemma$quad$L'applicazione $\lambda_0$ è una misura $\sigma$-finita sulla semialgebra $\mathcal{I}_0$.
Dimostrazione$\quad$ Sia data una successione $\{F_l\}\subseteq\mathcal{I}_0$ di insiemi disgiunti tali che $F:=\bigcup_{l=1}^\infty F_l\in\mathcal{I}_0$. La dimostrazione della disuguaglianza $$\sum_{l=1}^\infty\lambda_0(F_l)\le\lambda_0(F)$$ mi è chiara. Resta allora da mostrare la disuguaglianza inversa, cioè $$\lambda_0(F)\le\sum_{l=1}^\infty\lambda_0(F_l).$$ Questa è evidente se la serie a secondo membro diverge, supponiamo quindi che $\lambda_0(F_l)<\infty$ per ogni $l\in\mathbb{N}.$ Per la definizione questo implica che $$F_l=(a_l,b_l]\quad(-\infty0$ poniamo $$G_l:=\bigg(a_l,b_l+\frac{\varepsilon}{2^l}\bigg].$$ Allora $G_l\in\mathcal{I}_0$ e risulta: $$F_l\subseteq Int(G_l),\quad\lambda_0(G_l)=\lambda_0(F_l)+\frac{\varepsilon}{2^l}.$$
Poiché per ipotesi $F\in\mathcal{I}_0$, esiste una successione $\{H_n\}\subseteq\mathcal{I}_0$ tale che:
$(a)$ l'intervallo $H_n$ è limitato e la sua chiusura $cl(H_n)$ è contenuta in $F$ per ogni $n\in\mathbb{N}$;
$(b)$ $\lambda_0(H_n)\to\lambda_0(F)$ per $n\to\infty$.
Queste affermazioni si verificano facilmente.
Sia $n\in\mathbb{N}$ fissato e poniamo $H\:= H_n$ per semplicità. Poiché $$H\subseteq cl(H)\subseteq F=\bigcup_{l=1}^{\infty} F_l\subseteq\bigcup_{l=1}^\infty Int(G_l),$$ per il Teorema di Heine-Borel esiste $p\in\mathbb{N}$ tale che $$H\subseteq cl(H)\subseteq\bigcup_{l=1}^p Int(G_l)\subseteq \bigcup_{l=1}^p G_l.$$
A questo punto il libro asserisce:
$$\lambda_0(H)\le\sum_{l=1}^p\lambda_0(G_l)$$
Domanda.$\quad$ Chi ci dice che $\bigcup_{l=1}^p G_l\in\mathcal{I}_0?$, e chi ci dice che $\{G_l\}_{l=1}^p$ è disgiunta?
Sarei molto grato a chiunque potesse spiegarmi il perché di questo. Grazie.
PS: Non capisco perché $\mathcal{I}_0$ viene scritto in due modi differenti, ma in tutto il post si intende sempre la famiglia definita inizialmente.
La famiglia di insiemi che ho appena scritto è una semialgebra. La cosa da tenere in mente è che una semialgebra non è stabile rispetto alle unioni finite. Consideriamo ora la seguente applicazione $$\lambda_0:\mathcal{I}_0\to[0,\infty]$$ così definita:
\begin{split}
\lambda_0(\emptyset)&:=0\\
\lambda_0((a,b])&:=b-a\\
\lambda_0((a,\infty))&:=\infty.
\end{split}
Si mostra facilmente che $\lambda_0$ è finitamente additiva e monotona.
Lemma$quad$L'applicazione $\lambda_0$ è una misura $\sigma$-finita sulla semialgebra $\mathcal{I}_0$.
Dimostrazione$\quad$ Sia data una successione $\{F_l\}\subseteq\mathcal{I}_0$ di insiemi disgiunti tali che $F:=\bigcup_{l=1}^\infty F_l\in\mathcal{I}_0$. La dimostrazione della disuguaglianza $$\sum_{l=1}^\infty\lambda_0(F_l)\le\lambda_0(F)$$ mi è chiara. Resta allora da mostrare la disuguaglianza inversa, cioè $$\lambda_0(F)\le\sum_{l=1}^\infty\lambda_0(F_l).$$ Questa è evidente se la serie a secondo membro diverge, supponiamo quindi che $\lambda_0(F_l)<\infty$ per ogni $l\in\mathbb{N}.$ Per la definizione questo implica che $$F_l=(a_l,b_l]\quad(-\infty
Poiché per ipotesi $F\in\mathcal{I}_0$, esiste una successione $\{H_n\}\subseteq\mathcal{I}_0$ tale che:
$(a)$ l'intervallo $H_n$ è limitato e la sua chiusura $cl(H_n)$ è contenuta in $F$ per ogni $n\in\mathbb{N}$;
$(b)$ $\lambda_0(H_n)\to\lambda_0(F)$ per $n\to\infty$.
Queste affermazioni si verificano facilmente.
Sia $n\in\mathbb{N}$ fissato e poniamo $H\:= H_n$ per semplicità. Poiché $$H\subseteq cl(H)\subseteq F=\bigcup_{l=1}^{\infty} F_l\subseteq\bigcup_{l=1}^\infty Int(G_l),$$ per il Teorema di Heine-Borel esiste $p\in\mathbb{N}$ tale che $$H\subseteq cl(H)\subseteq\bigcup_{l=1}^p Int(G_l)\subseteq \bigcup_{l=1}^p G_l.$$
A questo punto il libro asserisce:
$$\lambda_0(H)\le\sum_{l=1}^p\lambda_0(G_l)$$
Domanda.$\quad$ Chi ci dice che $\bigcup_{l=1}^p G_l\in\mathcal{I}_0?$, e chi ci dice che $\{G_l\}_{l=1}^p$ è disgiunta?
Sarei molto grato a chiunque potesse spiegarmi il perché di questo. Grazie.
PS: Non capisco perché $\mathcal{I}_0$ viene scritto in due modi differenti, ma in tutto il post si intende sempre la famiglia definita inizialmente.
Risposte
La butto lì, senza alcuna pretesa… Se l’unione degli $F_l$ appartiene alla semialgebra, gli $F_l$ non possono essere a due a due esterni l’un l’altro o, detto meglio, per ogni $l$ esiste un $k$ tale che $text(dist)(F_l,F_k)=0$.
Gentile Gugo82, grazie della risposta.
Ma non risco a vedere, perdonami, come questo possa rispondere alla mia domanda.
Ma non risco a vedere, perdonami, come questo possa rispondere alla mia domanda.
Quello che dice gugo mi pare sensato. Ora non ho tempo per pensarci approfonditamente, vedi se riesci a fare qualcosa tu.
Il concetto è che $F$ è connesso e quindi gli insiemi $F_l$ che lo "compongono" non possono essere molto distanti gli uni dagli altri, ergo quando tu prendi i $G_l$ stai "incicciottendo" gli $F_l$ e quindi tra di loro i $G_l$ dovranno sovrapporsi. La loro unione finita è quindi connessa (aperta a sinistra e chiusa a destra) e quindi è un elemento di \( \mathcal{I}_0 \).
Vedi se riesci a formalizzarlo per bene.
P.S. : la grafia di \( \mathcal{I}_0 \) dipende dal fatto che tu lo scriva così
o così
.
Il concetto è che $F$ è connesso e quindi gli insiemi $F_l$ che lo "compongono" non possono essere molto distanti gli uni dagli altri, ergo quando tu prendi i $G_l$ stai "incicciottendo" gli $F_l$ e quindi tra di loro i $G_l$ dovranno sovrapporsi. La loro unione finita è quindi connessa (aperta a sinistra e chiusa a destra) e quindi è un elemento di \( \mathcal{I}_0 \).
Vedi se riesci a formalizzarlo per bene.
P.S. : la grafia di \( \mathcal{I}_0 \) dipende dal fatto che tu lo scriva così
$\mathcal{I}_0o così
\( \mathcal{I}_0 \).
Grazie delle vostre cortesi risposte.
Dopo una riflessione sono arrivato alla seguente conclusione:
Ragioniamo con due insiemi $G_1=(a_1,b_1+\frac{\varepsilon}{2}\]$ e $G_2=(a_2,b_2+\frac{\varepsilon}{4}\]$.
C'è da fare una premessa: sappiamo per ipotesi che $F=\cup_{l=1}^\infty F_l\in$ \( \mathcal{I}_0 \), riordinado opportunamente gli insiemi si può mostrare che $$\bigcup_{l=1}^n F_l\in \mathcal{I}_0\quad\text{per ogni}\; n\ge 1.$$ Dunque se $F_1=(a_1,b_1]$ e $F_2=(a_2,b_2]$, poiché per ipotesi $F_1\cap F_2=\emptyset$, dal fatto che $F_1\cup F_2\in$ \( \mathcal{I}_0 \) si ha che $b_1=a_2.$
Di conseguenza $G_1=(a_1,a_2+\frac{\varepsilon}{2}\]$ e $G_2=(a_2,b_2+\frac{\varepsilon}{4}\]$, pertanto $G_1\cap G_2\ne\emptyset$. Questo ci garantisce che $$G_1\cup G_2\in\mathcal{I}_0.$$ A questo punto possiamo scrivere questa unione come unione disgiunta ottenendo:
$$\mathcal{I}_0\ni G_1\cup G_2=(a_1,a_2]\cup\bigg(a_2,a_2+\frac{\epsilon}{2}\bigg]\cup\bigg(a_2+\frac{\epsilon}{2},b_2+\frac{\epsilon}{4}\bigg].$$
Dunque è lecito considerare $$\lambda_0(G_1\cup G_2)=\lambda_0(G_1)+\lambda_0(G_2),$$
dove si è utilizzato il fatto che $\lambda_0$ è finitamente additiva.
Cosa ne dite?
Dopo una riflessione sono arrivato alla seguente conclusione:
Ragioniamo con due insiemi $G_1=(a_1,b_1+\frac{\varepsilon}{2}\]$ e $G_2=(a_2,b_2+\frac{\varepsilon}{4}\]$.
C'è da fare una premessa: sappiamo per ipotesi che $F=\cup_{l=1}^\infty F_l\in$ \( \mathcal{I}_0 \), riordinado opportunamente gli insiemi si può mostrare che $$\bigcup_{l=1}^n F_l\in \mathcal{I}_0\quad\text{per ogni}\; n\ge 1.$$ Dunque se $F_1=(a_1,b_1]$ e $F_2=(a_2,b_2]$, poiché per ipotesi $F_1\cap F_2=\emptyset$, dal fatto che $F_1\cup F_2\in$ \( \mathcal{I}_0 \) si ha che $b_1=a_2.$
Di conseguenza $G_1=(a_1,a_2+\frac{\varepsilon}{2}\]$ e $G_2=(a_2,b_2+\frac{\varepsilon}{4}\]$, pertanto $G_1\cap G_2\ne\emptyset$. Questo ci garantisce che $$G_1\cup G_2\in\mathcal{I}_0.$$ A questo punto possiamo scrivere questa unione come unione disgiunta ottenendo:
$$\mathcal{I}_0\ni G_1\cup G_2=(a_1,a_2]\cup\bigg(a_2,a_2+\frac{\epsilon}{2}\bigg]\cup\bigg(a_2+\frac{\epsilon}{2},b_2+\frac{\epsilon}{4}\bigg].$$
Dunque è lecito considerare $$\lambda_0(G_1\cup G_2)=\lambda_0(G_1)+\lambda_0(G_2),$$
dove si è utilizzato il fatto che $\lambda_0$ è finitamente additiva.
Cosa ne dite?
Se questo è vero
allora il resto mi pare sensato.
In particolare
questo penso che non serva. Io credo che da quello che sai su $\lambda_0$ hai anche la subadditività finita e quindi non ti serve che siano disgiunti per poter usare quella disuguaglianza.
"elatan":
[...]
C'è da fare una premessa: sappiamo per ipotesi che $ F=\cup_{l=1}^\infty F_l\in $ \( \mathcal{I}_0 \), riordinado opportunamente gli insiemi si può mostrare che \[ \bigcup_{l=1}^n F_l\in \mathcal{I}_0\quad\text{per ogni}\; n\ge 1. \] [...]
allora il resto mi pare sensato.
In particolare
"elatan":
[...] A questo punto possiamo scrivere questa unione come unione disgiunta ottenendo:
\[ \mathcal{I}_0\ni G_1\cup G_2=(a_1,a_2]\cup\bigg(a_2,a_2+\frac{\epsilon}{2}\bigg]\cup\bigg(a_2+\frac{\epsilon}{2},b_2+\frac{\epsilon}{4}\bigg]. \]
[...]
questo penso che non serva. Io credo che da quello che sai su $\lambda_0$ hai anche la subadditività finita e quindi non ti serve che siano disgiunti per poter usare quella disuguaglianza.
Si, è vero. Osservare quella cosa è un punto centrale nella dimostrazione dell'altro verso della disuguaglianza.
Però mi sorge un ulteriore dubbio: come si può mostrare formalmente che $\lambda_0$ sia finitamente subadditiva, tenuto conto che non sappiamo se la differenza tra due insiemi appartiene alla semialgebra?
Mi sa che hai ragione. Non avevo mai avuto a che fare con le semialgebre per costruire la misura di Lebesgue. Per curiosità, come va avanti poi nella teoria il tuo libro?
Questo libro, cioè Istituzioni di Analisi Superiore di Alberto Tesei fornisce una costruzione della misura di Lebesgue molto particolare.
Praticamente, parte dalla semialgebre, poi dimostra che ogni volta che si ha una misura sigma finita su una semialgebra, allora esiste un'unica estensione di questa ad una misura sull'algebra minimale contentente la semialgebra (questo è un risultato di carattere generale).
Poi si passa alla misura di Lebesgue: si considera la semialgebra in esame e si considerano le unioni finite disgiunte di elementi di questa (i plurintervalli) che si dimostra costituiscono un'algebra, in particolare coincide con l'algebra minimale contente la semialgebra.
A questo punto si deinisce $\lamda_0$ sulla semialgebra e se ne considera una naturale estensione sull algebra dei plurintervalli. Se si riesce a mostrare che che $\lambda_0$ è una misura sigma finita allora per il risultato precedente esiste un'unica estensione all'aògebra dei plurintervalli, che essendo unica è quella che abbiamo scritto.
A questo punto si considera la misura esterna generata dalla coppia: "plurintervalli" e $\lambda_0$ e la misura di Lebesgue è la restrizione di questa alla sigma algebra corrispondente.
Praticamente, parte dalla semialgebre, poi dimostra che ogni volta che si ha una misura sigma finita su una semialgebra, allora esiste un'unica estensione di questa ad una misura sull'algebra minimale contentente la semialgebra (questo è un risultato di carattere generale).
Poi si passa alla misura di Lebesgue: si considera la semialgebra in esame e si considerano le unioni finite disgiunte di elementi di questa (i plurintervalli) che si dimostra costituiscono un'algebra, in particolare coincide con l'algebra minimale contente la semialgebra.
A questo punto si deinisce $\lamda_0$ sulla semialgebra e se ne considera una naturale estensione sull algebra dei plurintervalli. Se si riesce a mostrare che che $\lambda_0$ è una misura sigma finita allora per il risultato precedente esiste un'unica estensione all'aògebra dei plurintervalli, che essendo unica è quella che abbiamo scritto.
A questo punto si considera la misura esterna generata dalla coppia: "plurintervalli" e $\lambda_0$ e la misura di Lebesgue è la restrizione di questa alla sigma algebra corrispondente.
Forse ho un'idea: un risultato di carattere generale nelle pagine precedenti è il seguente: sia $\mathcal{S}$ una semialgebra e consideriamo due famiglie $\mathcal{U}(\mathcal{S})$ in cui ci sono le unioni finite di elementi di $\mathcal{S}$ e la famiglia $\mathcal{U_0}(\mathcal{S})$ in cui ci sono le unioni finite digiunte di elementi di $\mathcal{S}$, si dimostra dopo tanti trucchi insiemistici che queste due famiglie conincidono.
Allora nel nostro caso $G_1\cup G_2$ appartiene alla famiglia delle unioni finite di elementi della semialgebra, ma per quanto detto si può scrivere come unione di elementi disgiunti della stessa semialgebra.
Allora nel nostro caso $G_1\cup G_2$ appartiene alla famiglia delle unioni finite di elementi della semialgebra, ma per quanto detto si può scrivere come unione di elementi disgiunti della stessa semialgebra.
"elatan":
Questo libro, cioè Istituzioni di Analisi Superiore di Alberto Tesei fornisce una costruzione della misura di Lebesgue molto particolare.
Praticamente, parte dalla semialgebre, poi dimostra che ogni volta che si ha una misura sigma finita su una semialgebra, allora esiste un'unica estensione di questa ad una misura sull'algebra minimale contentente la semialgebra (questo è un risultato di carattere generale).
Poi si passa alla misura di Lebesgue: si considera la semialgebra in esame e si considerano le unioni finite disgiunte di elementi di questa (i plurintervalli) che si dimostra costituiscono un'algebra, in particolare coincide con l'algebra minimale contente la semialgebra.
A questo punto si deinisce $\lamda_0$ sulla semialgebra e se ne considera una naturale estensione sull algebra dei plurintervalli. Se si riesce a mostrare che che $\lambda_0$ è una misura sigma finita allora per il risultato precedente esiste un'unica estensione all'aògebra dei plurintervalli, che essendo unica è quella che abbiamo scritto.
A questo punto si considera la misura esterna generata dalla coppia: "plurintervalli" e $\lambda_0$ e la misura di Lebesgue è la restrizione di questa alla sigma algebra corrispondente.
Grazie! Non avevo mai visto questo procedimento! Esistono veramente tante maniere per introdurla. Francamente questa mi pare un po' contorta ma d'altro canto è sempre così quando si incontra qualcosa a cui non si è abituati.
Per quanto riguarda il merito della questione, mi pare che tu abbia già risolto con lo spezzettamento dell'altro post. Mi pare andare bene!
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