L'interno di un pluri-intervallo è misurabile secondo Peano-Jordan.

[compa90]

Buonasera.

Riporto le definizioni di intervallo superiormente semiaperto e pluri-intervallo superiormente semiaperto.

Definizione: Si definisce intervallo superiormente semiaperto $I$ di $RR^n$ come

$I:=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times...\times[a_n,b_n)$

dove $a_i,b_i \in RR$ e $a_i \le b_i$ per ogni $i=1,2,...,n$.

Definizione: Si definisce pluri-intervallo superiormente semiaperto $P$ di $RR^n$ come

$P=I_1\cup I_2 \cup ... \cup I_k$

dove $I_j$ con $j=1,2,...,k$, dove $k \in NN $ è un intervallo superiormente semiaperto di $RR^n$

Sia $P$ pluri-intervallo, e $P^\circ$ il suo interno. Il mio obiettivo è di verificare che $P^\circ$ è misurabile secondo Peano-Jordan, questo significa che le rispettive quantità

$m(X)_i=\text{sup}\{m(P)\ : \ P \in \mathcal{P}, \ P\subseteq X\}$ $m(X)_e=\text{inf}\{m(P)\ : \ P \in \mathcal{P}, \ X\subseteq P\}$

siano uguali.

Per non appesantire le notazioni faccio le seguenti posizioni

$ A:=\{m(P_1)\: P_1 \in \mathcal{P},\ P_1\subseteq P^\circ\}, \ B:=\{m(P_2)\: P_2 \in \mathcal{P},\ P^\circ \subseteq P_2\}$,

$L:=\text{sup}(A), \ l:=\text{inf}(B)$.

Provo che $L=l$.

Per provare che $L=l$ faccio vedere che $L$ gode delle stesse proprietà di cui gode $l$.

Osservazione: Ricordo che la funzione misura $m : P \in \mathcal{P} \ to m(P) \in [0,+\infty)$ è crescente rispetto all'inclusione, ossia

$P\subseteq P' \to m(P)\le m(P'), \ P, P' \in \mathcal{P}$

Quindi $a\le m(P^\circ)$ per ogni $a \in A$, e $b\ge m(P^\circ)$ per ogni $b \in B$, si ha allora $a \le b, \ \forall a \in A, \ \forall b \in B $.

1) $L$ è un minorante per l'insieme $B$.
Infatti, sappiamo che vale $L\le l$, $l\le b \ \forall b \in B$ allora $L\le b\ \forall b \in B$.

2) $L$ è il più grande dei minoranti per l'insieme $B$.

L'estremo superiore $L$ di $A$ è un maggiorante di $A$, cioè $L\ge a, \ forall a \in A$.

$\forall \ epsilon >0, \ \exists b' \in B\ : \ \ L+\epsilon >b'$. Posto $\epsilon:=(b-a)+c$, con $c>0,$ e $a \in A, b \in B$.

Allora $L+\epsilon=L+((b-a)+c)\ge a+((b-a)+c)=b+c>b$

Va bene ?

Saluti.