Metodi matematici
Salve a tutti, non riesco a risolvere il seguente problema:
Determinare il potenziale elettrostatico V dentro una cavità cilindrica infinita di raggio alpha se la superficie si mantiene ad un potenziale fisso dato per 2α^3 cos^2(φ)sen(φ) essendo phi l'angolo azimutale rispetto all'asse centrale del cilindro
Determinare il potenziale elettrostatico V dentro una cavità cilindrica infinita di raggio alpha se la superficie si mantiene ad un potenziale fisso dato per 2α^3 cos^2(φ)sen(φ) essendo phi l'angolo azimutale rispetto all'asse centrale del cilindro
Risposte
Sostanzialmente devi risolvere questa equazione, dove \(\rho, \phi, z\) sono le coordinate cilindriche:
\[
\begin{cases} -\Delta u = 0 , & \rho <\alpha\\
u= 2\alpha^2 \cos^2(\phi)\sin(\phi), & \rho=\alpha\end{cases}\]
(click nel box rosa in alto per imparare a scrivere le formule, per favore). Qui ho usato \(\Delta\) per indicare il Laplaciano, in fisica si usa forse di più il simbolo \(\nabla^2\). A questo punto ti tocca andare a vedere su
http://mathworld.wolfram.com/Cylindrica ... nates.html
come esprimere questo operatore in coordinate cilindriche (ATTENZIONE! Il sito chiama \(\theta\) la variabile che noi abbiamo chiamato \(\phi\)). Alla fine ti deve venire fuori una equazione differenziale nella sola variabile \(\phi\).
\[
\begin{cases} -\Delta u = 0 , & \rho <\alpha\\
u= 2\alpha^2 \cos^2(\phi)\sin(\phi), & \rho=\alpha\end{cases}\]
(click nel box rosa in alto per imparare a scrivere le formule, per favore). Qui ho usato \(\Delta\) per indicare il Laplaciano, in fisica si usa forse di più il simbolo \(\nabla^2\). A questo punto ti tocca andare a vedere su
http://mathworld.wolfram.com/Cylindrica ... nates.html
come esprimere questo operatore in coordinate cilindriche (ATTENZIONE! Il sito chiama \(\theta\) la variabile che noi abbiamo chiamato \(\phi\)). Alla fine ti deve venire fuori una equazione differenziale nella sola variabile \(\phi\).
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