Integrali con radici polidrome

[ss420]

salve, ho molta difficoltà a risolvere integrali di funzioni in cui compaiono radici, che quindi sono polidrome nel campo complesso. premetto che a lezione questo particolare argomento non è stato affrontato, l'unico materiale che ho a disposizione sono le soluzioni degli esami scritti in cui però non viene spiegato nel dettaglio il procedimento. un esempio è dato da

[math]\int_{-1}^1 \frac 1{(1+x^2) \sqrt{1-x^2}} dx[/math]

. nella soluzione il mio prof scrive l'argomento della radice

[math]1-x^2 = (1+x)(1-x) = |1+x| e^{i\theta_1} |1-x| e^{i\theta_2}[/math]

con

[math]\theta_1 \in (-\pi,\pi)[/math]

e

[math]\theta_2 \in (0,2\pi)[/math]

in modo da tagliare il piano in

[math](-1,1)[/math]

e prendere un percorso "a osso" intorno ad esso, e fin qui ci sono. successivamente determina le fasi sui lati orizzantali superiore e inferiore del percorso ed è questo passaggio che non capisco, infatti sul bordo superiore dice che

[math]\theta_1 \to 0,\ \theta_2 \to 0[/math]

mentre sul lato inferiore

[math]\theta_1 \to 0,\ \theta_2 \to \2pi[/math]

. secondo me θ_1 vale π al di sopra e -π al di sotto, però non è così!!!
come si fa a determinare quei valori??

[luglio2026]

Siccome:

\(I=\int_{-1}^1\frac{1}{\left(1+x^2\right)\sqrt{1-x^2}}\text{d}x=\int_0^1\frac{2}{\left(1+x^2\right)\sqrt{1-x^2}}\text{d}x\)

allora, sostituendo \(x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\), si ottiene:

\(I=\int_{-\infty}^0\frac{2}{2+t^2}\text{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2+t^2}\text{d}t\).

Quindi, per il teorema di Torricelli-Barrow:

\(I=\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right]_{t=-\infty}^{t=+\infty}=\frac{+\pi}{2\sqrt{2}}-\frac{-\pi}{2\sqrt{2}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\)

oppure, applicando il teorema dei residui:

\(I=2\pi\,\text{i}\,\text{Res}\left(\frac{1}{2+t^2},t=\sqrt{2}\,\text{i}\right)=2\pi\,\text{i}\,\frac{1}{2\sqrt{2}\,\text{i}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\).

Se, invece, il vostro docente impone tassativamente
il percorso "ad osso di cane", me ne tiro fuori, ciao!